第42讲 基本不等式-2023届高考数学二轮复习经典结论微专题

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1. 一正: 函数式中的各项必须都是正数,在异号时不能运用均值不等式,在同负时可以先进行转化,再运用均值不等式; 实际过程中,两项全是负的其实也可以用均值,提出一个负号即可. 所以说“一正”这个条件可以扩展为“同号”。
2. 二定: 函数式中含变量的各项的和或积或平方和必须是定值;特殊情况下, 至少要求各项的和、积、平方和是一个可化简的定式。
3. 三相等:只有具备了不等式中等号成立的条件,才能使函数式取到最大或最值,否则不能由均值不等式求最值,只能用函数的单调性求最值。
通关二、已知 , 则
其中 称为平方平均数, 称为算术平均数, 称为几何平均数, 称为调和平均数.
【证明】 因为 , 所以 . 因为
, 所以 , 当且仅当“ ”时等号成立. 因为
, 所以 , 当且仅当“ "时等号成立. 因为 , 所以 , 当且仅当“ "时等号成立. 因为
所以 , 当且仅当“ ”时,等号成立.
结论一、常见基本不等式
1. , 当且仅当 时取等号.
2. , 当且仅当 时取等号. 3. , 当且仅当 时取等号.
4. , 当且仅当 时取等号 , 当且仅当时取等号.
5. 同号 ,当且仅当 时取等号.
【例1】, 给出下列推导,其中正确的有_______________
(1) 的最小值为 ;
(2) 的最小值为 4 ;
(3) 的最小值为 .
【答案】(1)(2)
【解析】(1)因为, 所以 (当且仅当时取等号.
(2)因为 , 所以 (当且仅当时取等号.
(3)因为 , 所以 (当且仅当 即时取等号 因为, 与矛盾, 所以上式不能取等号, 即 .
【变式】已知且，则（ ）.
A. B.C.D.
【答案】 ABD
【解析】 选项: , 当且仅当时,等号成立, 故选项正确; 选项: , 所以 , 故选项正确; 选项: , 当且仅当 时,等号成立, 故选项不正确 选项: 因为 2, 所以, 当且仅当 时,等号成立, 故选项正确. 故选.
结论二、和定积最大，积定和最小
1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a,b∈ℝ，且若a+b=M，M为定值,则 ，当且仅当时，等号成立；
2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a,b∈ℝ，且ab=P，P为定值，则，当且仅当时，等号成立.
【例2】 已知 .
(1)若 , 求的最小值;
(2)若，求ab的最大值.
【答案】 (1)4 (2)4
【解析】 （1）解法一 因为且,所以，即a+b≥4(当时取等号), 所以 的最小值为
解法二 因为且, 所以, 即 当且仅当 时取等号 , 所以 的最小值为
(2) 解法一 因为 , 所以, 即 当且仅当 时取等号), 所以 的最大值为
解法二 因为 , 所以 当且仅当时取等号, 所以的最大值为
解法三 因为, 所以 当 且仅当 时取等号 , 所以 的最大值为 4 .
【变式】 已知 , 则的最大值为
【答案】16
【解析】 解法一 因为, 所以 (当且仅当 即时,等号成立),故当时, 的最大值为 16 .
解法二 因为, 即 , 可得 当且仅当时,等号成立), 故当时, 的最大值为 16 .
结论三、已知 , 求 的范围
把 整体代换, 展开得:
【例3】已知实数 满足 ，且 , 则的最小值为______________
A.24B.16C.18D.12
【答案】
【解析】, 所以 , 当且仅当 时,等号成立. 故选 A.
【变式】 设 , 若是 与 的等比中项,则 的最小值为( )
A.B. 4C. 1 D.
【答案】 B
【解析】 因为 , 所以 , 于是
，当且仅当时成立，故选B.
结论四、己知 , 求 的范图
把 整体代换, 展开得:
【例4】 已知 , 且 , 求 的最小值.
【解析】 解法一 因为 , 所以 . 因为 , 所以 当且仅当 , 即时,等号成立 又 , 所以 . 所以当时,取最小值 16 .
解法二 由 , 得 . 因为 , 所以 . 因为, 所以 , 所以 当且仅当 , 即 时,等号成立,此时 所以当 时,取最小值 16 .
【变式】 若两个正实数满足, 且恒成立,则实数的取值范围是（ ）
A.B.C. D.
【答案】 C
【解析】因为正实数 满足 , 所以 , 当且仅当 时,即 时取得最小值 8 . 因为 恒成立，所以，解得，故选C.
结论五、柯西不等式
若 都是实数,则 , 当且仅当 时, 等号成立.
【例5】 设 ,且 ,则 的最小值为_____________
【答案】
【解析】 由柯西不等式得 , 当且仅当 时,等号成立. 所以 , 故 的最小值为 .
【变式】已知关于 的不等式 的解集为 .
(1)求实数 的值;
(2)求 的最大值.
【解析】 (1)由 , 得 ,则 , 解得 .
(2) 当且仅当 , 即 时,等号成立,故 =4.
结论六、权方和不等式
已知, 则 , 当 时,等号成立.
【例6】 已知 , 则 的最小值为______________
【答案】 125
【解析】由权方和不等式 得 当且仅当 , 即 时上式取最小值, 即 =25 .
【变式】 为正实数,且 ,则 的最小值是_______________
【答案】
【解析】, 当且仅当 , 即 时取得等号.