2024高考数学一轮复习讲义（步步高版）第九章　§9.2　用样本估计总体

这是一份2024高考数学一轮复习讲义（步步高版）第九章　§9.2　用样本估计总体，共15页。试卷主要包含了5 D．116，01＋m＋0，3,36，83，5 B．18等内容，欢迎下载使用。

知识梳理
1．百分位数
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．
2．平均数、中位数和众数
(1)平均数：eq \x\t(x)＝eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)．
(2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)．
(3)众数：一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据)．
3．方差和标准差
(1)方差：s2＝eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n, )(xi－eq \x\t(x))2或eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n,x)eq \\al(2,i)－eq \x\t(x)2.
(2)标准差：s＝eq \r(\f(1,n)\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)2).
4．总体(样本)方差和总体(样本)标准差
(1)一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为eq \x\t(Y)，则总体方差S2＝eq \f(1,N)eq \i\su(i＝1,N, )(Yi－eq \x\t(Y))2.
(2)加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝eq \f(1,N)eq \i\su(i＝1,k,f)i(Yi－eq \x\t(Y))2.
常用结论
1．若x1，x2，…，xn的平均数为eq \x\t(x)，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为meq \x\t(x)＋a.
2．数据x1，x2，…，xn与数据x1′＝x1＋a，x2′＝x2＋a，…，xn′＝xn＋a 的方差相等，即数据经过平移后方差不变．
3．若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近．( × )
(2)方差与标准差具有相同的单位．( × )
(3)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变．( √ )
(4)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数．( √ )
教材改编题
1．若数据x1，x2，…，x9的方差为2，则数据2x1，2x2，…，2x9的方差为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
答案 D
解析 根据方差的性质可知，数据x1，x2，…，x9的方差s2＝2，那么数据2x1，2x2，…，2x9的方差为22s2＝8.
2．某射击运动员7次的训练成绩分别为86,88,90,89,88,87,85，则这7次成绩的第80百分位数为( )
A．88.5 B．89 C．91 D．89.5
答案 B
解析 7次的训练成绩从小到大排列为85,86,87,88,88,89,90，
7×80%＝5.6，所以第80百分位数为从小到大排列的数据中的第6个数据，即89.
3．某校体育节10名旗手的身高(单位：cm)分别为175,178,176,180,179,175,176,179,180,179，则中位数为________．
答案 178.5
解析 把10名旗手的身高从小到大排列为175,175,176,176,178,179,179,179,180,180，
则eq \f(178＋179,2)＝178.5，所以所求中位数为178.5.
题型一 样本的数字特征和百分位数的估计
例1 (1)从某中学抽取10名同学，他们的数学成绩如下：82,85,88,90,92,92,92,96,96,98(单位：分)，则这10名同学数学成绩的众数、第25百分位数分别为( )
A．92,85 B．92,88
C．95,88 D．96,85
答案 B
解析 数据92出现了3次，出现的次数最多，所以众数是92；这组数据已经按照由小到大的顺序排列，计算10×25%＝2.5，取第三个数，所以第25百分位数是88.
延伸探究 本例中，第70百分位数是多少？
解 10×70%＝7，第70百分位数是第7项与第8项的平均数，为eq \f(92＋96,2)＝94.
(2)(多选)(2023·哈尔滨模拟)下面是某城市某日在不同观测点对细颗粒物(PM2.5)的观测值：
396 275 268 225 168 166 176 173
188 168 141 157
若在此组数据中增加一个比现有的最大值大25的数据，下列数字特征发生改变的是( )
A．极差 B．中位数
C．众数 D．平均数
答案 ABD
解析 根据题意，若在此组数据中增加一个比现有的最大值大25的数据，即最大值变为396＋25＝421，极差为最大值与最小值的差，要发生改变；
加入数据前，中位数为eq \f(1,2)×(173＋176)＝174.5，加入数据后，中位数为176，发生改变；
众数为数据中出现次数最多的数，不会改变；
若加入数据前，平均数为eq \x\t(x)，加入数据后，平均数为eq \f(12\x\t(x)＋421,13)>eq \x\t(x)，发生改变．
思维升华 计算一组n个数据第p百分位数的步骤
跟踪训练1 (1)某中学高一年级8名学生某次考试的数学成绩(满分150分)分别为85,90,93,99,101,103,116,130，则这8名学生数学成绩的第75百分位数为( )
A．102 B．103 C．109.5 D．116
答案 C
解析 这组数据已经按照由小到大的数据排列，8×75%＝6，则这8名学生数学成绩的第75百分位数为第6个数与第7个数的平均数，即为eq \f(103＋116,2)＝109.5.
(2)(多选)冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合性运动会．自1924年起，每四年举办一届.2022年2月在北京举办了第24届冬季奥林匹克运动会，为了宣传奥运精神，红星实验学校组织了甲、乙两个社团，利用一周的时间对外进行宣传，将每天宣传的次数绘制成如图所示的频数分布折线图，则( )
A．甲社团宣传次数的众数小于乙社团宣传次数的众数
B．甲社团宣传次数的极差大于乙社团宣传次数的极差
C．甲社团宣传次数的平均数大于乙社团宣传次数的平均数
D．甲社团宣传次数的方差大于乙社团宣传次数的方差
答案 ABD
解析 观察每天宣传次数的频数分布折线图，
甲社团宣传次数的众数、乙社团宣传次数的众数分别为2,3，A正确；
甲社团宣传次数的极差、乙社团宣传次数的极差分别为3,2，B正确；
甲社团宣传次数的平均数eq \x\t(x)1＝eq \f(2＋2＋3＋2＋5＋4＋3,7)＝3，乙社团宣传次数的平均数eq \x\t(x)2＝eq \f(2＋2＋3＋4＋3＋3＋4,7)＝3，C不正确；
甲社团宣传次数的方差seq \\al(2,1)＝eq \f(1,7)×[3×(2－3)2＋2×(3－3)2＋(5－3)2＋(4－3)2]＝eq \f(8,7)，
乙社团宣传次数的方差seq \\al(2,2)＝eq \f(1,7)×[2×(2－3)2＋3×(3－3)2＋2×(4－3)2]＝eq \f(4,7)，D正确．
题型二 总体集中趋势的估计
例2 为了讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对中国共产党的热爱，某学校举办了一场党史竞赛活动，共有500名学生参加了此次竞赛活动．为了解本次竞赛活动的成绩，从中抽取了50名学生的成绩(成绩均为整数，满分为100分)进行统计，所有学生的成绩都不低于60分，将这50名学生的成绩(单位：分)进行分组，第一组[60,70)，第二组[70,80)，第三组[80,90)，第四组[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中m的值，并估计此次竞赛活动学生成绩的中位数；
(2)根据频率分布直方图，估计此次竞赛活动成绩的平均数．若对成绩不低于平均数的同学进行奖励，请估计在参赛的500名学生中有多少名学生获奖．
解 (1)由频率分布直方图知(0.01＋m＋0.04＋0.02)×10＝1，解得m＝0.03；
设此次竞赛活动学生成绩的中位数为x0，因为数据落在[60,80)内的频率为0.4，落在[60,90)内的频率为0.8，
从而可得80