第33讲 数列的概念和性质-2023届高考数学二轮复习经典结论微专题

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第33讲 数列的概念和性质通关一、数列的概念一般地，按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项.数列的一般形式可以写成:，简记为，其中数列的第1项，也称首项;数列的第项，也叫数列的通项.要点诠释:(1)与的含义完全不同:表示一个数列，表示数列的第项；(2)数列的项与项数是两个不同的概念:数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号；(3)数列中的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同序排列次序不同，那么它们就是不同的数列；(4)定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出.通关二、数列的分类分类的标准名称含义【例】子按项的个数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列按项的变化趋势递增数列从第二项起，每一项大于它的前一项的数列递减数列从第二项起，每一项小于它的前一项的数列常数列各项都相等的数列摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项的数列,有些项小于它的前一项的数列按项的有界性有界数列任一项的绝对值都小于某一正值无界数列不存在某一正值能使任一项的绝对值小于它通关三、数列的通项公式如果数列的第项与之间的函数关系可以用一个公式表示成，那么这个公式就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.要点诠释:(1)并不是所有数列都能写出其通项公式.(2)一个数列的通项公式有时是不唯一的.如数列:，通项公式可以是，也可以是.(3)数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.(4)数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示.通关四、数列的前项和数列的前项和:指数列的前项逐个相加之和，通常用表示，即，.结论一、数列通项公式给出数列的前几项求通项时，需要注意观察数列中各项与其序号之间的关系，在所给数列的前几项中，先看看哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号间的关系，主要从以下几个方面来考虑：(1)分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系；(2)若第项和第项正负交错，那么符号用或或来调控；(3)熟悉一些常见数列的通项公式；(4)对于较复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，这就需要将数列各项的结构形式进行变形，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳.【例1】根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式.(1)；(2)；；.     【变式】根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式(1)；(2)；(3)；(4).     结论二、数列的周期性 对于数列，如果存在一个常数，使得对任意的正整数，恒有成立，则称数列是从第项起的周期为的周期数列.若，则称数列为纯周期数列，若，则称数列为混周期数列，的最小值称为最小正周期，简称周期.【例2】设数列满足，记数列前项之积为，则的值为（ ）. A. B C. D.【变式】数列满足，若，则的值为（ ）. A. B C. D.结论三、已知求的一般步骤任意数列的前项和.要点诠释:由前项和求数列通项时，要分三步进行：(1)先利用求出；(2)用替换中的得到一个新的关系，利用便求出当时的表达式；(3)对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写.【例3】已知数列的前项和为，则其通项公式__________.  【变式】已知数列的前项和，则其通项公式__________.  结论四、与混合在一起的处理方法数列的前项和与通项的关系为，通过纽带:，根据题目已知条件，消掉或，再通过构造成等差数列或者等比数列进行求解.要点诠释：(1) 若消掉,应利.用已知递推式,把换成得到另一个式子,两式相减即可求得通项.(2) 若消掉,只需把代入递推式得到，的关系,求出后再利用与的关系求通项.【例4】若数列的前项和为,则数列的通项公式__________.   【变式】已知数列的前项和,若,则（ ）.A.  B.    C.    D.     结论五、数列单调性的判断方法①作差法:数列是递增数列;数列是递减数列;数列是常数列.②作商法:当时,数列是递增数列;数列是递减数列;数列是常数列.当 时,数列是递减数列;数列是递增数列;数列是常数列.【例5】已知是递增数列,且对于任意的恒成立,则实数的取值范围是__________.   【变式】已知数列的通项公式为,则数列 的最大项是（ ）.A. B.   C.   D.