河南省济洛平许2023届高三第四次质量检测理科数学试题

济洛平许2022—2023学年高三第四次质量检测

理科数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合,},则

A.      B.            

2. 已知复数满足, 则=

 A. 1                C.                 D.1或

3. 在区间[-2,2]上随机取一个数,则直线与圆 有公共点的概率是

4. 2022年，中央网信办举报中心受理网民举报违法和不良信息1.72亿件.下面是2021年、2022年连续两年逐月全国网络违法和不良信息举报受理情况数据及统计图，下面说法中错误的是

A.2022年比2021年平均每月举报信息数量多

B.举报信息数量按月份比较，8月平均最多

C.两年从2月到4月举报信息数量都依次增多

D.2022年比2021年举报信息数据的标准差大

5.  双曲线 的两条渐近线为，左焦点为，若点关于直线的对称点恰在直线上，则双曲线的离心率为

                                    C.2                   

6. 下述四个结论：

①命题“若,则”的否命题是“若,则”;

②是的必要而不充分条件;

③若命题“”.与命题“或”都是真命题，则命题一定是真命题；

④命题“”的否定是‘

其中所有正确结论的序号是

A.①②                 B.②③                 C.④                    D.②③④

7. 已知在R上单调递增,且为奇函数.若正实数满足,则 的最小值为

8. 已知数列 {}满足  则  =

A.2023              B.2024                  C.4045                 D.4047

9. 已知,则的大小关系是

A.                           B.

C.                           D.

10. 在正方体中,分别为的中点,则下列结论正确的个数为

①//平面                         ②

③直线与所成角的余弦值为 

④过三点的平面截正方体所得的截面为梯形

A.1              B.2                 C.3                  D.4

11.若函数在 上存在两个零点，则的取值范围是

12. 为抛物线Γ:上任意一点，F为抛物线的焦点.如图,的最小值为4,直线与抛物线Γ交于，点在线段上，点在抛物线Γ上.若四边形为菱形,且轴,则=

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知的二项式系数之和为64,则展开式中的系数为            ______(用数字作答).

14. 已知向量,若则=            .

15. 已知等差数列{}的前n项和为，是等比数列且( 数列{}的前项和为,若       则 =            .

16. 三棱锥的四个顶点都在半径为5的球面上，已知到平面的距离为7，,=6.记与平面所成的角为,则 的取值范围为         .

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题:共60分。

17. (12分)

△的内角的对边分别为

(1)求;

(2)若在线段上且和都不重合,     求Δ面积的取值范围.

18. (12分)

为进一步加强学生的文明养成教育，推进校园文化建设，倡导真善美，用先进人物的先进事迹来感动师生，用身边的榜样去打动师生，用真情去发现美，分享美，弘扬美，某校以争做最美青年为主题，进行“最美青年”评选活动，最终评出了10位“最美青年”，其中6名女生4名男生、学校准备从这10位“最美青年”中每次随机选出一人做事迹报告.

(1)若每位“最美青年”最多做一次事迹报告，记第一次抽到女生为事件，第二次抽到男生为事件,求;

(2)根据不同需求，现需要从这10位“最美青年”中每次选1人，可以重复，连续4天分别为高一、高二、高三学生和全体教师做4场事迹报告，记这4场事迹报告中做报告的男生人数为，求的分布列和数学期望.

19. (12分)

如图,四边形为菱形,⊥平面,,

 (1)证明:平面⊥平面;

(2)若∠=60°,求二面角的大小.

20. (12分)

椭圆  的短轴长为2，离心率为   过点(3，0)的直线与椭圆交于两点.

(1)求椭圆的方程；

(2)椭圆上是否存在点,使得直线与直线分别交于点A,B,且?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

21. (12分)

已知函数

(1)求的单调区间;

(2)若方程的两个解分别为,求证: .

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22. [选修4—4:坐标系与参数方程](10分)

在直角坐标系中，曲线的参数方程为    (为参数).以坐标原点为极点、轴正半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为(2，)，曲线的极坐标方程为 曲线的交点为

(1)求和的直角坐标方程；

(2)圆经过三点,过原点的两条直线分别交圆于和四点,求证:

23. [选修4—5:不等式选讲](10分)

已知函数的最小值为, 的最小值为实数满足,

(1)求和;

(2)证明: 

济洛平许2022—2023学年高三第四次质量检测

理科数学参考答案

一、选择题：   BACDC       BACCB       AD

二、填空题：  13. 60          14.        15. 538       16.

三、解答题：

17. 解：由得由正弦定理得              

.

所以.                                   ……………………4分

又因为，所以，

所以，所以.                                 ……………………6分

（2）由得，故.   

因为，所以.  

所以.                                             ……………………7分

由（1）可知，，设,

则,,.              

在中，由正弦定理可知.    …………8分

在中，由正弦定理可知.         ……………9分

故 …10分

.

因为，所以，所以.

所以.所以.

即.                                             ……………………12分

18. 解：（1）由题意可得：.                    ……………………2分

“在第一次抽到女生的条件下，第二次抽到男生”的概率就是事件A发生的条件下，事件B发生的

概率，则，.                       ……………………4分

故.                                     ……………………6分

（2）被抽取的4次中男生人数X的取值为0，1，2，3，4且.     ……………………7分

;           ;

;

.         

X的分布列：

……………………11分

X的数学期望.                                     ……………………12分

19. (1)证明：设BD交AC于点O，连接EO，FO，因为四边形ABCD为菱形，所以.

因为ED平面ABCD,AC平面ABCD，所以.

又，所以平面BDEF；所以.              ……………………2分

设FB=1，由题意得ED=2，.

因为FB//ED，所以FB平面ABCD，所以，，.                                

因为，所以.                            ……………………4分

因为，所以EO平面ACF.                           ……………………5分

又EO平面EAC，  所以平面EAC平面FAC.                     ……………………6分

(2)       取EF中点G，连接OG，所以OG//ED，OG底面ABCD.

以O为原点，以分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，    ……7分

因为，由（1）中所设可知，

所以，,

所以.

所以，，.      ……………………8分

设平面FAE的一个法向量为，                             

则 

所以.                                             ………………9分

同理，可求得平面AEC的一个法向量.                    ……………………10分

所以 .                          ……………………11分

所以二面角的大小为                                    ……………………12分    

20.  解：（1） ，则.                                         …………3分

所以椭圆的方程为.                                              …………4分

  （2）当l斜率不为0时,设，联立.  ………5分

.

设，

则.                                     ……………………6分

直线，令得

.                                   ……………………7分

同理可得.                                            ……………………8分

于是

.      

若，则由，与直线的任意性矛盾；…………………9分

若，则

. ……………11分

所以点的坐标为或(当l斜率为0时也成立).        ……………………12分

21.  解：（1）对函数求导可得：，                               …………………1分

令 则.    

当单调递减，单调递增.     ………2分

所以，  

所以，，在上单调递增.                   ……………………3分

故的单调递增区间是，无递减区间.                       ……………………４分

（2）若方程有两个解，，不妨设，原方程可以变形为：，设，， 由，得，                                                                                                                                                                                                   ……………………6分

因为函数是增函数，所以，则，

设，则，，                                  ……………………8分

欲证，即证，  只需证（*）         ……………………9分

设，，，在上，，单调递减，

所以，所以， 令即得（*）成立，

从而，命题得证．                                                      ……………………１2分  

22.  解：（1）曲线的极坐标方程为，根据公式可得：，

所以曲线直角坐标方程为：.                                  ……………………2分

曲线的参数方程为（t为参数），即：.    又,

所以曲线的普通方程为.                          ……………………5分

（2）曲线，的交点为，，点M的坐标为.   ……………………6分

圆的方程为：. 其极坐标方程为.     …………………7分

设直线，的极坐标方程分别为R)，R)，

分别代入圆的极坐标方程得，

,   ;                            ……………………8分

,   .                              ……………………9分

所以有.                                                               ……………………10分

23.  解：（1）函数的最小值为m=0.                                    ……………………2分

             函数,                              ……………………3分

         函数在上单调递减，在上单调递增，，          ……………………4分

         所以函数的最小值为n =1.                                         ……………………5分

（2）由（1）知.                                            ……………………6分

因为，

所以，                      ……………………7分

又因为                                  ……………………8分

所以，  又，

所以,  所以.                              ……………………9分

所以.                                                          ……………………10分