广西2023届高三第一次适应性测试（理科）数学试卷（含解析）

广西2023届高三第一次适应性测试（理科）数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：______________

一、单选题

1．已知集合且,，，则M等于（    ）

A． B．

C． D．

2．已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则（    ）

A． B． C． D．4

3．电动工具已成为人们生产和生活中常备的作业工具､数据显示，全球电动工具零部件市场规模由2016年的58亿美元增长至2020年的72亿美元，复合年均增长率达5.55%，2022年全球电动工具零部件市场规模达到80亿美元.根据此图，下列说法中正确的是（    ）

A．2016-2022年全球电动工具零部件市场规模逐步减少

B．2016-2022年全球电动工具零部件市场规模增长速度逐年增长

C．2021年全球电动工具零部件市场规模大于2020年全球电动工具零部件市场规模

D．2018-2019年全球电动工具零部件市场规模增速的差值最大

4．已知，则（    ）

A．1 B．  C．2 D．

5．已知数列满足，则数列的前5项和为（    ）

A．25 B．26 C．32 D．

6．已知随机变量服从正态分布，，则（ ）

A． B． C． D．

7．如图，已知圆锥的底面半径为1，母线长，一只蚂蚁从点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点，则蚂蚁爬行的最短距离为（    ）

A． B． C．6 D．

8．若，则（    ）

A． B． C． D．

9．已知函数的图象在处的切线与函数的图象相切，则实数

A． B． C． D．

10．已知数列的通项公式是，其中的部分图象如图所示，为数列的前n项和，则的值为（    ）

A． B． C． D．

11．过抛物线的焦点F作直线l交抛物线C于A，B两点，若点A到抛物线的准线的距离为3，则（    ）

A． B．3 C． D．4

12．已知函数，若，，，互不相等，且，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．已知满足约束条件，则目标函数的最大值为______．

14．如图，已知正方体的棱长为分别是棱的中点，点为底面四边形内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点在四边形内运动所形成轨迹的长度为__________.

15．如图，某测绘员为了测量一座垂直于地面的建筑物的高度，设计测量方案为先在地面选定距离为180米的，两点，然后在处测得，，在处测得，则此建筑物的高度为______米.

16．已知函数，点是函数图象上不同的两个点，设为坐标原点，则的取值范围是__________.

三、解答题

17．已知函数 ，，

(1)求的值；

(2)求函数的单调递增区间；

(3)求在区间上的最大值和最小值．

18．如图，在直三棱柱中，是等边三角形，,是棱的中点.

(1)证明：平面平面.

(2)求点到平面的距离.

19．某校高三年级有男生1800人，女生1200人.为了解学生本学期参与社区志愿服务的时长，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，并按“男生”和“女生”分为两组，统计他们参与社区志愿服务的时长，再将每组学生的志愿服务时间（单位：小时）分为5组：，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)从全年级学生中随机选取一位学生，估计该生社区志愿服务时间大于等于10小时并且小于20小时的概率；

(2)从样本中男生组和女生组各随机选取一位学生，记其中参与社区志愿服务不小于30小时的人数为，求的分布列和数学期望；

(3)从样本的男生中随机抽取3人，调查发现这3人上学期参加社区志愿服务的时长均小于10小时.据此数据能否推断本学期样本中男生参与社区志愿服务时长小于10小时的人数相比上学期减少了？说明理由.

20．已知函数，且f（x）在内有两个极值点（）．

(1)求实数a的取值范围；

(2)求证：．

21．已知圆的半径是2，圆心在直线上，且圆与直线相切.

（1）求圆的方程；

（2）若点是圆上的动点，点在轴上，的最大值等于7，求点的坐标.

22．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆的极坐标方程为．

(1)求的参数方程；

(2)已知点在上，若在处的切线与直线平行，求点的极坐标．

23．已知是上的奇函数，且当时，．

(1)求的解析式；

(2)作出函数的图象(不用列表)，并指出它的增区间．

参考答案

1．B

【分析】利用交集的定义直接求解.

【详解】因为 ，，且,

所以.

故选：B

2．B

【分析】由题意得，再代入式子计算即可得到答案.

【详解】由复数在复平面内对应的点的坐标为得

故选：B.

3．C

【分析】根据条形图和折线图可得出结果

【详解】由条形图可以看出全球电动工具零部件市场规模逐步增加，所以选项A错误；

由折线图可以看出2016-2022年全球电动工具零部件市场规模增长速度有增有减，所以选项B错误；

由条形图可以看出选项正确；

由折线图可以看出2017-2018年全球电动工具零部件市场规模增速的差值最大，所以选项D错误；

故选：C

4．B

【分析】根据同角关系式结合条件可得，然后根据诱导公式即得.

【详解】

，即，

所以，

或（舍），

所以．

故选：B.

5．A

【分析】根据题中条件，得到，可得数列是以3为首项，1为公差的等差数列，结合等差数列的求和公式，即可求出结果.

【详解】数列满足，整理得：（定值），

故数列是以首项，1为公差的等差数列，

所以.

故选：A.

6．A

【详解】由正态分布的特征得＝，选A.

7．B

【分析】画出圆锥的侧面展开图，则蚂蚁爬行的最短距离为，在中，解三角形即可.

【详解】已知圆锥的侧面展开图为半径是3的扇形，如图，

一只蚂蚁从点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点的最短距离为，设，

圆锥底面周长为，所以，所以，

在中，由，得

故选：B．

8．A

【分析】利用诱导公式化简给定等式得，再用二倍角余弦公式变形并借助齐次式法即可计算作答.

【详解】依题意，由诱导公式化为：，于是得：，

所以.

故选：A

9．B

【分析】先求函数的图象在处的切线，再根据该切线也是函数图象的切线，设出切点即可求解.

【详解】由，得，则，

又，所以函数的图象在处的切线为，即.

设与函数的图象相切于点,

由，可得

解得.

故选B.

【点睛】本题考查导数的几何意义与函数图象的切线问题.已知切点时，可以直接利用导数求解；切点未知时，一般设出切点，再利用导数和切点同时在切线和函数图象上列方程(组)求解.

10．D

【分析】由函数的图象求出其解析式，再求出数列的通项即可得解.

【详解】观察图象知：函数周期为T，，，

又，而，则，

所以，，

数列是周期数列，周期为6，其前6项依次为，则，

，则.

故选：D.

【点睛】结论点睛：周期为的周期性数列前n项和，先求从首项开始的长为一个周期的前几项和，再把n化为，则有.

11．A

【分析】求出抛物线C的焦点坐标及准线方程，根据给定条件求出点A的横坐标，

设出直线l的方程并与抛物线方程联立，求出B的横坐标即可计算作答.

【详解】抛物线的焦点，准线为：，设点，

依题意，，解得，显然，直线l的斜率存在且不为0，设其方程为，

由消去y并整理得：，则有，于是得，

因此，，

所以.

故选：A

12．C

【分析】由的图象判断其单调区间，设，由已知可得且、，即有，再构造函数应用单调性求范围.

【详解】由图象知：在、上是减函数，在、上是增函数，且，.

，，，互不相等，且，

不妨设，则，

由，得，

，即，又，得，

，令，

由对勾函数的单调性可知：在上单调递增，

∴，

故选：.

【点睛】关键点点睛：画出草图，根据其单调区间结合已知条件求，，，之间的关系，进而得到关于其中一个参数的函数式，利用函数单调性求范围即可.

13．

【分析】由约束条件可得可行域，将问题转化为在轴截距最小，利用数形结合的方式可得结果.

【详解】由约束条件可得可行域如下图所示，

当取最大值时，在轴截距最小，

由图象可知：当过时，在轴截距最小，

由得：，即，.

故答案为：.

14．

【分析】利用直线与平面没有交点，转化为寻找过直线且与平面平行的平面，平面与底面的交线即为所求，再求出线段长就可得到结果.

【详解】取的中点，连接，如图所示：

分别是棱的中点，所以，

又因为平面平面，所以平面.

因为，

所以四边形为平行四边形，所以.

又因为平面平面，所以平面.

因为，所以平面平面.

因为点为底面四边形内（包括边界）的一动点，直线与平面无公共点，

所以的轨迹为线段，则.

故答案为：.

15．

【分析】本题先求，再求，最后求即可.

【详解】解：在中，

∵ ，，∴

由正弦定理：即，解得：，

在中，∵

∴

故答案为：.

【点睛】本题考查直角三角形内的边长关系、三角形内角和定理、正弦定理，是基础题.

16．

【分析】作出函数的图形，求出过原点且与函数的图象相切的直线的方程，以及函数的渐近线方程，结合两角差的正切公式，数形结合可得出的取值范围.

【详解】当时，，则，

所以，函数在上为增函数；

当时，由可得，即，

作出函数的图象如下图所示：

设过原点且与函数的图象相切的直线的方程为

，设切点为，

所以，切线方程为，

将原点坐标代入切线方程可得，

即，构造函数，其中，则，

所以，函数在上单调递减，且，

由，解得，所以，，

而函数的渐近线方程为，

设直线与的夹角为，设直线的倾斜角为，

则，

结合图形可知，.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于求出设过原点且与函数的图象相切的直线的方程以及函数的渐近线方程，再利用两角差的正切公式以及数形结合思想求解.

17．(1)1；

(2)

(3)最大值为2，最小值为-1.

【分析】(1)直接利用函数的关系式求出函数的值；

(2)利用整体代换发即可求出函数的单调增区间；

(3)结合(2)，利用函数的定义域求出函数的单调性，进而即可求出函数的最大、小值.

(1)

由，

得；

(2)

令，

整理，得，

故函数的单调递增区间为；

(3)

由，得，

结合(2)可知，函数的单调递增区间为，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

故当时，函数取得最小值，且最小值为，

当时，函数取得最大值，且最大值为.

18．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由题意证明平面，根据面面垂直的判定定理即可证明结论.

（2）求得三棱锥的体积，设点到平面的距离为，表示出三棱锥的体积，利用等体积法,即可求得答案.

【详解】（1）证明：由直三棱柱的定义可知平面.

因为平面，所以；

因为是等边三角形，，且是棱的中点，所以.

因为平面，且，所以平面.

因为平面，所以平面平面.

（2）连接，

由题意可得的面积.

因为是边长为4的等边三角形，且是棱的中点，所以.

由（1）可知平面，则三棱锥的体积

因为是棱的中点，且，所以，则.

由（1）可知平面,平面 ，则，

从而的面积.

设点到平面的距离为，则三棱锥的体积.

因为，所以，解得，

即点到平面的距离为.

19．(1);

(2)分布列见解析，0.6;

(3)答案见解析.

【分析】（1）由频率分布直方图可得社区志愿服务时间大于等于10小时并且小于20小时的人数，计算对应频率即可得出概率;

（2）由题可知的所有可能取值为,求出分别对应的概率，列出分布列，即可求出期望值；

（3）从样本的男生中随机抽取3人，这3人上学期参加社区志愿服务的时长均小于10个小时的概率小于，由此可从不同角度作答.

（1）

首先由分层抽样可得100名学生中，男生人数为，女生人数为.

又由直方图中所有小长方形面积之和为1，可得.所以男、女生中社区志愿服务时间大于等于10小时并且小于20小时的人数分别为,.

由此可估计从全年级学生中随机选取一位学生，该生社区志愿服务时间大于等于10小时并且小于20小时的概率为.

（2）

由题可知的所有可能取值为.

记“所取男生的社区志愿服务不小于30个小时”，“所取女生的社区志愿服务不小于30个小时”.

则，

故，

.

所以的分布列为

.

（3）

假设本学期样本中男生参与社区志愿服务时长小于10小时的人数与上学期相比没有减少.即上学期这60位男生中社区志愿服务小于10小时的人数不超过.则从样本的男生中随机抽取3人，调查发现这3人上学期参加社区志愿服务的时长均小于10个小时的概率不超过.

答案1 可以认为本学期样本中男生参与社区志愿服务时长小于10小时的人数相比上学期减少了.这是一个小概率事件，但是却发生了，由此可以推断本学期样本中男生参与社区志愿服务时长小于10小时的人数相比上学期减少了.

答案2 不能确定本学期样本中男生参与社区志愿服务时长小于10小时的人数相比上学期减少了.虽然这是一个小概率事件，但是仍有发生的可能，因此不能确定本学期样本中男生参与社区志愿服务时长小于10小时的人数相比上学期减少了.

20．(1)

(2)见解析

【分析】(1)转化为有两个根，讨论单调性结合函数图象可求解；(2)等价于证明构造函数即可证明.

【详解】（1）由题可知, ,令,即,

即有两个根,

令,则,

由得,,解得;由得,,解得,

所以在单调递增, 单调递减,

时,

所以要使有两个根,则,

解得,所以.

（2）由(1)可知 且，所以

要证，只用证，

等价于证明，

而，即，

故等价于证明，

即证.

令，则，

于是等价于证明成立，

设，

，

所以 在上单调递增，

故，即成立，

所以，结论得证.

21．（1）或；（2）或．

【分析】（1）利用圆心在直线上设圆心坐标，利用相切列方程即可得解；

（2）利用最大值为7确定圆，设点的坐标，找到到圆上点的最大距离列方程得解．

【详解】解：（1）设圆心的坐标为，

因为圆与直线相切，

所以，

即，

解得或，

故圆的方程为：，或；

（2）由最大值等于可知，若圆的方程为，则的最小值为，故不故符合题意；

所以圆的方程为：，

设，

则，

的最大值为：，

得，

解得或．

故点的坐标为或．

【点睛】此题考查了圆方程的求法，点到圆上点的距离最值等，属于中档题．

22．(1)（为参数，）；

(2).

【分析】（1）首先根据的极坐标方程求出的普通方程，然后即可求出的参数方程；

（2）根据几何关系求出直线倾斜角，然后利用参数方程求出点的直角坐标，再利用极坐标公式求出点的极坐标.

【详解】（1）由，所以，

结合，得，

化简得，

所以C的参数方程为（为参数，）.

（2）由（1）所得的参数方程，可设点

因为在处的切线与直线平行，所以，

化简得，又，所以，所以，

所以，，则，所以点的极坐标为.

23．(1)

(2)作图见解析；增区间为，．

【分析】（1）设，则，求出的表达式，再根据可得时的解析式，结合，写成分段函数的形式即可；

（2）根据分段函数作出的图象，由图象即可得单调递增区间.

【详解】（1）设，则，

所以．

又因为函数是奇函数，所以，

所以，

当时，由，

所以.

（2）作出函数图象，如图所示．

由函数图象易得函数的增区间为，．