2024高考数学一轮复习讲义（步步高版）第十章　§10.9　概率、统计与其他知识的交汇问题[培优课]

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有关概率、统计与其他知识相交汇的考题，能体现“返璞归真，支持课改；突破定势，考查真功”的命题理念，是每年高考的必考内容．近几年将概率、统计问题与数列、函数、导数结合，成为创新问题．
题型一 概率、统计与数列的综合问题
例1 “每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子”．某公司组织全员每天进行体育锻炼，订制了主题为“百年风云”的系列纪念币奖励员工，该系列纪念币有A1，A2，A3，A4四种．每个员工每天自主选择“球类”和“田径”中的一项进行锻炼．锻炼结束后员工将随机等可能地获得一枚纪念币．
(1)某员工活动前两天获得A1，A4，则前四天恰好能集齐“百年风云”系列纪念币的概率是多少？
(2)通过抽样调查发现，活动首日有eq \f(3,4)的员工选择“球类”，其余的员工选择“田径”；在前一天选择“球类”的员工中，次日会有eq \f(1,3)的员工继续选择“球类”，其余的选择“田径”；在前一天选择“田径”的员工中，次日会有eq \f(1,2)的员工继续选择“田径”，其余的选择“球类”．用频率估计概率，记某员工第n天选择“球类”的概率为Pn.
①计算P1，P2，并求Pn；
②该公司共有员工1 400人，经过足够多天后，试估计该公司接下来每天各有多少员工参加“球类”和“田径”运动？
解 (1)设事件E为“该员工前四天恰好能集齐这4枚纪念币”，
由题意知，样本点总数N＝4×4＝16，
事件E包含的样本点的个数n＝2×1＝2，
所以该员工前四天恰好能集齐这四枚纪念币的概率P(E)＝eq \f(2,16)＝eq \f(1,8).
(2)①由题意知，P1＝eq \f(3,4)，P2＝eq \f(1,3)P1＋eq \f(1,2)(1－P1)＝eq \f(1,2)－eq \f(1,6)P1＝eq \f(1,2)－eq \f(1,6)×eq \f(3,4)＝eq \f(3,8)，
当n≥2时，Pn＝eq \f(1,3)Pn－1＋eq \f(1,2)(1－Pn－1)＝eq \f(1,2)－eq \f(1,6)Pn－1，
所以Pn－eq \f(3,7)＝－eq \f(1,6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Pn－1－\f(3,7)))，
又因为P1－eq \f(3,7)＝eq \f(3,4)－eq \f(3,7)＝eq \f(9,28)，
所以eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(Pn－\f(3,7)))是以eq \f(9,28)为首项，以－eq \f(1,6)为公比的等比数列，
所以Pn－eq \f(3,7)＝eq \f(9,28)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,6)))n－1，
即Pn＝eq \f(3,7)＋eq \f(9,28)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,6)))n－1.
②由①知，当n足够大时，选择“球类”的概率近似于eq \f(3,7)，
假设用ξ表示一天中选择“球类”的人数，
则ξ～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1 400，\f(3,7)))，
所以E(ξ)＝1 400×eq \f(3,7)＝600，
即选择“球类”的人数的均值为600，
所以选择“田径”的人数的均值为800.
即经过足够多天后，估计该公司接下来每天有600名员工参加球类运动，800名员工参加田径运动．
思维升华 高考有时将概率、统计等问题与数列交汇在一起进行考查，此类问题常常以概率、统计为命题情景，同时考查等差数列、等比数列的判定及其前n项和，解题时要准确把握题中所涉及的事件，明确其所属的事件类型．
跟踪训练1 (2022·太原模拟)足球运动是深受人们喜爱的一项体育运动，其中守门员扑点球和传球是足球训练中的两个重要训练项目．
(1)假设发点球时，球员等可能地选择左、中、右三个方向射门，守门员等可能地选择左、中、右三个方向扑点球，且守门员方向判断正确时，有eq \f(1,3)的可能将球扑出球门外．在一次点球战中，求守门员在前三次点球中，把球扑出球门外的个数X的分布列和均值；
(2)某次传球训练中，教练员让甲、乙、丙、丁4名球员进行传接球训练，从甲开始传球，甲等可能地传给另外3人中的1人，接球者再等可能地传给另外3人中的1人，如此一直进行．假设每个球都能被接住，记第n次传球后球又回到甲脚下的概率为Pn.求证：数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(Pn－\f(1,4)))为等比数列，并求Pn.
解 (1)每个点球能被守门员扑出球门外的概率P＝3×eq \f(1,3)×eq \f(1,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,9)，
由题意可知，X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(1,9)))，
P(X＝0)＝Ceq \\al(0,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,9)))3＝eq \f(512,729)，
P(X＝1)＝Ceq \\al(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,9)))1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,9)))2＝eq \f(192,729)＝eq \f(64,243)，
P(X＝2)＝Ceq \\al(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,9)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,9)))1＝eq \f(24,729)＝eq \f(8,243)，
P(X＝3)＝Ceq \\al(3,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,9)))3＝eq \f(1,729)，
则X的分布列为
E(X)＝3×eq \f(1,9)＝eq \f(1,3).
(2)由已知得，第(n－1)次传球后球又回到甲脚下的概率为Pn－1，
∴当n≥2时，Pn＝(1－Pn－1)·eq \f(1,3)，
∴Pn－eq \f(1,4)＝－eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Pn－1－\f(1,4)))，
∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(Pn－\f(1,4)))是首项为P1－eq \f(1,4)＝－eq \f(1,4)，公比为－eq \f(1,3)的等比数列，
∴Pn－eq \f(1,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))n－1，
∴Pn＝eq \f(1,4)－eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))n－1.
题型二 概率、统计与导数的综合问题
例2 (2023·岳阳模拟)中国国家统计局2021年9月30日发布数据显示，2021年9月中国制造业采购经理指数(PMI)为49.8%，反映出中国制造业扩张步伐有所加快．以新能源汽车、机器人、增材制造、医疗设备、高铁、电力装备、船舶、无人机等为代表的高端制造业突飞猛进，进一步体现了中国制造业当前的跨越式发展．已知某精密制造企业根据长期检测结果，得到生产的产品的质量差服从正态分布N(μ，σ2)，并把质量差在(μ－σ，μ＋σ)内的产品称为优等品，质量差在(μ＋σ，μ＋2σ)内的产品称为一等品，优等品与一等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理．现从该企业生产的正品中随机抽取1 000件，测得产品质量差的样本数据统计如图所示：
(1)取样本数据的方差s2的近似值为100，用样本平均数eq \x\t(x)作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，记质量差X～N(μ，σ2)，求该企业生产的产品为正品的概率P(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；
(2)假如企业包装时要求把2件优等品和n(n≥2，n∈N*)件一等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同，则该箱产品记为A，否则该箱产品记为B.
①试用含n的代数式表示某箱产品抽检被记为B的概率p；
②设抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率为f(p)，求当n为何值时，f(p)取得最大值，并求出最大值．
参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3.
解 (1)由题意估计从该企业生产的正品中随机抽取1 000件的平均数
eq \x\t(x)＝0.010×10×eq \f(46＋56,2)＋0.020×10×eq \f(56＋66,2)＋0.045×10×eq \f(66＋76,2)＋0.020×10×eq \f(76＋86,2)＋0.005×10×eq \f(86＋96,2)＝70，
∴μ≈eq \x\t(x)＝70，
又样本方差s2≈100，∴σ≈eq \r(s2)＝10，∴X～N(70，102)，
则优等品质量差在(μ－σ，μ＋σ)，即(60,80)内，
一等品质量差在(μ＋σ，μ＋2σ)，即(80,90)内，
∴正品质量差在(60,80)和(80,90)，即(60,90)内，
∴该企业生产的产品为正品的概率
P＝P(60