2024高考数学一轮复习讲义（步步高版）第十章　§10.6　离散型随机变量及其分布列、数字特征

这是一份2024高考数学一轮复习讲义（步步高版）第十章　§10.6　离散型随机变量及其分布列、数字特征，共19页。试卷主要包含了8时，实数a的取值范围是等内容，欢迎下载使用。

知识梳理
1．离散型随机变量
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量．
2．离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．
3．离散型随机变量分布列的性质
(1)pi≥0，i＝1,2，…，n；
(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.
4．离散型随机变量的均值(数学期望)与方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
(1)均值(数学期望)
称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝eq \i\su(i＝1,n,x)ipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．它反映了随机变量取值的平均水平．
(2)方差
称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝eq \i\su(i＝1,n, )(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，并称eq \r(DX)为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度．
5．均值(数学期望)与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．
常用结论
1．E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数．
2．E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．
3．D(X)＝E(X2)－(E(X))2.
4．若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.( × )
(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( √ )
(3)如果随机变量X的分布列由下表给出，
则它服从两点分布．( × )
(4)方差或标准差越小，则随机变量的偏离程度越小．( √ )
教材改编题
1．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，则{ξ＝3}表示( )
A．甲赢三局
B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局二次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
答案 D
解析 因为甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，
故{ξ＝3}表示两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．
2．已知X的分布列为
设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为( )
A.eq \f(7,3) B．4 C．－1 D．1
答案 A
解析 E(X)＝－1×eq \f(1,2)＋0×eq \f(1,3)＋1×eq \f(1,6)＝－eq \f(1,3)，
E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－eq \f(2,3)＋3＝eq \f(7,3).
3．若离散型随机变量X的分布列为
则X的方差D(X)＝________.
答案 eq \f(1,4)
解析 由eq \f(a,2)＋eq \f(a2,2)＝1，得a＝1或a＝－2(舍去)．
∴X的分布列为
∴E(X)＝0×eq \f(1,2)＋1×eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)，
则D(X)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(1,2)))2×eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))2×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4).
题型一 分布列的性质
例1 (1)若随机变量X的分布列为
则当P(X