第56讲  直线与圆锥曲线

【知识通关】

通关一、直线与曲线联立

1.直线与椭圆联立

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；；

；

；

；

；

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2.直线与抛物线联立

，消去得.

；；.

通关二、中点问题与点差法

对于椭圆，设弦的两端点以及中点的坐标分别为、、，那么.两式相减，得，即.当，两边同除，得.于是我们得到弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系式：，.

通关三、切点弦问题

假设椭圆：在两点，处的切线分别为，，若，相交于点，那么：，：.

点同时位于直线和直线上，于是.

所以直线的方程为.这就意味着当定点位于椭圆外时，它对应的“切线方程”实际上是该点对应的切点弦方程.

下面给出点对于几种标准圆锥曲线的切点弦方程：圆：的点弦方程为；椭圆：的切点弦方程为；双曲线：的切点弦方程为；抛物线：的切点弦方程为.

【结论第讲】

结论一、直线与椭圆交点问题

（1），直线与椭圆有两个交点；

（2），直线与椭圆有一个交点（相切）；

（3），直线与椭圆无交点.

【例1】若直线与椭圆恒有公共点，求实数的取值范围.

【解析】解法一：由可得，所以，即，因为，所以且.

解法二：直线恒过一定点.当时，椭圆焦点在轴上，短半轴长，要使直线与椭圆恒有交点，则，即.当时，椭圆焦点在轴上，长半轴长，要使直线与椭圆恒有交点，则.综上，且.

解法三：直线恒过一定点.要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点在椭圆内部，，即.所以且.

【变式】已知中心在坐标原点的椭圆经过点，且点为其右焦点.

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在平行于的直线，使得直线与椭圆有公共点，且直线与的距离等于4？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

【解析】（1）依题意，可设椭圆的方程为，且可知左焦点为，从而有，解得.又，所以.故椭圆的方程为.

（2）假设存在符合题意的直线，其方程为.由得.

因为直线与椭圆有公共点，所以有，解得.另一方面，由直线与的距离等于4可得，从而.由于，所以符合题意的直线不存在.

结论二、切线问题

1.当点在圆上时，过该点的切线方程为；

2.当点在椭圆上时，过该点的切线方程为；

3.当点在双曲线上时，过该点的切线方程为；

4.当点在抛物线上时，过该点的切线方程为.

【例2】已知一条直线与椭圆相切于点，求切线的方程.

【解析】设过点的直线的方程为，将其与椭圆的标准方程联立，消去参数可得方程.因为该直线与椭圆相切，所以其判别式.所以该直线方程为，即.

【变式】已知椭圆，，是过点且相互垂直的两条直线，问实数为何值时，直线，都与椭圆相切.

【解析】设：，则：，与椭圆联立得，，即.同理，与椭圆相切，，于是，即，所以，即.

结论三、弦长问题

设椭圆与直线:相交于，两点，则弦长为：.

【例3】已知椭圆：.

（1）若斜率为1的直线过椭圆的右焦点，交椭圆于，两点，求弦的长.

（2）若直线为，当为何值时，直线被椭圆所截得的弦长？

【解析】（1）设，，由椭圆方程得，，，所以右焦点，所以直线方程为，代入中整理得，所以，所以.

（2）由方程组消去得，.当，即时，方程组有两个解，直线与椭圆相交，所以，解得，即当时，直线被椭圆所截得的弦长为.

【变式】已知椭圆：，为坐标原点，为椭圆的右顶点，点（异于点）为椭圆上一个动点，过作线段的垂线交椭圆于点，，求的取值范围.

【解析】显然直线的斜率存在，可设直线：.

（1）当时，直线：.联立直线与椭圆方程，化简得，所以①.联立直线与椭圆方程，有，所以②.于是由①，②得.设，，则.

（2）当时，，，所以.

综上，的取值范围是.

结论四、中点问题

1.已知椭圆内一点，则以为中点的弦所在的直线方程为；

2.已知抛物线内一点，则以为中点的弦所在的直线方程为.

【例4】已知椭圆与直线相交于，两点，是的中点，若，的斜率为，求椭圆的方程.

【解析】解法一：设，，代入椭圆方程得，，相减得.因为，，所以.由得，所以，.又，所以.将代入，解得，所.故椭圆方程为.

解法二：由得.设，，则，.所以，所以①.设，则，，所以.代入①得，.故椭圆方程为.

【变式】已知抛物线的焦点为，设，为抛物线上两点，且不与轴垂直，若线段的垂直平分线过点，求证：线段中点的横坐标为定值.

【解析】设线段中点的坐标为，，，因为不垂直于轴，不可能平行于轴，故直线的斜率为，直线的斜率为.

证法一：直线的方程为，联立方程，消去得，所.因为为中点，所以，即，所以，即线段中点的横坐标为定值2.

证法二：点，在抛物线上，故，两式相减得.故有，即，解得，即线段中点的横坐标为定值2.

结论五、垂直问题

1.斜率角度

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2.向量角度

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【例5】已知椭圆：的离心率为，椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线：与椭圆交于，两点，点，且，求直线的方程.

【解析】（1）由已知，，解得，，所以，所以椭圆的方程为.

（2）由得.直线与椭圆有两个不同的交点，所以，解得.设，，则，，，所以，，中点坐标为.因为，所以，，所以，解得，经检验，符合题意，所以直线的方程为或.

【变式】在平面直角坐标系中，抛物线：，斜率为2的直线与抛物线交于，两点.若的垂直平分线分别交轴和抛物线正，两点（，位于直线两侧），当四边形为菱形时，求直线的方程.

【解析】设直线的方程为，，，联立，消得，，所以.所以，，，，即的中点为.故的垂直平分线方程为.令得.因为四边形为菱形，所以，关于对称，所以点坐标为，且在抛物线上，有，解得，所以直线的方程为.