山西省2023届高三第一次模拟考试数学试卷（含解析）

这是一份山西省2023届高三第一次模拟考试数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
山西省2023届高三第一次模拟考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：____________一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．2．设复数z满足：，则（    ）A． B． C． D．3．为了给地球减负，提高资源利用率，垃圾分类在全国渐成风尚，假设2021年两市全年用于垃圾分类的资金均为万元.在此基础上，市每年投入的资金比上一年增长20％，市每年投入的资金比上一年增长50％，则市用于垃圾分类的资金开始超过市的两倍的年份是（    ）（参考数据：）A．2022年 B．2023年 C．2024年 D．2025年4．已知圆C的一条直径的端点坐标分别是和，则圆C的方程是（　　）A． B．C． D．5．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，若，，则等于（    ）A． B． C． D．6．考察下列两个问题：①已知随机变量，且，，记；②甲、乙、丙三人随机到某3个景点去旅游，每人只去一个景点，设A表示“甲、乙、丙所去的景点互不相同”，表示“有一个景点仅甲一人去旅游”，记，则（    ）A． B． C． D．7．已知，则下列结论正确的序号是（    ）①，②，③，④若，则A．①② B．①③ C．①④ D．②④8．已知函数，给出下列结论：①的最小正周期为；②点，是函数的一个对称中心；③在上是增函数；④把的图象向左平移个单位长度就可以得到的图象，则正确的是（    ）A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④二、多选题9．某同学用搜集到的六组数据绘制了如下散点图，在这六个点中去掉点后重新进行回归分析，则下列说法正确的是（    ）A．决定系数变小 B．相关系数的绝对值越趋于1C．残差平方和变小 D．解释变量与预报变量相关性变弱10．记，已知，且，则下列结论正确的为（    ）A．的最小值为8 B．的最小值为8C．的最小值为 D．的最小值为611．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前n项和，则下列结论正确的是（    ）A． B．C． D．12．在如图所示的棱长为的正方体中，点在侧面所在的平面上运动，则下列命题中正确的（    ）A．若点总满足，则动点的轨迹是一条直线B．若点到点的距离为，则动点的轨迹是一个周长为的圆C．若点到直线的距离与到点的距离之和为1，则动点的轨迹是椭圆D．若点到平面与到直线的距离相等，则动点的轨迹抛物线.三、填空题13．已知函数，若，则______.14．已知二项式的展开式中各项系数和为256，则展开式中的常数项为____. （用数字作答）15．设函数，若对任意的实数都成立，则的最小值为__________．16．已知是抛物线上一点，为其焦点，点在圆上，则的最小值是__________.四、解答题17．在中，内角所对的边分别为，且．(1)若，求角的值；(2)若外接圆的周长为，求面积的取值范围．18．已知数列的首项，前项和为，且满足，数列满足，对任意的，，都有.(1)求数列，的通项公式；(2)若，数列的前项和为，求.19．如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，为线段上一点.(1)求证：；(2)在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.20．2016年春节期间全国流行在微信群里发､抢红包，现假设某人将688元发成手气红包50个，产生的手气红包频数分布表如下：金额分组频 数39171182（1）求产生的手气红包的金额不小于9元的频率；（2）估计手气红包金额的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；（3）在这50个红包组成的样本中，将频率视为概率．①若红包金额在区间内为最佳运气手，求抢得红包的某人恰好是最佳运气手的概率；②随机抽取手气红包金额在内的两名幸运者，设其手气金额分别为，，求事件“”的概率．21．已知双曲线的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线相切．(1)求双曲线的方程；(2)已知点为双曲线的左焦点，试问在轴上是否存在一定点，过点任意作一条直线交双曲线于，两点，使为定值？若存在，求出此定值和所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由．22．已知函数．(1)当时，讨论函数的单调性；(2)若，求的最大值．
参考答案1．C【分析】根据一元一次不等式可解得集合，再根据函数值域求法可求得集合，由交集运算即可得出结果.【详解】由题意可得，由函数值域可得，所以．故选：C2．B【分析】根据复数的运算法则和模的概念可证得，由此即可求得结果.【详解】设复数，则，（）则，故．，．故选：B．3．D【分析】设经过年后，市投入资金为万元，市投入资金为万元，即可表示出、，由题意可得，利用对数的运算性质解出的取值范围即可．【详解】解：设经过年后，市投入资金为万元，则，市投入资金为万元，则由题意可得，即，即，即，即所以，所以，即2025年该市用于垃圾分类的资金开始超过市的两倍；故选：D．4．C【分析】利用中点公式求得圆心坐标，再求出半径，可得圆C的方程．【详解】圆C的一条直径的端点坐标分别是（4，1）和（﹣2，3），故利用中点公式求得圆心为（1，2），半径为，故圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝10，故选C．【点睛】本题主要考查求圆的方程的方法，关键是求出圆心和半径，属于基础题．5．C【分析】根据几何图形，结合向量加，减，数乘运算，即可计算.【详解】如图，∵＝(＋)，且，＝＋＝.∴＝.故选：C6．C【分析】根据二项分布的期望公式和方差公式求得，从而可求得，再根据条件概率公式求得，即可得出答案.【详解】解：由，解得，则，又，所以.故选：C.7．B【分析】推导出，利用指数函数的单调性可判断①，利用作差法可判断②④，利用函数在上的单调性可判断③.【详解】因为，即，则，得.对于①，因为指数函数为上的减函数，则，①对；对于②，，则，②错；对于③，构造函数，其中，则，所以，函数在上为增函数，则，即，故，③对；对于④，，则，则，④错.故选：B.8．C【解析】化简函数解析式可得，利用三角函数的图象性质依次判断即可得出结果.【详解】 即，则周期，故①正确；，故②正确；当时，，在上是增函数故③正确；因为，所以把的图像向左平移个单位长度就可以得到的图像，故④错误，故选：C.9．BC【分析】从图中分析得到去掉点后，回归效果更好，再由决定系数，相关系数，残差平方和和相关性的概念和性质作出判断.【详解】从图中可以看出点较其他点，偏离直线远，故去掉点后，回归效果更好，决定系数越接近于1，所拟合的回归方程越优，故去掉点后，变大，越趋于1，A错误；相关系数越趋于1，拟合的回归方程越优，故去掉点后，故相关系数的绝对值越趋于1，B正确；残差平方和变小拟合效果越好，故C正确；解释变量与预报变量相关性增强，D错误.故选：BC10．BCD【分析】A选项直接通过基本不等式和化积，解关于积的不等式可求得其最大值；BC选项均以含y的式子表示x，再代入构造对勾函数求最小值即可判断；D选项需对和的大小进行讨论，分别求得最小值来判断.【详解】A选项，，解得，A不正确；B选项，由得，，则当且仅当，即时取“”，B正确；C选项，，当且仅当，即时取“”，C正确；D选项，，令，则，当时，，，当时，，，故的最小值为6，D正确；故选：BCD.11．ABCD【分析】对于A：直接由递推公式写出数列的前6项，即可判断；对于B：直接求出数列的前7项的和；对于C：由递推关系直接求解；对于D：由，直接转化，即可判断【详解】对于A：写出数列的前6项为1，1，2，3，5，8，故A正确.对于B：，故B正确.对于C：由，，，…，，可得，故C正确.对于D：斐波那契数列总有，则，故D正确.故选：ABCD12．ABD【分析】根据线面垂直的判定定理可得面，可得面，进而可得在面与面的交线上可判断A；由已知可得动点的轨迹是以为圆心，为半径的小圆（在平面内），可判断B；由可判断C；根据点到平面的距离以及点到直线的距离结合抛物线的定义可判断D；进而可得正确选项.【详解】对于A：因为面，面，可得，因为，，所以面，因为点总满足，所以面，点面，因为面，所以点在面与面的交线上，所以动点的轨迹是一条直线，故选项A正确；对于B：点的轨迹是以为球心，半径为的球面与平面的交线，即点的轨迹是小圆，设小圆的半径为，因为球心到平面的距离为，所以，交线即以为圆心，为半径的小圆（在平面内），所以小圆的周长为，故选项B正确；对于C：点到直线的距离即是点到点的距离，即平面内点满足，所以满足条件的点的轨迹是线段，而不是椭圆，故选项C不正确；对于D：点到平面与到直线的距离相等，则动点的轨迹是以线段的中点为顶点，直线为对称轴的抛物线，（在平面内），故选项D正确；故选：ABD.13．【分析】解方程即得解.【详解】由题得【点睛】本题主要考查函数求导，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.14．28【分析】利用二项式系数的和求出n，再利用二项式通项公式求出常数项的项，进而求出常数项..【详解】∵各项系数和为256，令得，即该二次展开式中的第项为令，得，此时常数项为故答案为：28.【点睛】本题考查了二项式系数、二项式的通项公式，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目.15．【分析】根据题意取最大值，根据余弦函数取最大值条件解得的表达式，进而确定其最小值.【详解】因为对任意的实数x都成立，所以取最大值，所以，因为，所以当时，取最小值为.【点睛】函数的性质（1）.（2）周期（3）由求对称轴，最大值对应自变量满足，最小值对应自变量满足，（4）由求增区间；由求减区间.16．【解析】根据抛物线方程求得准线方程，过点作垂直于准线于，根据抛物线的定义判断，问题转化为求的最小值，根据在圆上，判断出当三点共线时，有最小值，进一步求出结果【详解】解：是抛物线上一点，抛物线的准线方程为，过点作垂直于准线于，则，所以，因为点在圆上，圆的圆心，半径为1，所以当三点共线时，取得最小值6，故答案为：6【点睛】关键点点睛：此题考查了抛物线的简单性质的应用，解题的关键是利用了抛物线的定义，结合图形将转化为进行求解，考查数形结合的思想和转化思想，属于中档题17．(1)(2) 【分析】（1）由，根据余弦定理和正弦定理可得，结合三角恒等变化即可求解；（2）利用圆的周长公式可得外接圆的半径为，再根据余弦定理和均值不等式求得的范围，代入三角形面积公式即可求解.【详解】（1）因为，所以由余弦定理得，解得，所以由正弦定理可得，由，得，即，又因为，，且，所以，解得．由知，不是最大边，故．（2）因为外接圆的周长为，所以外接圆的半径，又因为，当且仅当时等号成立，所以，由正弦定理可得，所以，所以的面积．因为，所以，所以．18．(1)，(2) 【分析】（1）根据题意，利用可求出，根据等差数列定义可求出；（2）利用错位相减法即可求出数列的前项和为.【详解】（1）当时，，∵，∴，当时，，，两式相减得，得，∴数列的通项公式为.对任意的，，都有，令，得，∴数列是首项和公差均为2的等差数列，∴数列的通项公式为.（2）由（1）得，∴，①，②由①－②得，∴.19．(1)证明见解析(2)存在， 【分析】（1）由面面垂直性质定理得平面，进而证明平面即可证明结论；（2）解法一：以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可；解法二：假设存在满足条件的点，过点作于点，连接，进而证明为二面角的平面角，进而结合题意，根据几何关系求解即可.【详解】（1）证明：连接交于，连接，因为四边形为正方形，所以，.因为正方形与矩形所在平面互相垂直，交线为平面，所以平面，.又平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以.（2）解：存在满足条件的点.解法一：因为为正方形，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，，因为矩形中，所以，以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，如图.因为，则，所以.易知为平面的法向量，设，所以.设平面的法向量，所以，即，取，得，又二面角的大小为，所以，即，解得.又因为，所以，即.解法二：假设存在满足条件的点，过点作于点，连接，因为为正方形，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，因为平面所以，所以为二面角的平面角，所以.在中，，所以，又在中，，，所以，因为，所以，所以，在中，，所以.20．（1）；（2）平均数为：12.44；（3）①；②【分析】（1）由题意利用互斥事件概率加法公式能求出产生的手气红包的金额不小于9元的频率．（2）先求出手气红包在，、，、，、，、，、，内的频率，由此能求了出手气红包金额的平均数．（3）①由题可知红包金额在区间，内有两人，由此能求出抢得红包的某人恰好是最佳运气手的概率．②由频率分布表可知，红包金额在，内有3人，在，内有2人，由此能求出事件“ “的概率．【详解】解：（1）由题意得产生的手气红包的金额不小于9元的频率：，产生的手气红包的金额不小于9元的频率为．（2）手气红包在，内的频率为，手气红包在，内的频率为，手气红包在，内的频率为，手气红包在，内的频率为，手气红包在，内的频率为，手气红包在，内的频率为，则手气红包金额的平均数为：．（3）①由题可知红包金额在区间，内有两人，抢得红包的某人恰好是最佳运气手的概率．②由频率分布表可知，红包金额在，内有3人，设红包金额分别为，，，在，内有2人，设红包金额分别为，，若，均在，内，有3种情况：，，，若，均在，内只有一种情况：，若，分别在，和，内，有6种情况，即，，，，，，基本事件总数，而事件“ “所包含的基本事件有6种，．【点睛】本题考查频率的求法，考查概率的求法，属于中档题，解题时要认真审题，注意频数分布表的性质的合理运用．21．(1)(2)存在，定值为1， 【分析】(1)利用点到直线的距离公式求得的只，再根据焦距，求得即可求解；(2)假设存在满足条件的点，先在直线垂直于轴时，求得定值，再结合根与系数的关系，分析验证直线不垂直于轴时，求得此定值的情况，从而得出结论.【详解】（1）原点到直线的距离，，，双曲线的方程为；（2）假设存在点满足条件，①当直线方程为时，则，；②当直线方程不是时，可设直线，代入整理得，由得，设方程的两个根为，，满足，，当且仅当时，为定值1，解得，不满足对任意，，不合题意，舍去．而且满足；综上得：过定点任意作一条直线交双曲线于，两点，使为定值1．22．(1)函数在区间上单调递增，在区间上单调递减(2) 【分析】（1）将代入，求导后判断导数与0的关系即可得单调性；（2）将所证不等式转化为，通过证明不小于函数切线所对应的函数值，进而得到，再次构造函数，利用导数求出最值即可.(1)当时，，定义域为，所以，当时，，当时，，所以当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．(2)由，得，故．设点为上一点，，则在点处的切线为．设，则，当时，，当时，，故函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．故，所以．令，则，设，，当时，，当时，故函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．故，所以的最大值为．【点睛】该题证明不等式主要是由含有参数的一次函数联想到曲线的切线问题，证明曲线始终再切线的上方，进而将分别用表示是解题的关键.