湖北省圆梦杯2023届高三下学期统一模拟（二）数学试题（含答案）

这是一份湖北省圆梦杯2023届高三下学期统一模拟（二）数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
湖北省圆梦杯2023届高三下学期统一模拟（二）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．若集合，则（    ）A． B．C． D．2．已知向量的夹角为，若，则（    ）A．1 B．2 C．3 D．43．已知等差数列的前项和为，命题“”，命题“”，则命题是命题的（    ）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件4．若正数满足，则的最小值为（    ）A． B． C．2 D．5．已知函数图象的对称轴为，则图象的对称轴为（    ）A． B．C． D．6．已知直三棱柱存在内切球，若，则该三棱柱外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．7．用组成没有重复数字的四位数，其中能被15整除的有（    ）A．38个 B．40个 C．42个 D．44个8．在农业生产中，自动化控制技术的应用有效提高了农业生产效率.如图所示，在某矩形试验田中，为中点，为中点，三角形区域种植小麦，梯形区域种植玉米.为提高劳动效率，节约用水，现采用自动浇水机器人（忽略机器人的面积）对试验田进行灌溉.已知该机器人沿着以为焦点，为准线的抛物线运动，且向以自身为圆心，半径为的圆形区域内浇水.记小麦田能够被机器人灌溉的面积为，则（    ）（若直线与抛物线相切于点，平行于的直线与交于两点，记与围成的图形面积为的面积为，则）A． B．C． D． 二、多选题9．若复数，则（    ）A． B．C． D．10．已知随机事件的概率分别为，且，则（    ）A．事件与事件相互独立 B．事件与事件相互对立C． D．11．已知函数在区间内存在两个极值点，则（    ）A． B．C． D．12．已知，定义：表示不超过的最大整数，例如.若函数，其中，则（    ）A．当时，存在零点B．若，则C．若，则D．若，则 三、填空题13．二项式展开式中的常数项为________．（用数字作答）14．若，则__________. 四、双空题15．曲线围成的封闭图形的面积为__________，若直线与恰有两个公共点，则的取值范围为__________. 五、填空题16．在矩形中，，点是线段上的一点，且满足.现将与 分别沿进行翻折，使点落到边上，得到与，若线段上存在一点（含端点），满足，则的取值范围为__________. 六、解答题17．记的内角的对边分别为，设的外接圆半径为，且.(1)求；(2)若，求的面积.18．已知数列的前项和为，若.(1)求；(2)记，求数列的前项和.19．如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，内接于，为的一条弦，且平面.(1)求的最小值；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.20．五一小长假到来，多地迎来旅游高峰期，各大旅游景点都推出了种种新奇活动以吸引游客，小明去成都某熊猫基地游玩时，发现了一个趣味游戏，游戏规则为：在一个足够长的直线轨道的中心处有一个会走路的机器人，游客可以设定机器人总共行走的步数，机器人每一步会随机选择向前行走或向后行走，且每一步的距离均相等，若机器人走完这些步数后，恰好回到初始位置，则视为胜利.(1)若小明设定机器人一共行走4步，记机器人的最终位置与初始位置的距离为步，求的分布列和期望；(2)记为设定机器人一共行走步时游戏胜利的概率，求，并判断当为何值时，游戏胜利的概率最大；(3)该基地临时修改了游戏规则，要求机器人走完设定的步数后，恰好第一次回到初始位置，才视为胜利.小明发现，利用现有的知识无法推断设定多少步时获得胜利的概率最大，于是求助正在读大学的哥哥，哥哥告诉他，“卡特兰数”可以帮助他解决上面的疑惑：将个0和个1排成一排，若对任意的，在前个数中，0的个数都不少于1的个数，则满足条件的排列方式共有种，其中，的结果被称为卡特兰数.若记为设定机器人行走步时恰好第一次回到初始位置的概率，证明：对（2）中的，有21．已知抛物线，双曲线，点在的左支上，过作轴的平行线交于点，过作的切线，过作直线交于点，交于点，且.(1)证明：与相切；(2)过作轴的平行线交的左支于点，过的直线平分，记的斜率为，若，证明：恒为定值.22．已知函数.(1)当时，讨论的单调性；(2)若，求的取值范围.
参考答案：1．B2．D3．D4．A5．C6．D7．A8．D9．AB10．AC11．BD12．BCD13．24014．15．     ；     16．17．(1)(2) 18．(1)(2) 19．(1)(2) 20．(1)分布列见解析，；(2)时，游戏胜利的概率最大；(3)证明见解析． 21．(1)证明见解析；(2)证明见解析. 22．(1)在单调递减，在单调递增；(2)