江苏省扬州中学2022-2023学年高三下学期模拟检测六数学试题

高三下期模拟检测六  数学试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量，，则“”是“”的(   )

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

2．若复数z满足，则复数z的虚部为(   )

A． B． C． D．

3．已知，．设，，，则(   )

A． B． C． D．

4．若向量a，b满足，，，则(   )

A．2 B． C．1 D．

5．已知数列为等差数列，首项，若，则使得的n的最大值为(   )

A．2007 B．2008 C．2009 D．2010

6．如图，已知直四棱柱的底面ABCD为直角梯形，，，且，，P，O，E分别为，AD，PC的中点，为正三角形，则三棱锥的体积为(   )

A．4 B．3 C．2 D．1

7．已知，是椭圆C：的两个焦点，点M在C上，则的最大值为(   )

A．13 B．12 C．9 D．6

8．设甲、乙两个袋子中装有若干个均匀的白球和红球，且甲、乙两个袋子中的球数比为1:3．已知从甲袋中摸到红球的概率为，而将甲，乙两个袋子中的球装在一起后，从中摸到红球的概率为，则从乙袋中摸到红球的概率为(   )

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，．下列命题正确的是(   )

A．当时，

B．函数有5个零点

C．若关于x的方程有解，则实数m的范围是

D．对，，恒成立

10．下列命题为真命题的是(   )

A．若，则

B．函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像

C．函数的单调递增区间为

D．的最小正周期为

11．甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以，表示从甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列说法正确的是(   )

A．  B． 事件B与事件相互独立

C．事件B与事件相互独立 D．，互斥

12．已知双曲线(，)的离心率为，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，则有(   )

A．渐近线方程为 B．渐近线方程为

C．  D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数，若对任意的实数x，恒有，则______________．

14．已知函数若函数有两个零点，则实数k的取值范围是__________．

15．已知，则的最小值是_________．

16．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为___________．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在①，②，③，．这三个条件中任进一个，补充在下面问题中并作答．

已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且________．

（1）求的值；

（2）若，，求的周长与面积．

18．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答下列问题．

已知等差数列的公差为，等差数列的公差为2d．设，分别是数列，的前n项和，且，，_________．

(1)求数列，的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和．

19．如图，在四棱锥中，，且．

（1）证明：平面平面PAD；

（2）若，，求二面角的余弦值．

20．已知双曲线(，)的左、右焦点分别为，，斜率为-3的直线l与双曲线C交于A，B两点，点在双曲线C上，且．

（1）求的面积；

（2）若(O为坐标原点)，点，记直线，的斜率分别为，，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

21．由中央电视台综合频道(CCTV-1)和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青年电视公开课．每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到了青年观众的喜爱．为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了A，B两个地区的100名观众，得到如下所示的列联表．

已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众来自B地区且喜爱程度为“非常喜欢”的概率为0．35．

（1）现从100名观众中根据喜爱程度用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取喜爱程度为“非常喜欢”的A，B地区的人数各是多少？

（2）完成上述表格，并根据表格判断是否有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系；

（3）若以抽样调查的频率为概率，从A地区随机抽取3人，设抽到喜爱程度为“非常喜欢”的观众的人数为X，求X的分布列和期望．

附：，，

22．已知函数，．

（1）求函数的极值点；

（2）若恒成立，求实数m的取值范围．

参考答案

1．答案：A

解析：若，则，所以；

若，则，解得，得不出．

所以“”是“”的充分不必要条件．故选A．

2．答案：B

解析：由题意，得，所以，

则复数z的虚部为．故选B．

3．答案：A

解析：由，

而，，

即；，，，，

，，，，

综上，．

故选：A．

4．答案：B

解析：，，，，

，，，．故选B．

5．答案：B

解析：数列为等差数列，若，则与异号．又首项，则公差，所以，，则，即．由等差数列的前n项和公式及等差数列的性质可得，，所以使得的n的最大值为2008．故选B．

6．答案：C

解析：因为P，O分别为，AD的中点，所以由直棱柱的性质知平面ABCD，又为正三角形，，所以，连接CO，在直角梯形ABCD中，易知，因为E为PC的中点，所以，故选C．

7．答案：C

解析：由题，，，则，

所以(当且仅当时，等号成立)．

故选：C．

8．答案：A

解析：假设甲袋中的总球数为x，则甲袋中有个红球，个白球，乙袋中的总球数为3x；又甲、乙两袋中共有个红球，所以乙袋中有个红球．因而从乙袋中摸到红球的概率为．故选A．

9．答案：AD

解析：本题考查函数的基本性质、函数的解析式、函数的零点，由于函数是定义在R上的奇函数，则当时，，，故A正确；由于函数是定义在R上的奇函数，则；当时，由，可得；结合奇函数的图象性质可知还有一个零点为，则函数有3个零点，故B错误；当时，由，得，由得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，此时；由的图象知若方程有解，则，故C错误；由C项可知，当时，；而当时，，则，则对，，恒成立，故D正确，故选AD．

10．答案：ACD

解析：本题考查三角恒等变换、三角函数的图像变换与性质．

对于A选项：，故A正确；

对于B选项：函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像，故B错误；

对于C选项：，

则由，，得，，故函数的单调递增区间为，故C正确；

对于D选项：，的最小正周期为，故D正确．故选ACD．

11．答案：AD

解析：根据题意画出树状图，得到有关事件的样本点数：

因此，，，故A正确；

又，，故B错误；同理，C错误；

显然，不可能同时发生，故，互斥，故D正确．故选AD．

12．答案：BC

解析：双曲线的渐近线方程为，离心率为，

则，则，，

故渐近线方程为，

取MN的中点P，连接AP，利用点到直线的距离公式可得，

则，

所以，则，

故选BC．

13．答案：

解析：因为

，且对任意实数x恒有，所以，，则，．

14．答案：

解析：有两个零点，即有两个根，即函数的图象与直线有两个交点，如图所示，显然，当或时，函数与有两个交点，故k的取值范围为．

15．答案：2

解析：因为，所以，

而

，

当且仅当，即时，等号成立．

故的最小值是2．

16．答案：

解析：易知半径最大的球即为该圆锥的内切球．圆锥及其内切球O如图所示，设内切球的半径为R，则，所以，所以，所以，所以内切球的体积，即该圆锥内半径最大的球的体积为．

17、（1）答案：

解析：若选①：由正弦定理得，

故，

而在中，，

故，又，

所以，则，

则，，

故．

若选②：由，化简得，代入中，整理得，

即，

因为，所以，所以，

则，

故．

若选③：因为，

所以，即，

则．

因为，所以，

则，，

故．

（2）答案：的周长为11；的面积为

解析：因为，且，

所以，．

由(1)得，，

则，

由正弦定理得，则，．

故的周长为，

的面积为．

18．答案：(1)，

(2)

解析：(1)选择条件①：

数列，都是等差数列，且，，，

，解得，

，

．

综上，，．

选择条件②：

数列，都是等差数列，且，，，

，，

，

．

综上，，．

选择条件③：数列，都是等差数列，且，，．

，解得，

，

．

综上，，．

(2)由(1)得，

．

19、（1）答案：证明见解析

解析：由已知，

得，．

由于，故，

从而平面PAD．

又平面PAB，

所以平面平面PAD．

（2）答案：二面角的余弦值为

解析：如图，在平面PAD内作，垂足为F．

由（1）可知，平面PAD，故，可得平面ABCD．

以F为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系．

所以，，，．

所以，，，．

设是平面PCB的法向量，则，

即，可取．

设是平面PAB的法向量，则，

即，可取．

则．

所以二面角的余弦值为．

20、（1）答案：

解析：依题意可知，，，

则，

，

又，所以，

解得(舍去)，又，所以，则，

所以的面积．

（2）答案：为定值-1

解析：由(1)可解得．

所以双曲线C的方程为．

设，，则，则，．

设直线l的方程为，

与双曲线C的方程联立，消去y得，

由，得．

由一元二次方程根与系数的关系得，，

所以．

则，

故为定值-1．

21、（1）答案：从A地抽取6人，从B地抽取7人

解析：由题意得，解得，

所以应从A地抽取(人)，从B地抽取(人)．

（2）答案：表格见解析，没有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系

解析：完成表格如下：

所以的观测值

，

所以没有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系．

（3）答案：分布列见解析，期望是2

解析：从A地区随机抽取1人，抽到的观众的喜爱程度为“非常喜欢”的概率为，

从A地区随机抽取3人，X的所有可能取值为0，1，2，3，

则，

，

，

．

所以X的分布列为

．

22、（1）答案：是的极大值点，无极小值点

解析：由已知可得，函数的定义域为，且，

当时，；当时，，

所以的单调递增区间为，单调递减区间为，

所以是的极大值点，无极小值点．

（2）答案：当时，恒成立

解析：设，，

则，

令，，

则对任意恒成立，

所以在上单调递减．

又，，

所以，使得，即，则，

即．

因此，当时，，即，则单调递增；

当时，，即，则单调递减，

故，解得，

所以当时，恒成立．