2024高考数学一轮复习讲义（步步高版）第九章　§9.1　随机抽样、统计图表

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考试要求 1.了解获取数据的基本途径.2.会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本，了解分层随机抽样.3.能根据实际问题的特点选择恰当的统计图表，体会使用统计图表的重要性．
知识梳理
1．总体、个体、样本
调查对象的全体(或调查对象的某些指标的全体)称为总体，组成总体的每一个调查对象(或每一个调查对象的相应指标)称为个体，在抽样调查中，从总体中抽取的那部分个体称为样本，样本中包含的个体数称为样本容量，简称样本量．
2．简单随机抽样
抽签法和随机数法是比较常用的两种方法．
3．分层随机抽样
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层．
4．统计图表
(1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频率分布直方图等．
(2)作频率分布直方图的步骤
①求极差；
②决定组距与组数；
③将数据分组；
④列频率分布表；
⑤画频率分布直方图．
常用结论
1．利用比例分配的分层随机抽样要注意按比例抽取，若各层应抽取的个体数不都是整数，可以进行一定的技术处理，比如将结果取成整数等．
2．在比例分配的分层随机抽样中，以层数是2层为例，如果第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层和第2层的样本平均数分别为eq \x\t(x)，eq \x\t(y)，样本平均数为eq \x\t(w)，则eq \x\t(w)＝eq \f(M,M＋N)eq \x\t(x)＋eq \f(N,M＋N)eq \x\t(y)＝eq \f(m,m＋n)eq \x\t(x)＋eq \f(n,m＋n)eq \x\t(y).
3．频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距，不要和条形图混淆．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在简单随机抽样中，每个个体被抽到的机会与先后顺序有关．( × )
(2)抽签法和随机数法都是简单随机抽样．( √ )
(3)在比例分配的分层随机抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．( × )
(4)在频率分布直方图中，小长方形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越大．
( √ )
教材改编题
1．从某市参加升学考试的学生中随机抽查1 000名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法错误的是( )
A．总体指的是该市参加升学考试的全体学生
B．样本是指1 000名学生
C．样本量指的是1 000名学生
D．个体指的是该市参加升学考试的每一名学生
答案 C
解析 对于C，样本量是1 000，故C错误．
2．为了了解我国某品牌手机的销售情况，小张在某网站上下载了如图所示的统计图．
小张是通过________获取数据．
答案 查询
3．已知某一段公路限速70千米/时，现抽取400辆通过这一段公路的汽车的速度，其频率分布直方图如图所示，则这400辆汽车中在该路段超速的有________辆．
答案 80
解析 速度在(70,80]内的频率为1－(0.01×10＋0.03×10＋0.04×10)＝0.2，
所以在(70,80]内的频数为0.2×400＝80.
故这400辆汽车中在该路段超速的有80辆.
题型一 抽样方法
例1 (1)总体由编号01,02，…，29,30的30个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )
第1行 78 16 62 32 08 02 62
42 62 52 53 69 97 28
01 98
第2行 32 04 92 34 49 35 82
00 36 23 48 69 69 38
74 81
A．19 B．25 C．26 D．27
答案 B
解析 由随机数表法可知，样本的前5个个体的编号分别为23,20,26,24,25，因此，选出的第5个个体的编号为25.
(2)某社区为迎接中秋节，组织了隆重的庆祝活动，为全面了解社区居民的文娱喜好，已知参加活动的老年人、中年人、青年人的人数比为10∶13∶12，如果采用比例分配的分层随机抽样方法从所有人中抽取一个70人的样本进行调查，则应抽取的青年人的人数为( )
A．20 B．22 C．24 D．26
答案 C
解析 由比例分配的分层随机抽样的等比例关系，可得eq \f(12,10＋13＋12)×70＝24.
思维升华 (1)简单随机抽样需满足：①被抽取的样本总体的个体数有限；②逐个抽取；③等可能抽取．
(2)在比例分配的分层随机抽样中，抽样比＝eq \f(样本容量,总体容量)＝eq \f(各层样本容量,各层个体总量).
跟踪训练1 (1)2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”设计造型可爱，市场供不应求，某厂的三个车间在一个小时共生产450个冰墩墩，在出厂前要检查这批冰墩墩的质量，决定采用比例分配的分层随机抽样方法进行抽取，若从一、二、三车间中抽取的冰墩墩数量分别为a，b，c且a，b，c构成等差数列，则第二车间生产的冰墩墩的个数为( )
A．200 B．300 C．120 D．150
答案 D
解析 由题意可得a＋c＝2b，则第二车间生产的冰墩墩数量为eq \f(b,a＋b＋c)×450＝eq \f(b,3b)×450＝150.
(2)(2022·广州模拟)假设要考查某公司生产的500 g袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数法抽取样本时，先将800袋牛奶按000,001，…，799进行编号，若从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则得到的第4个个体的编号是________．
(下面摘取了随机数表第7行到第9行)
84421753315724550688770474476721763350258392120676
63016378591695566719981050717512867358074439523879
33211234297864560782524207443815510013429966027954
答案 068
解析 根据随机数表可得，样本的前4个个体的编号依次为331,572,455,068.
题型二 统计图表
例2 (1)(多选)新式茶饮是指以上等茶叶通过萃取浓缩液，再根据消费者偏好，添加牛奶、坚果、柠檬等小料调制而成的饮料．如图为2022年我国消费者购买新式茶饮的频次扇形图及月均消费新式茶饮金额的条形图．
根据所给统计图，下列结论中正确的是( )
A．每周都消费新式茶饮的消费者占比不到90%
B．每天都消费新式茶饮的消费者占比超过20%
C．月均消费新式茶饮50～200元的消费者占比超过50%
D．月均消费新式茶饮超过100元的消费者占比超过60%
答案 BC
解析 每周都消费新式茶饮的消费者占比1－9.1%>90%，A错误；
每天都消费新式茶饮的消费者占比5.4%＋16.4%>20%，B正确；
月均消费新式茶饮50～200元的消费者占比30.5%＋25.6%>50%，C正确；
月均消费新式茶饮超过100元的消费者占比1－14.5%－30.5%