2023年中考数学高频考点突破——二次函数与面积

这是一份2023年中考数学高频考点突破——二次函数与面积，共58页。试卷主要包含了如图，已知抛物线与x轴交于A等内容，欢迎下载使用。
2023年中考数学高频考点突破——二次函数与面积
1．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别相交于点A和点B，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，B两点，且其对称轴是直线x＝2．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)设P是抛物线上一动点，若在此抛物线上，有且仅有三个点P，使△ABP的面积等于定值S，请求出该定值S和这三个P点的坐标；
(3)如图2，动点C，D分别在x轴上方、下方的抛物线上运动，且满足∠CAO＝∠DAO，连接CD交x轴于点E，当点C，D运动时，∠CEO的度数发生变化吗？若不变，求出sin∠CEO的值；若变化，请求出∠CEO的变化范围．
2．如图，已知二次函数的图象经过点，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)是抛物线上第一象限上的一点，连接，正好将的面积分成相等的两部分，求点的坐标．
(3)抛物线上是否存在点，使，若存在请求出点的坐标．若不存在，请说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线（a，c为常数）与x轴交于、两点，与y轴交于C，点D在线段BC上，且．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若P为第四象限内该抛物线上一动点，求△BDP面积的最大值；
(3)M是抛物线对称轴上一点，N在抛物线上，直接写出所有以A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形时的N的坐标，并把其中一个求N坐标的过程写出来．
4．在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知，，．连接，作交的延长线于点D．

(1)求抛物线对应的二次函数表达式；
(2)求点D的坐标；
(3)直线上是否存在点P，使得的面积与四边形面积之比为1∶2？如果存在请求出点P的坐标，如果不存在请说明理由．
5．如图，已知抛物线与x轴交于A（1，0）、 B（－3，0）两点，与y轴交于C（0，3）．

(1)求抛物线的函数表达式：
(2)设P为抛物线上一动点，点P在直线BC上方时，求△BPC面积的最大值：
(3)若M为抛物线上动点，点N在抛物线对称轴上，是否存在点M、N使点A、C、M、N为平行四边形？如果存在，直接写出点N的坐标：如果不存在，请说明理由．
6．如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线的表达式为．

(1)求抛物线的表达式；
(2)动点D在直线上方的二次函数图象上，连接，设的面积为S，求S的最大值；
(3)当点E为抛物线的顶点时，在x轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点Q的坐标．
7．图，抛物线与轴相交于，两点（点位于点的左侧），与轴相交于点，是抛物线的顶点且横坐标为1，点的坐标为（0，3），为线段上一个动点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)过点作轴于点．若，的面积为．求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3)是否存在点满足，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由．
8．如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t秒（），抛物线经过点O和点P，已知矩形ABCD的三个顶点为，，．

(1)求c，b（用含t的代数式表示）；
(2)当时，设抛物线分别与线段AB，CD交于点M，N．
①在点P的运动过程中，你认为的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出的值；
②求的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，的面积为．
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的正半轴交于点D，与y轴交于点C，点A在抛物线上，AB⊥y轴于点B，△ABC绕点B逆时针旋转90°，得到△OBE，连接DE，当时，x的取值范围是．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)求证：四边形OBED是矩形；
(3)在线段OD上找一点N，过点N作直线m垂直x轴，交OE于点F，当△DNF的面积取得最大值时，求点N的坐标，在此基础上，在直线m上找一点P，连接OP、DP，使得∠ODP+∠DOE=90°，求点P的坐标．
10．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，B点的坐标为．

(1)该抛物线的对称轴l是直线_______，_______；
(2)在该抛物线的对称轴上l找一点P，使的值最小，并求出点P的坐标；
(3)点Q是位于第二象限内的二次函数的图象上的一点，设其横坐标为t，求当t为何值时，四边形AQCB的面积最大？最大面积是多少？
11．已知：二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中点A为（﹣1，0），与y轴负半轴交于点C（0，﹣2），其对称轴是直线x＝．

(1)求二次函数y＝ax2+bx+c的解析式；
(2)圆O′经过点△ABC的外接圆，点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交圆O′于点D，连接AD、BD，求△ACD的面积；
(3)在（2）的条件下，二次函数y＝ax2+bx+c的图象上是否存在点P，使得∠PDB＝∠CAD？如果存在，请求出所有符合条件的P点坐标；如果不存在，请说明理由．
12．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

(1)求点A的坐标；
(2)如图2，连接AC，点D为线段AC下方抛物线上一动点，过点D作轴交线段AC于E点，连接EO、AD，记的面积为，的面积为，求的最大值及此时点D的坐标；
(3)如图3，连接CB，并将抛物线沿射线CB方向平移个单位长度得到新抛物线，动点N在原抛物线的对称轴上，点M为新抛物线与y轴的交点，当为以AM为腰的等腰三角形时，请直接写出点N的坐标．
13．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，其中A（－2，0），点D（4，3）为该抛物线上一点．

(1)B点坐标为______；
(2)直线x=n交直线AD于点K，交抛物线于点P，且点P在点K上方，连接PA、PD．
①请直接写出线段PK长（用含n的代数式表示）
②求△PAD面积的最大值；
(3)将直线AD绕点A逆时针旋转90°得到直线l，若点Q是直线l上的点，且∠ADQ=45°，请直接写出点Q坐标______．
14．已知抛物线的图象与x轴相交于点A和点B，与y轴交于点C，图象的对称轴为直线．连接，有一动点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F．设点D的横坐标为m．

(1)求的长度；
(2)连接，当的面积最大时，求点D的坐标；
(3)当m为何值时，与相似．
15．如图1，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点A、（点A在点左侧），与轴交于点，直线经过、两点，．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，点为第四象限抛物线上一点，过点作轴交于点，垂足为，连接交轴于点，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，如图3，过点作交轴于点，．点在抛物线上，连接，，连接，求直线的解析式．
16．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，连接，点P在第二象限的抛物线上，连接、，线段交线段于点E．

(1)求抛物线的表达式；
(2)若的面积为，的面积为，当时，求点P的坐标；
(3)已知点C关于抛物线对称轴的对称点为点N，连接，点H在x轴上，当时，
①求满足条件的所有点H的坐标
②当点H在线段上时，点Q是平面直角坐标系内一点，保持，连接，将线段绕着点Q顺时针旋转90°，得到线段，连接，请直接写出线段的取值范围．
17．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点，B（点B在点A左侧），与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，作直线AD．

(1)填空：______；
(2)将平移到（点E，F，G依次与A，O，C对应），若点E落在抛物线上且点G落在直线AD上，求点E的坐标；
(3)设点P是第四象限抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，交AC于点T．若，求与的面积之比．
18．综合与探究：在平面直角坐标系中，抛物线经过x轴上的点和点B及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为．

(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线对称轴上存在一点H，连接AH、CH，则的最大值是______；
(3)点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．设运动时间为t秒且（），求t为何值时，的面积最大并求出最大值；
(4)过点A作于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的横坐标．

参考答案：
1．(1)y＝x2﹣4x+3
(2)， P（，6）或（，6）
(3)不变，

【分析】（1）先求出点A，B坐标，再根据对称轴直线设出抛物线解析式，再将点A，B坐标代入即可得出结论；
（2）先根据题意，判断出点P在直线AB下方的抛物线上时，只存在一个点P进而求出定值S，再当点P在直线AB上方的抛物线上时，利用三角形的面积公式即可得出结论；
（3）先构造出△AGC∽△AHD，设出点C，D的坐标，进而用点C的横坐标表示出点D的坐标，进而表示出直线CD的解析式，确定出点E的坐标，即可得出结论．
（1）
解：对于直线y＝﹣x+3，令x＝0，则y＝3，
∴B（0，3），
令y＝0，则﹣x+3＝0，
∴x＝3，
∴A（3，0），
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+k，
∵点A，B在抛物线上，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3；
（2）
解：如图1，

∵抛物线上有且仅有三个点P，使△ABP的面积等于定值S，
∴在直线AB下方的抛物线上只存在一个点P，
即点P在直线AB下方时，S△PAB最大就是定值S，
过点P作y轴的平行线交直线AB于M，
设点P（x，x2﹣4x+3），则M（x，﹣x+3），
∴PM＝﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）＝﹣x2+3x，
∴S△PABPM（x﹣x）（﹣x2+3x）×3（x）2，
当x时，S＝S最大，点P（，），
当点P在直线AB上方时，
PM＝x2﹣4x+3﹣（﹣x+3）＝x2﹣3x，
∴S＝S△PAB（x2﹣3x）×3，
∴x＝±，
∴P（，6）或（，6）；
（3）
解：∠CEO的度数不发生变化，
理由：如图2，过点C作CG⊥x轴于G，过点D作DH⊥x于H，

设点C（m，m2﹣4m+3），D（n，n2﹣4n+3），
∵A（3，0），
∴AG＝3﹣m，CG＝m2﹣4m+3＝（m﹣1）（m﹣3），AH＝3﹣n，DH＝﹣（n2﹣4n+3）＝﹣（n﹣1）（n﹣3），
∵∠AGC＝∠AHD＝90°，∠CAO＝∠DAO，
∴△AGC∽△AHD，
∴，
∴，
∴n＝2﹣m，
∴D（2﹣m，（m﹣1）（m+2）），
设直线CD的解析式为y＝k'x+b'，
∴，
∴，
∴直线CD的解析式为y＝﹣2x+m2﹣2m+3，
令y＝0，则0＝﹣2x+m2﹣2m+3，
∴x，
∴E（，0），
∴C（m，m2﹣4m+3），
∴CE（m2﹣4m+3），
在Rt△AGE中，sin∠CEO．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积求法，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，构造出相似三角形是解本题的关键．
2．(1)y=-x2+2x+3
(2)
(3)P1（2，3），P2（4，-5）

【分析】（1）运用待定系数法将A(−1，0)，B(3，0)代入y=−x2+bx+c，即可求解；
（2）作 BC 的中点 N ，连接 AN 并延长交抛物线于 M ，在y=−x2+bx+c得C (0，3)，即可得N（，），用待定系数法求直线 AN 解析式为 y1＝x+，联立解析式解方程组即得M点的坐标为（，）；
（3）先求出点关于对称轴的对称点；先运用待定系数法求出直线BC的解析式，再根据互相平行的两直线的关系求出与BC平行的直线AP2的解析式，联立抛物线解析式即可求解．
(1)
解：∵二次函数y=−x2+bx+c的图象经过点（-1，0），（3，0），
∴
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=−x2+2x+3；
(2)
作 BC 的中点 N ，连接 AN 并延长交抛物线于 M ，如下图：

∵ N 为 BC 中点，
∴直线 AN 将△ ABC 的面积分成相等的两部分，即 M 是满足条件的点，
在y=−x2+2x+3 中，令 x=0得 y =3，
∴C (0，3)，
∵B (3，0)，N 为 BC 中点，
∴N（，），
设直线 AN 解析式为 y1= mx+n，将 A (-1，0)， N（，），代入得：
，
解得：
∴直线 AN 解析式为 y1＝x+，
解，
得或，
∴M点的坐标为（，）；
(3)
抛物线上存在点，使∠PAB=∠ABC，
①当点P1是抛物线上与点C对称的点时，则有∠P1AB=∠ABC，如下图，

∵点C（0，3）关于对称轴x=1的对称点坐标为（2，3），
∴P1(2，3)，
②当直线P2A//BC时，则有∠P2AB=∠ABC，
设直线BC的解析式为y2=kx+3，
则3k+3=0，解得k=-1，
∴直线BC的解析式为y2=−x+3，
∴直线AP2的解析式中一次项系数为−1，
设与BC平行的直线AP2的解析式为y3=−x+m，
将A（-1，0）代入，得：1+m=0，
解得：m=−1，
∴直线AP2的解析式为y3=−x−1，
联立抛物线解析式得：，
解得：或（舍去），
∴P2(4，−5)，
综上所述，P1(2，3)，P2(4，−5)．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，三角形面积，平行线性质和应用，二次函数图象和性质，解题的关键是利用待定系数法求函数解析式，注意分类讨论思想．
3．(1)．
(2)．
(3)，，

【分析】（1）将和代入抛物线中，用待定系数法即可求得抛物线的函数表达式．
（2）根据抛物线的解析式，可以求出B、C的坐标，再根据，求出D的坐标．就等于．求的最大值，就是求这个二次函数的最大值．
（3）抛物线对称轴是，M是抛物线对称轴上一点，可以设．N在抛物线上，设，因为A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，所以有三种情况，分别是：MN和AD为对角线、MA和ND为对角线、MD和AN为对角线，由于A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，根据对角线互相平分，求出n的值．
(1)
解：将，代入

解得：
表达式为
(2)
过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q．
在中，当时，


是线段BC的三等分点，即，
，且，

为第四象限内该抛物线上一动点
设
，
的函数为：
在BC的函数图像上



是开口向下的二次函数
当时，有最大值为．
(3)
满足条件的点N的坐标为：，，

对称轴为：直线
∴设
在抛物线上
设
，
∴①当MN、AD为对角线时，MN的中点就是AD的中点

解得：

②当MA、ND为对角线时，MA的中点就是ND的中点

解得：

③当MD、AN为对角线时，MD的中点就是AN的中点

解得：


【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、平行四边形的性质等，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标及相关线段的长度．
4．(1)
(2)
(3)存在，或

【分析】（1）用待定系数法求解析式即可；
（2）利用求出直线CD的解析式，再求出直线AM的解析式，联立两解析式即可求出点D坐标；
（3）设的面积为S，根据“的面积与四边形面积之比为1∶2”求出的面积，得到P点的纵坐标，进而代入直线AM的解析式求出P点坐标即可．
（1）
解：设抛物线对应的二次函数表达式为，
把，，代入解析式可得
，
解得，
所以抛物线对应的二次函数表达式为；
（2）
由可知顶点M的坐标为，
设直线OM的解析式为：，
将代入得，
，

，
设直线CD的解析式为，
将代入得，
，
设直线AM的解析式为，
将、代入得，
解得，
，
联立AM、CD两直线解析式得，
解得，
D点坐标为；
（3）
由题意可知：，，
，，
设的面积为S，
当P点位于x轴上方时，如图：

，则四边形面积为，
的面积与四边形面积之比为1∶2，即，
，
，即的纵坐标为，
代入得，
当时，，
；
当P点位于x轴下方时，如图：

，则四边形面积为，
的面积与四边形面积之比为1∶2，即，
，
，即的纵坐标为，
代入得，
；
综上所述：P点坐标为或．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，一次函数交点坐标，二次函数与面积等知识点，将面积问题转化为点的坐标是解题的关键．
5．(1)
(2)
(3)存在，(，)或(，)

【分析】（1）直接把点A、B、C的坐标代入求得a，b，c即可；
（2）设点P的坐标为(，)，过点P作轴交直线于点，
设直线的解析式为，并求得直线的解析式为，设出点的坐标为(，)，表述出的长，最后利用即可求解；
（3）先把抛物线的解析式化为顶点式求得对称轴直线，然后根据题意设出点设点P的坐标为(，)，点N的坐标为(，)，分两种情况进行求解：(Ⅰ)当线段为平行四边形的边时，则与为平行四边形的对角线；(Ⅱ)当线段为平行四边形的对角线时，则与为平行四边形的对角线；分别利用中点坐标公式即可求解．
【解析】（1）解：由题意得， ，解得 ，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：设点M的坐标为(，)，过点P作轴，交直线于点，

设直线的解析式为，过点B（－3，0），C（0，3）两点，
∴ ，解得，
∴直线的解析式为，
∴点的坐标为(，)，
∴，
∴




∵，
∴有最大值，此时，的最大值为；
（3）解：∵抛物线的函数表达式为，
∴抛物线的对称轴直线为，
设点M的坐标为(，)，点N的坐标为(，)，
(Ⅰ)当线段为平行四边形的边时，则与为平行四边形的对角线，如图所示，

由对角线互相平分可得， ，解得 ，
∴此时点N的坐标为(，)；
(Ⅱ)当线段为平行四边形的对角线时，则与为平行四边形的对角线，如图所示，

由对角线互相平分可得， ，解得 ，
∴此时点N的坐标为(，)；
综上可得，存在点M、N使点A、C、M、N为平行四边形，此时点N的坐标为(，)或(，)．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，平行四边形的性质，三角形面积的求法等，难点在于（2），注意分类讨论，不要漏解．
6．(1)
(2)
(3)存在；Q的坐标为或

【分析】（1）首先根据一次函数的解析式求出点B，C的坐标，然后利用待定系数法解题即可；
（2）设，则，，，，然后表示出S，然后利用二次函数的性质求最大值即可；
（3）首先根据二次函数的解析式求出顶点坐标，然后证明，最后分情况利用相似三角形的判定及性质求解即可．
（1）
解：把代入得，
∴，
把代得，
∴，
将，代入得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为．
（2）
如图1，过点D作轴于点F，

设，则，，，
则，



∴当时，S有最大值，最大值为．
（3）
∵，
∴，
又∵，，
∴，，，
∴，
∴，
如图2，连接，如图所示：

①∵，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴当Q的坐标为时，，
②过点C作，交x轴与点，
∵为直角三角形，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得，
∴；
综上所述，当Q的坐标为或时，以A，C，Q为顶点的三角形与相似．
【点评】本题主要考查二次函数与几何综合，掌握二次函数的图象及性质，待定系数法和相似三角形的判定及性质是解题的关键．
7．(1)
(2)
(3)不存在，理由见解析．

【分析】（1）先根据对称轴求出b的值，再将点C坐标代入解析式可求c的值，即可求解；
（2）先求出点M，点B的坐标，利用待定系数法可求BM解析式，由三角形的面积公式可求解；
（3）假设，用两点间距离公式列出关于m的方程，再求解即可．
（1）
由题意知抛物线的对称轴为直线，
∴．
又∵抛物线与y轴的交点为，
∴，
∴抛物线的解析式为．
（2）
∵，
∴顶点．
令y=0，则有，
解得x1=-1，x2=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
设直线的解析式为，将代入，
得
解得
∴直线的解析式为．
∵轴且，
∴，
∴的面积．
∵点P在线段上，且，
∴，
故S与m之间的函数关系式为．
（3）
当时，由勾股定理可得．
解得或，均不符合题意，舍去．
综上所诉，不存在满足的点P
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
8．(1)，
(2)①不变，45°；②；

【分析】(1)由抛物线y=x2 +bx+c经过点O和点P，将点O与P的坐标代入方程即可求得c，b；
(2)①当x=1时，y=1-t， 求得M的坐标，则
可求得∠AMP的度数，
②由即可求得关于t的二次函数，列
方程即可求得t的值；
(1)
解：（1）把，代入，得．
再把，代入，得．
，
；
(2)
①不变．
如解图，当时，，故．


，
；
②由图形可知，PD=t-4，AD=3，
当x=4时，y=16-4t，则DN=4t-16
∴


化简得，S
解，
得，
，
（舍去），
；

【点评】此题考查了二次函数的几何综合，二次函数与点的关系，以及三角形面积的求解方法等知识，此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．
9．(1)抛物线的解析式为：；
(2)见解析；
(3)N（1,0），面积取得最大值为；P(1,2)或（1，-2）．

【分析】（1）根据题意，的解集为，得出抛物线与x轴的两个交点（），(2,0)，利用待定系数法求解即可得；
（2）连接BD，根据旋转的性质可得AB=BO，∠OBE=∠ABC=90°，结合图形得出∆BOE≅∆OBD，利用矩形的判定进行证明即可；
（3）根据题意作出图象，由（1）可得点D（2,0），C（0，-1），DE=1，确定直线OE的解析式，设N（n,0），则F（n,），得出DN=2-n，FN=，然后表示出三角形面积的函数解析式，化为顶点式确定点N的坐标，由各角之间的数量关系可得∠ODP=∠OED，然后利用正切函数求解即可得出结果．
（1）
解：根据题意，的解集为，
∴二次函数与x轴的交点为：（），(2,0)，
将两个交点分别代入可得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）
证明：连接BD，如图所示，

由于旋转，
∴AB=BO，∠OBE=∠ABC=90°，
∴∠OBE=∠ABC=90°，
∴BE∥OD，
∴∠BEO=∠EOD，
∴∠OBD=∠BOE，
∴∆BOE≅∆OBD，
∴OD=BC，
四边形OBED为平行四边形，
∵∠OBE=∠BOD=90°，
∴四边形OBED为矩形；
（3）
根据题意作图如下：

由（1）可得点D（2,0），C（0，-1），
∴OD=2，OC=1，OB=2-1=1，
∴DE=1，
设直线OE的解析式为y=kx，将点E(2,1)代入，
1=2k，
解得：，
∴直线OE的解析式为y=x，
设N（n,0），则F（n,），
∴DN=2-n，FN=，
，
∴当n=1时，面积取得最大值为，
∴点N（1,0）；
∴ND=2-1=1，
∵∠ODP+∠DOE=90°，∠DOE+∠OED=90°，
∴∠ODP=∠OED，
在Rt∆ODE中，
，
∴，
∴NP=2，
∴P(1,2)或（1，-2）．
【点评】题目主要考查二次函数综合问题，包括利用待定系数法确定函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，解直角三角形等，理解题意，作出相应图形求解是解题关键．
10．(1)，3
(2)(-1,2)
(3)，

【分析】（1）根据对称轴即可求出，将B点坐标代入即可求出C值；
（2）连接PA，根据对称轴的性质可知PA=PB，则PB+PC=PA+PC，显然则有当C、P、A三点共线时PA+PC有最小值，且最小为AC，根据A、C的坐标得到AC和直线AC的解析式即可求出P点坐标，问题得解；
（3）设Q点坐标为(t,)，且t＜0，连接QO，利用Q点坐标表示出、，求出，根据四边形AQCB的面积S为：，即可得到，即可求解．
(1)
根据对称轴可得对称轴l的直线解析式为： ，
将B点坐标(1,0)代入到抛物线解析式中有：，
即c=3，
则抛物线的解析式为：，
故答案为：，3；
(2)
如图，连接PA、PB、PC，

∵P点在抛物线对称轴上，
∴根据抛物线的对称性可知PB=PA，
∴PB+PC=PC+PA，
∴则有当C、P、A三点共线时PA+PC有最小值，且最小为AC，
如图，

∵令y=0，则有，
解此一元二次方程得：，，
∴A点坐标为(-3,0)，B点坐标为(1,0)，
∴AO=3，BO=1，
令x=0时，y=3，
∴C点坐标为(0,3)，即OC=3，
则，
则PB+PC的最小值为，
设直线AC的解析式为：，
则有，解得：，
则直线AC的解析式为：，
当x=-1时，y=2，
∴直线AC与对称轴l的交点坐标为：(-1,2)，
即当P点坐标为(-1,2)，PB+PC最小，且最小值为；
(3)
设Q点坐标为(t,)，且t＜0，
连接QO，如图，

在（1）已求得AO=3，BO=1，OC=3，
∴，△AQO的面积为：
△QOC的面积为：，
△BOC的面积为：，
∴四边形AQCB的面积S为：，，
即：，
∵，
∴有最大值，
且当时，S有最大值，且最大值为，
即当时，S有最大值，且最大值为．
【点评】此题考查了二次函数的图象和性质，根据抛物线对称轴的性质得到PB=PA以及得到四边形AQCB的面积是解答本题的关键．
11．(1)y＝﹣x﹣2
(2)
(3)存在，点P的坐标为（，）或（，）

【分析】（1）根据抛物线具有对称性，可以求出点B的坐标，再用待定系数法求解析式即可．
（2）根据△AOC∽△COB以及圆的相关性质，可知△ABD为等腰直角三角形，从而得出O'D与AB的数量关系，列式求解即可．
（3）使得∠PDB=∠CAD的点P存在两种情况，利用相似导出线段之间的比值，再用直线和抛物线解析式联立求得相关点的坐标．
（1）
解：∵A（﹣1，0），对称轴为直线x＝，
∴B（4，0），
把点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），代入得∶
，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x﹣2．
（2）
解∶∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），
∴OA＝1，OB＝4，OC＝2，
∴，
又∵∠AOC＝∠COB＝90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠BAC＝∠BCO，
∴∠ACB＝90°，
∴AB为圆O′的直径，O′点坐标为（，0），
∴∠ADB＝90°，
又∵CD平分∠BCE，
∴∠BCD＝∠ECD＝45°，
∴∠BAD＝45°，
∴△ADB为等腰直角三角形，
连接OD′，则DO′＝AB，DO′⊥AB，
∴DO′＝，D的坐标为（，﹣），
设AD与y轴交于点F，
∵∠DAB＝45°，
∴OF＝OA＝1，
∴CF＝1，过D作DH垂直于y轴，
∵D（，﹣），
∴DH＝，OH＝，
∴S△ACD＝S△ACF+S△DCF＝×1×1+×1×＝．

（3）
解∶抛物线上存在点P，使得∠PDB＝∠CAD，分两种情况讨论：

①过D作MN∥BC，交y轴于点M，
∵MN∥BC，
∴∠BDN＝∠CBD，∠OCB＝∠HMD，
又∵∠CBD＝∠CAD，
∴∠BDN＝∠CAD，
∴直线MN与抛物线在D点右侧的交点即为点P，
∵∠OCB＝∠HMD，∠COB＝∠MHD＝90°，
∴△HDM∽△OCB，
∴，
∵DH＝，
∴MH＝，M（0，﹣）．
设直线MD的解析式为y＝mx+n，则有，
解得，
∴直线MD的解析式为，
联立得∶，
解得，（舍去），
∴P1．
②过点D作∠O′DG＝∠O′BC，交x轴于点G点，
∵∠O′DB＝∠O′BD＝45°，
∴∠GDB＝∠CBD＝∠CAD，即直线DG与抛物线在点D右侧的交点即为P点，
又∵∠DO′G＝∠COB，
∴△O′GD∽△OCB，
∴，
∴，
∴O′G＝ ，
∴G（，0），
设直线DG的解析式为y＝kx+b，
则有，解得
∴直线DG的解析式为y＝2x﹣，
联立得∶，
解得（舍去），，
∴，
综上所述，点P的坐标为（，）或（，）．
【点评】此题考查了待定系数法求函数解析式，以及几何图形和二次函数相结合的应用，利用相似找到线段之间的比例关系，从而求出点坐标是解题关键．
12．(1)
(2)最大值为，此时点D的坐标为
(3)N点坐标为或或或

【分析】（1）令，解一元二次方程，结合点A在点B的左侧，即可得出A点坐标；
（2）延长DE交x轴于点K，先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，设，其中，则可表示出点E的坐标和DE的长，再求出S1和S2的含t表达式，从而得出S1-S2的表达式，然后根据二次函数的性质求最大值，并求出此时D点坐标即可；
（3）根据C、B两点的坐标得出，则可推出抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，即抛物线向右平移2个单位长度，向上平移6个单位长度，根据平移的规律得出新的抛物线，从而求出M点的坐标，设，分两种情况讨论，即①当时，②当时，分别根据腰相等建立关于n的方程求解，即可解答．
【解析】（1）解：抛物线，与x轴交于A、B两点，
令，得，
解得
∵点A在点B的左侧，
∴点A的坐标为；
（2）解：如图1，

延长DE交x轴于点K，
抛物线与y轴交于点C，
∴，
设直线AC的函数表达式为，
∵，
∴，
解得，
∴直线AC的函数表达式为，
设，其中，
∴，
，
，
∴，
∴当时，取得最大值，最大值为，
此时点D的坐标为；
（3）解：∵，
∴，
抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，
∴抛物线向右平移2个单位长度，向上平移6个单位长度，
∴平移后的抛物线解析式为，
当时，，
∴，
∵原抛物线的对称轴为直线，设，
①当时，，
∴，
∴或；
②当时，，
∴或
∴或；
综上所述：N点坐标为或或或．
【点评】本题主要考查了二次函数的综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的定义，二次函数图像的平移，两点间距离公式的等，利用数形结合和分类讨论的思想求解是解题的关键．
13．(1)（6，0）
(2)①；②，详见解析
(3)（1，－6）或（－5，6）

【分析】（1）将A、D坐标代入，由待定系数法求出函数解析式，令y=0即可求解；
（2）①先利用待定系数法求出直线AD的解析式，再将x=n代入直线AD和抛物线解析式得K、P纵坐标，根据P、K两点的位置关系，纵坐标相减即得结果；
②利用三角形面积公式求出△PAD面积与n的二次函数关系式，配方求最大值；
（3）分两种情况讨论，先求出第四象限内的Q点坐标，再利用对称性得第二象限内Q点的坐标；第四象限内点Q坐标求法：根据旋转性质及∠ADQ=45°知AD=AQ，过D、Q作x轴垂线，垂足分别为M、N，则三角形ADM≌三角形QAN，得AN=DM，根据D点坐标代入求解即可．
【解析】（1）解：将A（－2，0），D（4，3）代入得：
，
解得：，
即抛物线解析式为：，
令y=0得：，
解得：x=－2，或x=6，
∴B（6，0）．
（2）解：①设直线x=n交x轴于H，如图所示，

设直线AD的解析式为：y=kx+m，
则，
解得：，
即直线AD的解析式为：，
则P（n，），K（n，），
∵P在K上方，
∴PK=－（）
=；
②过D作DE⊥直线x=n于E，如上图所示，

=
=
=
=
=，
∴当n=1时，三角形PAD面积取最大值，最大值为．
（3）解：分两种情况讨论，如图所示，当Q在第四象限时，
根据旋转性质及∠ADQ=45°知AD=AQ，∠DAQ=90°，
过D、Q作x轴垂线，垂足分别为M、N，

则∠DAM+∠QAN=90°，∠DAM+∠ADM=90°，
∴∠QAN=∠ADM，
∴△ANQ≌△DMA，
∴AN=DM=3，AM=QN=6，
故Q（1，－6），
根据对称性知，位于第二象限内Q点坐标为：（－5，6），
综上所述，点Q坐标为（1，－6）或（－5，6）．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数中面积问题、旋转的性质、全等三角形的判定及性质等知识点，综合性强．解题关键是利用函数上点的坐标特点将三角形面积问题转化为线段问题以及构造全等三角形是解题关键．
14．(1)4
(2)（，）
(3)当或时与相似

【分析】（1）先根据抛物线对称轴求出抛物线解析式，从而求出A、B的坐标即可求出AB的长；
（2）先求出直线AC的解析式为，则点D的坐标为（m，m+3），点E的坐标为（m，），，再根据列出△ACE的面积关于m的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可；
（3）分如图3-1所示，当∠CED=90°时，如图3-2所示，当∠ECD=∠AFD=90°时，两种情况讨论求解即可．
(1)
解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
令，则，即，
解得或，
∴点A的坐标为（-3，0），点B的坐标为（1，0），
∴AB=4；
(2)
解：∵点C是抛物线与y轴的交点，
∴点C的坐标为（0，3），
设直线AC解析式为，
∴，
∴，
∴直线AC的解析式为，
∴点D的坐标为（m，m+3），点E的坐标为（m，），
∴，
∴



，
∵，
∴当时，△ACE的面积有最大值，
∴当△ACE的面积有最大值时，点D的坐标为（，）；
(3)
解：∵DF⊥x轴，
∴∠AFD=90°，
如图3-1所示，当∠CED=90°时，
∴∠CED=∠AFD=90°，
又∵∠CDE=∠ADF，
∴△CDE∽△ADF，
∴当CE⊥EF时，满足△CDE与△ADF相似，
∴点E与点C关于抛物线对称轴对称，
∴点E的坐标为（-2，3），
∴；

如图3-2所示，当∠ECD=∠AFD=90°时，同理可证△EDC∽△ADF，
∵点A的坐标为（-3，0），点C的坐标为（0，3），
∴OA=OC=3，
∴∠OAC=∠OCA=45°，
∴∠FAD=∠FDA=45°，
∴∠CDE=∠CED=45°，
∴CE=CD，
过点C作CH⊥DE于H，
∴点H为DE的中点，且H的纵坐标为3，
由（2）得点D的坐标为（m，m+3），点E的坐标为（m，），
∴，
∴，
解得或（舍去）；
综上所述，当或时与相似．
．
【点评】本题主要考查了二次函数的综合，一次函数与几何综合，二次函数与x轴的交点问题等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
15．(1)
(2)
(3)

【分析】（1）先求出A、B点的坐标，再代入抛物线解析式中即可求出a和b的值，即可求出抛物线解析式．
（2）先用含有t的式子表示出PD，再利用面积公式建立等式，变形后即可．
（3）先通过作辅助线证明全等求出P点坐标，再求出CK的值，利用三角函数求出GQ与PQ的关系，建立方程后求出G点坐标，再利用待定系数法求解即可．
（1）
∵直线经过点，
∴当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
把点、代入得，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）

交轴于点N，
∵轴，
∴，
∵点在上，点的横坐标为，
∴，
∵，
∴，
过点作交的延长线于，

∴，
∴，
∴；
（3）
点作轴于，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
过点作于点，
∴，，
∴，
∴，
过点作交延长线于点，
设，
∴，
，
∴，
解得（舍去）或，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为．

【点评】本题考查了一次函数、二次函数的图象与性质、锐角三角函数的应用等，解题关键是能正确理解题意，列出相应代数式对线段进行表示，并正确转化线段之间的关系等．
16．(1)y=-x2-2x+3；
(2)点P的坐标是（-2，3）或（-1，4）；
(3)①点H的坐标是（-1，0）或（-9，0）；②2-≤MH≤2+．

【分析】（1）先把点A（1，0），点B（-3，0）代入抛物线y=ax2-2x+c中列方程组，解方程组可得a和c的值，从而得抛物线的表达式；
（2）先根据待定系数法求BC的解析式为：y=x+3，根据同高三角形面积的比等于对应底边的比，可得，证明△OEH∽△OPG，得，可设E（3m，3m+3），则P（5m，-25m2-10m+3），代入比例式可得方程，解出即可得结论；
（3）①由对称得：N（-2，3），有两种情况：如图2，i）当BN∥CH1时，∠H1CB=∠NBC，根据平移的性质可得点H1的坐标；ii）当∠H2CB=∠NBC，设H2（n，0），直线CH2与BN交于点M，确定BN和CH2的解析式，利用方程组的解可得M的坐标（-），根据两点的距离公式利用BM=CM，列方程可得结论；②如图3，当Q在x轴下方时，且MH⊥x轴时，MH最小，作辅助线，构建矩形MFGH是，证明△BGQ≌△QFM（AAS），得GQ=GH=FM，可得△QHG是等腰直角三角形，由斜边为1可得QG=GH=，利用全等三角形的性质与线段和与差可得结论；同理如图4，当Q在x轴上方时，且MH⊥x轴时，MH最大，同理可得最大值MH的长，从而得结论．
（1）
把点A（1，0），点B（-3，0）代入抛物线y=ax2-2x+c中，
得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为：y=-x2-2x+3；
（2）
如图1，过P作PG⊥y轴于G，过E作EH⊥y轴于H，

当x=0时，y=3，
∴C（0，3），
设BC的解析式为：y=kx+b，
则，解得，
∴BC的解析式为：y=x+3，
∵△PCE的面积为S1，△OCE的面积为S2，且，
∴，
∵EH∥PG，
∴△OEH∽△OPG，
∴，  
∴设E（3m，3m+3），则P（5m，-25m2-10m+3），
∴，
整理，得：25m2+15m+2=0，
解得，
当时，5m=-2，则P（-2，3），
当时，5m=-1，则P（-1，4），
综上，点P的坐标是（-2，3）或（-1，4）；
（3）
①由对称得：N（-2，3），
∵∠HCB=∠NBC，

如图2，连接CN，有两种情况：
i）当BN∥CH1时，∠H1CB=∠NBC，
∵CN∥AB，
∴四边形CNBH1是平行四边形，
∴H1（-1，0）；
ii）当∠H2CB=∠NBC，
设H2（n，0），直线CH2与BN交于点M，
∴BM=CM，
∵B（-3，0），N（-2，3），
∴同理可得BN的解析式为：y=3x+9，
设CH2的解析式为：y=k1x+b1，
则，解得：，
∴设CH2的解析式为：，
∴，
∵BM=CM，
∴，
解得：n=-9或-1（舍），
∴H2（-9，0），
综上，点H的坐标是（-1，0）或（-9，0）；
②如图3，当Q在x轴下方时，且MH⊥x轴时，MH最小，过Q作QG⊥x轴，过M作MF⊥QG于F，则四边形MFGH是矩形，

∴FM=GH，FG=MH，
∵∠BQM=∠F=90°，
∴∠BQG+∠GQM=∠FMQ+∠GQM=90°，
∴∠BQG=∠FMQ，
∵BQ=QM，∠BGQ=∠F=90°，
∴△BGQ≌△QFM（AAS），
∴FM=GQ，BG=FQ，
∴GQ=FM=GH，
∵QH=1，
∴QG=GH=，
∴MH=FG=FQ-QG=BG-GH=2--=2-；
如图4，当Q在x轴上方时，且MH⊥x轴时，MH最大，过Q作QG⊥x轴，作QF⊥MH于F，则四边形QFHG是矩形，

∴FQ=GH，GQ=FH，
同理得△BGQ≌△MFQ（AAS），
∴QG=FQ=GH，BG=MF，
∵QH=1，
∴QG=GH=，
∴MH=FM+FH=BG+GH=2++=2+；
∴MH的取值范围是2-≤MH≤2+．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式、三角形相似的性质和判定、三角形全等的性质和判定、旋转的性质、圆的性质、平行四边形和矩形的判定等，本题利用了函数的解析式表示点的坐标，再由点的坐标表示线段的长，注意图形与坐标特点，第三问有难度，分类讨论是关键．
17．(1)
(2)，
(3)

【分析】（1）由题意，将点代入中，即可解得的值；
（2）令，可求得点的坐标，再由点与点关于轴对称可求得的坐标，求出直线的表达式，由于是由平移得到，若设，则，将点代入直线的表达式中，即可求得，从而得的坐标；
（3）过作于，作于，先由勾股定理求出的长，再利用等面积法求出的长，再用勾股定理求的长，由可得，故，设出点，则可利用上式求出的值，由此可进一步计算出与的值，求出两个三角形的面积之比．
(1)
解：二次函数的图像经过点，
，解得．
故答案是：；
(2)
解：如图1，对于二次函数，
当时，．

．
点D与点C关于轴对称，
．
设直线AD的函数表达式是．
，
．解得．
直线AD的函数表达式为．
设点，则点．
点在直线上，
，整理得，
解得，．
，．

(3)
解：如图2，过点作，垂足为．
，，
．
，
．
．
．
．
过点作，垂足为．  
，
．
．
设点，则，．
．解得，
．
，．
，
，
．
．

【点评】本题考查了二次函数的综合应用、一次函数表达式的求法、三角函数的性质与应用、相似三角形的性质与判定（本题答案中应用三角函数的步骤也可以改用相似三角形的知识解答）、勾股定理的应用，解决本题的关键在于将各模块知识点融会贯通，并作出正确的辅助线．
18．(1)；
(2)；
(3)当t＝3时，面积最大，最大值为；
(4)6或或

【分析】①点B、C在直线为y=x+n上，则、，点在抛物线上，用待定系数法求出抛物线解析式；
②当A、C、H在一条直线上时，有最大值AC，用勾股定理求出AC；
③求出，，再求出点P到BC的高h为，用三角形面积公式求解；
④由①知，BC所在直线为：，所以点A到直线BC的距离，过点N作x轴的垂线交直线BC于点P，交x轴于点H．设，则、，易证△PQN为等腰直角三角形，求出PN的长，分三种情况讨论得出结果.
(1)
解：∵点B、C在直线为上，
∴、，
∵点在抛物线上，
∴，
∴，
∴抛物线解析式：；
(2)
∵，,
∴,
当A、C、H在一条直线上时，，
故答案为：；
(3)
由题意，得，
，，
由，得，
∴点P到BC的高h为，
∴，
当t＝3时，面积最大，最大值为；
(4)
由①知，BC所在直线为：，
∴点A到直线BC的距离，
过点N作x轴的垂线交直线BC于点P，交x轴于点H，

设，则、，
，
，
∴△PQN为等腰直角三角形，即，
∴，
第一种情况：，
∴，
解得，，
∵点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，
∴；
第二种情况：，
∴，
解得，，
∵点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，
，
∴，
第三种情况：，
∴，
解得，，
∵点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，
，
∴，
综上所述，若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，点N的横坐标为：或或．
【点评】本题考查了二次函数综合题，熟练掌握二次函数的性质、平行四边形的判定与性质是解题的关键．