人教版七年级下数学第八章二元一次方程组复习讲义

人教版七年级下数学第八章二元一次方程组复习讲义

一、知识点梳理总结

1、二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数次数都是1的整式方程。

注意判断方程是二元一次方程，必须满足以下条件：（1）含有两个未知数；（2）所含未知数的次数都是1；（3）整式方程（未知数不能在分母）。

2、二元一次方程组：有两个未知数，含每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个整式方程。

注意判断一组方程是二元一次方程组，必须满足以下条件：（1）共含有两个未知数；（2）两个一次整式方程所组成的。

3、二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值叫做二元一次方程的解（通常情况下有无数组解）。书写形式：

4、二元一次方程组的解：二元一次方程组中两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解。也就是说二元一次方程组的解必须同时满足两个方程。书写形式：

5、二元一次方程组解的情况。若二元一次方程的一般式为，则（1）若≠有唯一解；（2）若＝＝有无数组解；（3）若＝≠有无数组解；

6、用某个字母表示另一个字母：即把第一个字母看成已知数，第二个字母看成未知数（即求第二个字母）。

如：2＋＝1，如用表示，则＝。

7、解二元一次方程组的方程通常有：（1）代入消元法；（2）加减消元法。

二、考点剖析

题型1 二元一次方程（组）的概念和判断

【例1】下列方程为二元一次方程的是（    ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】A.,是二元一次方程，故该选项正确；

B.,是一元一次方程，故该选项不正确；

C.1,次数为2，不是二元一次方程，故该选项不正确；

D.,次数为2，不是二元一次方程，故该选项不正确。故选A

【变式1-1】若方程是关于，的二元一次方程，则的值为 ______ ．

【答案】

【解析】根据题意得且，解得．

【变式1-2】下列方程：

①；②；③；④；⑤；⑥，其中是二元一次方程的有（   ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】根据二元一次方程的定义作答．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．

【详解】解：①属于二元一次方程，故符合题意；

②中分母含有未知数，不属于二元一次方程，故不符合题意；

③中的未知数的次数为2，不属于二元一次方程，故不符合题意；

④属于二元一次方程，故符合题意；

⑤中的未知数的次数为2，不属于二元一次方程，故不符合题意；

⑥中分母含有未知数，不属于二元一次方程，故不符合题意；

故其中二元一次方程有2个．故选：B．

【点睛】本题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．

【变式1-3】（2022·浙江长兴·期中）下到方程组中，属于二元一次方程组的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用二元一次方程组的定义判断即可．

【解析】解：A、属于二元一次方程组，符合题意；B、有三个未知数，不属于二元一次方程组，不符合题意；C、属于二元二次方程组，不符合题意；

D、属于二元二次方程组，不符合题意，故选：A．

【点睛】此题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解本题的关键．

题型2 方程（组）的解的相关运用

【例2】下列是二元一次方程的解为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】A．把代入得：，即不是二元一次方程的解；

B．把代入得：，即是二元一次方程的解；

C．把代入得：，即不是二元一次方程的解；

D．把代入得：，即不是二元一次方程的解；    故选：B

【变式2-1】方程的非负整数解有（   ）

A.1组 B.2组 C.3组 D.4组

【答案】C

【解析】∵

∴,

∴当时，；时，；时，,

则方程的非负整数解为，，，故选：C.

【变式2-2】（2022·吉林七年级阶段练习）关于x、y的二元一次方程有一个解是，则k的值是（    ）

A．1 B．﹣1 C．0 D．2

【答案】A

【分析】根据方程的解的定义，把代入方程，得到一个含有未知数k的一元一次方程，从而可以求出k的值．

【详解】解：把代入方程，得：

，

∴．

故选：A．

【点睛】此题考查了二元一次方程的解的问题，解题的关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数k为未知数的方程．

【变式2-3】若二元一次方程组的解为，则a+b的值是(　　　)

A．9 B．6 C．3 D．1

【答案】C

【分析】根据二元一次方程组的解及解二元一次方程组即可解答．

【解析】解：将代入方程组得解得：

∴a+b=1+2=3．故选：C．

【点睛】此题主要考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组，正确理解二元一次方程组的解和灵活选择消元法解二元一次方程组是解题关键．

题型3 代入消元法和加减消元法

例3.解方程组：①②③④，比较适宜的方法是(    )

A．①②用代入法，③④用加减法 B．①③用代入法，②④用加减法

C．②③用代入法，①④用加减法 D．②④用代入法，①③用加减法

【答案】B

【解析】①中的第一个方程为x=2y，显然可用代入法；

②中的y的系数互为相反数，显然用加减法；

③中的x+y=0，可得y=-x，用代入法较简便；

④中的第一个方程同乘以2，即可用加减法进行消元．

①③用代入法，②④用加减法选第二个答案．故选择：B.

【变式3-1】用加减法解方程组时，要使方程组中同一个未知数的系数相等或互为相反数，必须适当变形．以下四种变形中正确的是（ ）

① ② ③ ④

A．①② B．②③ C．①③ D．④

【答案】B

【解析】①中.错误；④中错误．故选B

【变式3-2】用适当方法解下列方程组：

(1)    (2)

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用加减消元法，进行计算即可解答；

（2）利用代入消元法，进行计算即可解答．

（1）

解①+②得：

解得

把代入①得：

解得

∴原方程组的解为．

（2）

把①代入②得：

解得

把代入①得：

解得

∴原方程组的解为

【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组是解题的关键．

题型4  整体构造法求代数式的值

例4.  若关于 的方程组的解满足 ，则 的值为（　　）

A．2020 B．2021 C．2022 D．2023

【答案】B

【分析】用整体思想①+②，得6x+6y=6k+6，等式两边都除以6，得x+y=k+1，再根据x+y=2022，从而计算出k的值．

【详解】解：，

①+②，得6x+6y=6k+6，∴x+y=k+1，

∵x+y=2022，∴k+1=2022，∴k=2021．故选：B．

【点睛】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解，掌握用加减消元法解二元一次方程组是解题关键．

【变式4-1】若方程组的解中，则k等于_____．

【答案】2020

【分析】将方程组的两个方程相加，可得，再根据，即可得到，进而求出的值．

【解析】解：，①②得，，即：，

，，故答案为：2020．

【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，整体代入是求值的常用方法．

【变式4-2】已知x，y，z满足 ，则的值为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【分析】按照解三元一次方程组的步骤先求出、，后代入式子中进行计算即可解答．

【详解】解：，

由①+②得： ，

∴ ③，

将③代入①，得 ，

解得： ，

∴

=

=3，

故选：B．

【点睛】本题考查了解三元一次方程组，求代数式的值，熟练掌握解三元一次方程组的方法——代入消元法和加减消元法是解题的关键．

题型5 整体消元法解方程组

解题技巧：

例5.若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于x，y的二元一次方程组的解是____________．

【答案】

【分析】根据第一个二元一次方程组的解求出，的值代入第二个方程组中，求出，的值即可，

【详解】解：关于，的二元一次方程组的解是，

，

，

，

解这个方程组得，．

故答案为：．

【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解，本题的关键是先通过第一个方程组求出，的值．

【变式5-1】阅读探索：

知识累计：解方程组

解：设，，原方程组可变为

解方程组得：，即，解得．所以此种解方程组的方法叫换元法．

(1)拓展提高：运用上述方法解下列方程组：

(2)能力运用：已知关于，的方程组的解为，求出关于，的方程组的解．

【答案】(1)  (2)

【分析】（1）根据换元法设，，进行求解计算即可；

（2）根据换元法设进行求解计算即可．

（1）

解：设，，原方程组可变为：

解得：

即

解得：

（2）

解：设可得解得：．

【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解决问题的关键.

题型6 二元一次方程组同解问题

例6.（2022·浙江·台州市八年级开学考试）若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先用含k的代数式表示x、y，即解关于x，y的方程组，再代入2x+3y=6中计算即可得出答案．

【详解】解：方程组，由①+②得：2x+3y=4k+9，

∵2x+3y=6，∴4k+9=6，∴k=；故选：A．

【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，先用含k的代数式表示x，y，即解关于x，y的方程组，再代入2x+3y=6中可得．其实质是解三元一次方程组．

【变式6-1】（2022·贵州紫云·期末）已知方程组与的解相同，那么________．

【答案】

【分析】重新组合方程组，解得x，y的值，再代入，求出a，b的值，进而即可求解

【解析】∵方程组与的解相同，

∴方程组与的解相同，由①②得：，

代入，得，解得：∴故答案是：

【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解，熟练掌握解二元一次方程组的加减消元法，是解题的关键．

题型7 二元一次方程（组）的整数解问题

例7.2022·福建·泉州科技中学七年级期中）若关于、的方程组有整数解，则正整数的值为_______．

【答案】、、

【分析】先把a当作已知数，求解二元一次方程组，再根据方程有整数解得a−3必须同时整除10与15，从而得出或或或，求解各方程即可得解．

【详解】解：

得，，

∴，

将 代入得，

，

方程组有整数解，

或或或，

或或或，

又为正整数，故舍去，

的值为，，．

故答案为、、．

【点睛】本题考查解二元一次方程组，求二元一次方程组中的参数，根据消元法求出x，y是解题的关键．

【变式7-1】（2022·浙江·七年级期中）已知关于x，y的二元一次方程，它的正整数解有（    ）对

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【分析】用y表示出x，将y=1，2，…，代入计算得到x为正整数即可．

【详解】解：方程x+2y=7，解得：x=-2y+7，当y=1时，x=5；y=2时，x=3；y=3时，x=1，

则方程的正整数解有3对．故选：B．

【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是用y表示出x．

题型8三元一次方程组及相关应用

例8.一个两位数，个位数字比十位数字大5，如果把个位数字与十位数字对调，那么所得到的新数与原数的和是99，设原来的两位数个位数字是x，十位数字是y，可列方程组______．

【答案】

【解析】设原来的两位数个位数字是x，十位数字是y，

根据题意，得．

【变式8-1】国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋，已知购买5支毛笔和12副围棋共花费315元，购买8支毛笔和6副围棋共花费240元，求每支毛笔和每副围棋的单价各多少元．

【答案】每支毛笔的单价为15元，每副围棋的单价为20元．

【解析】设每支毛笔的单价为元，每副围棋的单价为元，

根据题意得，解得．

答：每支毛笔的单价为15元，每副围棋的单价为20元．

【变式8-2】我国古代数学名著《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，上面记载有这样一个问题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？请你解答这个问题．

【答案】合伙人数为21人，羊价为150钱

【解析】设合伙人数为人，羊价为钱，

依题意有：，解得，

答：合伙人数为21人，羊价为150钱．

题型9二元一次方程的新定义问题

例9.（2022·上海普陀·期末）使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．如果一个二元一次方程的解中两个未知数的绝对值相等，那么我们把这个解称做这个二元一次方程的等模解．二元一次方程2x﹣5y＝7的等模解是____．

【答案】或

【详解】解：根据题意得：或，

解得：或，故答案为：或．

【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是需要分两种情况解方程组，注意不要漏解．

【变式9-1】我们把关于x、y的两个二元一次方程x+ky＝b与kx+y＝b（k≠1）叫做互为共轭二元一次方程；二元一次方程组叫做共轭二元一次方程组．

(1)若关于x、y的方程组为共轭方程组，则a=　   　，b=　   　．

(2)解下列方程组（直接写出方程组的解即可）：

的解为　   　   ；的解为　   　   ．

(3)发现：若共轭方程组的解是则m、n之间的数量关系是　   　   ．

【答案】(1)-1，1

(2)，

(3)m=n

【分析】（1）根据共轭方程组的定义，得出1-a=2，b+2=3，解方程即可；

（2）利用加减消元法求解；

（3）将代入，得出，解关于的二元一次方程组即可求解．

（1）

解：由定义可得：1-a=2，b+2=3，

∴a=-1，b=1，

故答案为：-1，1；

（2）

解方程组

①×2-②得：3y=3，

∴y=1，

将y=1代入①得，x+2=3，

∴x=1，

∴方程组的解为：；

③×2-④×3得：-5y=10，

∴y=-2，

将y=-2代入③得：3x-4=-10，

∴x=-2，

∴方程组的解为：；

故答案为：，；

（3）

将代入，

得，

∴m+kn=km+n，

∴m-km=n-kn，

m（1-k）=n（1-k），

∵k≠1，

∴m=n．

故答案为：m=n．

【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解题的关键是理解共轭二元一次方程和共轭二元一次方程组的定义．