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2022-2023学年福建省福州市鼓楼区文博中学七年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年福建省福州市鼓楼区文博中学七年级（下）期中数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省福州市鼓楼区文博中学七年级（下）期中数学试卷
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分．）
1．在，0，，3.1415926，，这6个数中，无理数共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．在下列各式中正确的是（ ）
A．＝﹣2 B．±＝3 C．＝2 D．＝8
3．如图，点E在射线AB上，要AD∥BC，只需（ ）
A．∠A＝∠CBE B．∠A＝∠C C．∠C＝∠CBE D．∠A+∠D＝180°
4．如图，将长方形ABCD沿线段EF折叠到EB'C'F的位置，若∠EFC'＝100°，则∠DFC'的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
5．当式子的值取最小值时，a的取值为（ ）
A．0 B． C．﹣1 D．1
6．在平面直角坐标系中，平行于坐标轴的线段PQ＝5，若点P坐标是（﹣2，1），则点Q不在第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
7．实数在数轴上的位置如图，那么化简的结果是（ ）
A．b﹣2a B．b C．﹣b D．a
8．《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”大意是：甲、乙二人带着钱，不知是多少，若甲得到乙的钱数的，则甲的钱数为50；若乙得到甲的钱数的，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？设甲持钱为x，乙持钱为y，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知x，y是整数，且满足x﹣y+3＝0，ax﹣y﹣1＝0，则整数a的所有可能值有（ ）个．
A．4 B．5 C．6 D．8
10．在平面直角坐标系中，M（m，m），N（n+5，n﹣2），其中m﹣n＝5，则下列对MN长度判断正确的是（ ）
A．MN＜7 B．MN＞7 C．MN＝7 D．无法确定
二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分．）
11．点P（﹣2，1）到x轴的距离是 ．
12．已知x，y为两个连续的整数，且x＜＜y，则5x+y的平方根为 ．
13．如图，AB∥CD∥EF，若∠CEF＝105°，∠BCE＝55°，则∠ABC的度数为＝ ．
14．一艘船从A点出发，向北偏西30°方向行驶了50m到达B点，再从B点向南偏东15°方向行驶了60m到达C点，则∠ABC等于 ．
15．定义运算“*”，规定x*y＝ax2+by，其中a、b为常数，且1*2＝5，2*1＝6，则2*3＝ ．
16．如图，在平面直角坐标系中，A（3，0），B（0，4），C（2，0），D（0，1），连接AD、BC交于点E，则三角形ABE的面积为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共86分，）
17．计算：
（1）；
（2）3（x﹣1）3+24＝0．
18．解方程组：
（1）；
（2）．
19．如图，在正方形网格中有一个三角形ABC，其顶点都在网格的格点上．
（1）过点C画出AB的垂线CD，垂足为点D；
（2）比较CB CD（填“＞”或“＜”），判断依据是 ；
（3）先将三角形ABC向右平移6个单位，再向上平移2个单位，得到三角形A1B1C1，请在下面的网格中画出得到的三角形A1B1C1．
20．已知正实数x的两个平方根是m和m+n．
（1）当n＝14时，求m；
（2）若m2x+（m+n）2x＝14，求x的值．
21．如图，平面直角坐标系中，C（0，5）、D（a，5）（a＞0），A、B在x轴上，∠1＝∠D，求证：∠ACB＝∠CED．
22．当a，b都是实数，且满足2a﹣b＝6，就称点P（a﹣1，+1）为完美点．
（1）判断点A（2，3）是否为完美点．
（2）已知关于x，y的方程组，当m为何值时，以方程组的解为坐标的点B（x，y）是完美点，请说明理由．
23．我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果ax+b＝0，其中a、b为有理数，x为无理数，那么a＝0，且b＝0，运用上述知识解决下列问题：
（1）如果，其中a、b为有理数，那么a＝ ，b＝ ；
（2）如果，其中a、b为有理数，求3a+2b的算术平方根；
（3）若a、b都是有理数，且，试求a+b的立方根．
24．“冰墩墩”和“雪容融”分别是北京2022年冬奥会和冬残奥会的吉祥物．自2019年正式亮相后，相关特许商品投放市场，持续热销．某冬奥官方特许商品零售店购进了一批同一型号的“冰墩墩”和“雪容融”玩具，连续两个月的销售情况如表：
月份
销售量/件
销售额/元
冰墩墩
雪容融
第1个月
100
60
14800
第2个月
150
120
24600
（1）问：每个“冰墩墩”和每个“雪容融”玩具的价格分别是多少？
（2）某中学要在该冬奥官方特许商品零售店购买两种该批次的“冰墩墩”和“雪容融”玩具（两种玩具都购买）作为“北京冬奥会我参与”的征文比赛奖品，花费总额2000元整，请你帮该中学设计购买方案．
25．已知：AB∥CD，E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，∠1＝∠2．
（1）如图1，求证：EF∥GH；
（2）如图2，过F点作FM⊥GH交GH延长线于点M，作∠BEF、∠DFM的角平分线交于点N，EN交GH于点P，求证：∠N＝45°；
（3）如图3，在（2）的条件下，作∠AGH的角平分线交CD于点Q，若3∠FEN＝4∠HFM，直接写出的值．
参考答案
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分．）
1．在，0，，3.1415926，，这6个数中，无理数共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据无理数是无限不循环的定义进行判断即可．
解：，0，3.1415926，，是有理数．
，是无理数．
故选：C．
【点评】本题考查无理数的定义，将无理数的三种形式牢记是做题的关键．
2．在下列各式中正确的是（ ）
A．＝﹣2 B．±＝3 C．＝2 D．＝8
【分析】关键算术平方根的定义，即可解答．
解：A、＝2，故错误；
B、＝±3，故错误；
C、正确；
D、＝4，故错误；
故选：C．
【点评】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义．
3．如图，点E在射线AB上，要AD∥BC，只需（ ）
A．∠A＝∠CBE B．∠A＝∠C C．∠C＝∠CBE D．∠A+∠D＝180°
【分析】根据平行线的判定定理即可得到结论．
解：要AD∥BC，只需∠A＝∠CBE，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
4．如图，将长方形ABCD沿线段EF折叠到EB'C'F的位置，若∠EFC'＝100°，则∠DFC'的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【分析】由轴对称的性质可求出∠EFC的度数，可由式子∠EFC+∠EFC'﹣180°直接求出∠DFC'的度数．
解：由翻折知，∠EFC＝∠EFC'＝100°，
∴∠EFC+∠EFC'＝200°，
∴∠DFC'＝∠EFC+∠EFC'﹣180°＝200°﹣180°＝20°，
故选：A．
【点评】本题考查了翻折变化（轴对称）的性质及角的计算，解题关键是熟练掌握并能够灵活运用轴对称变换的性质等．
5．当式子的值取最小值时，a的取值为（ ）
A．0 B． C．﹣1 D．1
【分析】根据2a+1≥0，求出当式子的值取最小值时，a的取值为多少即可．
解：∵2a+1≥0，
∴当式子的值取最小值时，2a+1＝0，
∴a的取值为﹣．
故选：B．
【点评】此题主要考查了算术平方根的非负性质的应用，要熟练掌握．
6．在平面直角坐标系中，平行于坐标轴的线段PQ＝5，若点P坐标是（﹣2，1），则点Q不在第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
【分析】在平面直角坐标系中画出过点P且平行于坐标轴的直线，分别截取线段PQ1＝PQ2＝PQ3＝PQ4＝5，则可知点Q不在第四象限．
解：如图所示，过点P（﹣2，1）作平行于坐标轴的直线，分别取线段PQ1＝PQ2＝PQ3＝PQ4＝5，
点Q不在第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查了过平面直角坐标系内的定点的坐标特点，数形结合是解题的比较直观的方法．
7．实数在数轴上的位置如图，那么化简的结果是（ ）
A．b﹣2a B．b C．﹣b D．a
【分析】由实数a、b在数轴上的位置确定a、b的符号以及绝对值的大小，再根据二次根式的性质化简即可．
解：由实数a、b在数轴上的位置可知，b＜0＜a，且|b|＞|a|，
∴b﹣a＜0，
∴原式＝a﹣b﹣a
＝﹣b，
故选：C．
【点评】本题考查实数与数轴，二次根式的性质与化简，理解数轴表示数的方法，掌握二次根式的性质是正确解答的前提．
8．《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”大意是：甲、乙二人带着钱，不知是多少，若甲得到乙的钱数的，则甲的钱数为50；若乙得到甲的钱数的，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？设甲持钱为x，乙持钱为y，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据甲得到乙的钱数的，则甲的钱数为50；若乙得到甲的钱数的，则乙的钱数也能为50，可以得到相应的方程组，从而可以解答本题．
解：由题意可得，
，
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
9．已知x，y是整数，且满足x﹣y+3＝0，ax﹣y﹣1＝0，则整数a的所有可能值有（ ）个．
A．4 B．5 C．6 D．8
【分析】先联立两个方程组成方程组，再消去y可得，再根据整数解的条件进行讨论，并检验即可得到答案．
解：由题意得：，
②﹣①得：（a﹣1）x＝4，
当a≠1时，，
∵a，x都为整数，
∴a＝﹣3或a＝﹣1或a＝0或a＝2或a＝3或a＝5，
此时y＝x+3也为整数，
所以a的所有的可能的值有6个，
故选：C．
【点评】本题考查的是二元一次方程组的整数解问题，掌握“二元一次方程组的解法及整数解的含义”是解本题的关键．
10．在平面直角坐标系中，M（m，m），N（n+5，n﹣2），其中m﹣n＝5，则下列对MN长度判断正确的是（ ）
A．MN＜7 B．MN＞7 C．MN＝7 D．无法确定
【分析】由勾股定理和两点间的距离公式进行计算即可．
解：∵M（m，m），N（n+5，n﹣2），m﹣n＝5，
∴MN＝＝＝7，
故选：C．
【点评】本题考查了由勾股定理和两点间的距离公式，熟练掌握由勾股定理和两点间的距离公式是解题的关键．
二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分．）
11．点P（﹣2，1）到x轴的距离是 1 ．
【分析】直接利用点到x轴的距离即为纵坐标的绝对值进而得出答案．
解：点P（﹣2，1）到x轴的距离是：1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了点的坐标，正确理解点的性质是解题关键．
12．已知x，y为两个连续的整数，且x＜＜y，则5x+y的平方根为 ±5 ．
【分析】先求出的范围，求出x、y的值，求出5x+y的值，根据平方根的定义求出即可．
解：∵4＜＜5，
∴x＝4，y＝5，
∴5x+y＝25，
∴5x+y的平方根是±5，
故答案为：±5
【点评】本题考查了估算无理数的大小，平方根的定义的应用，解此题的关键是求出x、y的值．
13．如图，AB∥CD∥EF，若∠CEF＝105°，∠BCE＝55°，则∠ABC的度数为＝ 130° ．
【分析】由AB∥CD∥EF，利用平行线的性质先求出∠ECD的度数，再求出∠BCD的度数，最后利用平行线的性质求出∠ABC的度数．
解：∵CD∥EF，
∴∠ECD+∠CEF＝180°，
∵∠CEF＝105°，
∴∠ECD＝180°﹣∠CEF＝180°﹣105°＝75°，
∵∠BCE＝55°，
∴∠BCD＝∠BCE+∠ECD＝55°+75°＝130°，
∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD＝130°．
故答案为：130°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质定理，熟练运用性质定理是解答此题的关键．
14．一艘船从A点出发，向北偏西30°方向行驶了50m到达B点，再从B点向南偏东15°方向行驶了60m到达C点，则∠ABC等于 15° ．
【分析】首先根据题意画出草图，再根据角之间的关系计算即可．
解：根据题意可得∠DAB＝30°，
∵EB∥AD，
∴∠EBA＝30°，
∵∠EBC＝15°，
∴∠ABC＝30°﹣15°＝15°，
故答案为：15°．
【点评】此题主要考查了方向角，关键是理清图中角之间的关系．
15．定义运算“*”，规定x*y＝ax2+by，其中a、b为常数，且1*2＝5，2*1＝6，则2*3＝ 10 ．
【分析】已知等式利用新定义化简，求出a与b的值，即可求出所求式子的值．
解：根据题中的新定义化简已知等式得：，
解得：a＝1，b＝2，
则2*3＝4a+3b＝4+6＝10，
故答案为：10．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，弄清题中的新定义是解本题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，A（3，0），B（0，4），C（2，0），D（0，1），连接AD、BC交于点E，则三角形ABE的面积为 ．
【分析】连接OE，设E（m，n），由△AOD和△BOC的面积列出m、n的方程组求得m、n，再由△ABC和△ACE的面积差求得△ABE的面积便可．
解：连接OE，如图，
∵A（3，0），B（0，4），C（2，0），D（0，1），
∴AO＝3，OB＝4，OC＝2，OD＝1，
设E（m，n），
∵S△OAD＝，
∴S△OAD＝S△OED+S△OAE＝；
∵S△OCB＝＝4，
∴S△OEB+S△OEC＝2m+n＝4；
解方程组得，，
∴S△BEA＝S△BCA﹣S△AEC＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了点的坐标的特征，三角形的面积和差的关系，关键是求E点的坐标．
三、解答题（本大题共9小题，共86分，）
17．计算：
（1）；
（2）3（x﹣1）3+24＝0．
【分析】（1）直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质、二次根式的乘法运算法则化简，进而得出答案；
（2）利用立方根的性质计算得出答案．
解：（1）原式＝2﹣（2﹣）+5﹣2
＝2﹣2++5﹣2
＝+3；
（2）3（x﹣1）3+24＝0，
则（x﹣1）3＝﹣8，
故x﹣1＝﹣2，
解得：x＝﹣1．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
18．解方程组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）方程组利用代入消元法求解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求解即可．
解：（1），
把①代入②，得3x＝8﹣2（2x﹣3），
解得x＝2，
把x＝2代入①，得y＝1，
故原方程组的解为；
（2）原方程组整理，得，
①﹣②，得2x＝8，
解得x＝4，
把x＝4代入②，得4﹣2y＝﹣1，
解得y＝，
故原方程组的解为．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解答本题的关键．
19．如图，在正方形网格中有一个三角形ABC，其顶点都在网格的格点上．
（1）过点C画出AB的垂线CD，垂足为点D；
（2）比较CB ＞ CD（填“＞”或“＜”），判断依据是 垂线段最短 ；
（3）先将三角形ABC向右平移6个单位，再向上平移2个单位，得到三角形A1B1C1，请在下面的网格中画出得到的三角形A1B1C1．
【分析】（1）根据垂线的定义画出图形即可；
（2）利用垂线段最短解决问题；
（3）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
解：（1）如图，直线CD即为所求；
（2）CB＞CD，判断依据是垂线段最短．
故答案为：＞，垂线段最短；
（3）如图，三角形A1B1C1即为所求．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，垂线段最短等知识，解题关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
20．已知正实数x的两个平方根是m和m+n．
（1）当n＝14时，求m；
（2）若m2x+（m+n）2x＝14，求x的值．
【分析】（1）根据算术平方根的定义得出m+m+n＝0，再将n＝14代入计算即可求出m的值；
（2）由正实数x的两个平方根是m和m+n可得x＝m2＝（m+n）2，原方程可变为2x2＝14，进而求出x 的值．
解：（1）∵正实数x的两个平方根是m和m+n．
∴m+m+n＝0，而n＝14，
∴m＝﹣7；
（2）∵正实数x的两个平方根是m和m+n．
∴x＝m2＝（m+n）2，
因此原方程可变为2x2＝14，
即x2＝7，
又∵x＞0，
∴x＝．
【点评】本题考查平方根，理解平方根的定义是正确解答的前提．
21．如图，平面直角坐标系中，C（0，5）、D（a，5）（a＞0），A、B在x轴上，∠1＝∠D，求证：∠ACB＝∠CED．
【分析】先由C点、D点的纵坐标相等，可得CD∥x轴，即CD∥AB，然后由两直线平行同旁内角互补，可得：∠1+∠ACD＝180°，然后根据等量代换可得：∠D+∠ACD＝180°，然后根据同旁内角互补两直线平行，可得AC∥DE，最后由平行线的性质可得结论．
【解答】证明：∵C（0，5）、D（a，5）（a＞0），
∴CD∥x轴，即CD∥AB，
∴∠1+∠ACD＝180°，
∵∠1＝∠D，
∴∠D+∠ACD＝180°，
∴AC∥DE，
∴∠ACB＝∠CED．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键．
22．当a，b都是实数，且满足2a﹣b＝6，就称点P（a﹣1，+1）为完美点．
（1）判断点A（2，3）是否为完美点．
（2）已知关于x，y的方程组，当m为何值时，以方程组的解为坐标的点B（x，y）是完美点，请说明理由．
【分析】（1）根据完美点的定义判定即可；
（2）用m表示a、b，构建方程即可解决问题；
解：（1）a﹣1＝2，可得a＝3，+1＝3，可得b＝4，
∵2a﹣b≠6，
∴A（2，3）不是完美点．
（2）∵，
∴，
3+m＝a﹣1，可得a＝m+4，
3﹣m＝+1，可得b＝4﹣2m，
∵2a﹣b＝6，
∴2m+8﹣4+2m＝6，
∴m＝，
∴当m＝时，点B（x，y）是完美点．
【点评】本题考查二元方程组，点的坐标等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考创新题目．
23．我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果ax+b＝0，其中a、b为有理数，x为无理数，那么a＝0，且b＝0，运用上述知识解决下列问题：
（1）如果，其中a、b为有理数，那么a＝ ﹣2 ，b＝ 3 ；
（2）如果，其中a、b为有理数，求3a+2b的算术平方根；
（3）若a、b都是有理数，且，试求a+b的立方根．
【分析】（1）根据已知可得a+2＝0，﹣b+3＝0，然后进行计算即可解答；
（2）根据已知可得2b﹣a﹣5﹣（a+b﹣4）＝0，从而可得，进而可得：，然后把a，b的值代入式子中进行计算，即可解答；
（3）根据已知可得a2+2b﹣17+（b+4）＝0，从而可得a2+2b﹣17＝0，b+4＝0，进而可得b＝﹣4，a＝±5，然后分两种情况进行计算，即可解答．
解：（1）∵，其中a、b为有理数，
∴a+2＝0，﹣b+3＝0，
∴a＝﹣2，b＝3，
故答案为：﹣2；3；
（2）∵，
∴2b﹣a﹣5﹣（a+b﹣4）＝0，
∵a、b为有理数，
∴，
解得：，
∴3a+2b＝3×1+2×3＝3+6＝9，
∴3a+2b的算术平方根是3；
（3）∵，
∴a2+2b﹣17+（b+5）﹣＝0，
∴a2+2b﹣17+（b+5﹣1）＝0，
∴a2+2b﹣17+（b+4）＝0，
∵a、b都是有理数，
∴a2+2b﹣17＝0，b+4＝0，
∴b＝﹣4，a＝±5，
∴当a＝5，b＝﹣4时，a+b＝5+（﹣4）＝1，a+b的立方根为1；
当a＝﹣5，b＝﹣4时，a+b＝﹣5+（﹣4）＝﹣9，a+b的立方根为﹣；
∴综上所述：a+b的立方根为1或﹣．
【点评】本题考查了立方根，实数的运算，算术平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键．
24．“冰墩墩”和“雪容融”分别是北京2022年冬奥会和冬残奥会的吉祥物．自2019年正式亮相后，相关特许商品投放市场，持续热销．某冬奥官方特许商品零售店购进了一批同一型号的“冰墩墩”和“雪容融”玩具，连续两个月的销售情况如表：
月份
销售量/件
销售额/元
冰墩墩
雪容融
第1个月
100
60
14800
第2个月
150
120
24600
（1）问：每个“冰墩墩”和每个“雪容融”玩具的价格分别是多少？
（2）某中学要在该冬奥官方特许商品零售店购买两种该批次的“冰墩墩”和“雪容融”玩具（两种玩具都购买）作为“北京冬奥会我参与”的征文比赛奖品，花费总额2000元整，请你帮该中学设计购买方案．
【分析】（1）设每个“冰墩墩”玩具的价格是x元，每个“雪容融”玩具的价格是y元，利用销售总额＝销售单价×销售数量，结合连续两个月的销售数量及销售总额，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m个“冰墩墩”玩具，n个“雪容融”玩具，利用总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案．
解：（1）设每个“冰墩墩”玩具的价格是x元，每个“雪容融”玩具的价格是y元，
依题意得：，
解得：．
答：每个“冰墩墩”玩具的价格是100元，每个“雪容融”玩具的价格是80元．
（2）设购买m个“冰墩墩”玩具，n个“雪容融”玩具，
依题意得：100m+80n＝2000，
∴m＝20﹣n．
又∵m，n均为正整数，
∴或或或，
∴该中学共有4种购买方案，
方案1：购买16个“冰墩墩”玩具，5个“雪容融”玩具；
方案2：购买12个“冰墩墩”玩具，10个“雪容融”玩具；
方案3：购买8个“冰墩墩”玩具，15个“雪容融”玩具；
方案4：购买4个“冰墩墩”玩具，20个“雪容融”玩具．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键．
25．已知：AB∥CD，E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，∠1＝∠2．
（1）如图1，求证：EF∥GH；
（2）如图2，过F点作FM⊥GH交GH延长线于点M，作∠BEF、∠DFM的角平分线交于点N，EN交GH于点P，求证：∠N＝45°；
（3）如图3，在（2）的条件下，作∠AGH的角平分线交CD于点Q，若3∠FEN＝4∠HFM，直接写出的值．
【分析】（1）由平行线的性质得∠1＝∠3，再由内错角相等得出EF∥GH；
（2）过点N作NK∥CD，设角度，由平行线的性质和角平分线的性质即可得出结论；
（3）由3∠FEN＝4∠HFM结合前面（2）的结论，求出角度可得．
解：（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3，
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴EF∥GH；
（2）如图2，过点N作NK∥CD，
∴KN∥CD∥AB，
∴∠KNE＝∠4，∠6＝∠7，
设∠4＝x，∠7＝y，
∵EN、FN分别平分∠BEF、∠DFM，
∴∠ENK＝∠5＝∠4＝x，∠6＝∠8＝∠7＝y，
又∵AB∥CD，
∴∠EFD＝180°﹣（∠4+∠5）＝180°﹣2x，
又∵FM⊥GH，
∴∠EFM＝90°，
∴180°﹣2x+2y＝90°，
∴x﹣y＝45°，
∴∠ENF＝∠ENK﹣∠6＝x﹣y＝45°，
（3）
∵3∠FEN＝4∠HFM，即3x＝4×2y，
∴x＝，
∴x﹣y＝﹣y＝45°
∴y＝27°，x＝72°，
又∵EN和GQ是角平分线，
∴GQ⊥EN，
∴∠GQH＝∠EGQ＝180°﹣90°﹣72°＝18°，
又∵∠MPN＝∠FEN＝x＝72°，
∴，
故答案为．
【点评】本题是平行线的综合题目，考查了平行线的判定与性质、垂直的定义、角平分线定义等知识；综合性强，熟练掌握平行线的判定与性质，作出辅助平行线是解题的关键．
2022-2023学年福建省福州市鼓楼区文博中学七年级（下）期中数学试卷
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分．）
1．在，0，，3.1415926，，这6个数中，无理数共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．在下列各式中正确的是（ ）
A．＝﹣2 B．±＝3 C．＝2 D．＝8
3．如图，点E在射线AB上，要AD∥BC，只需（ ）
A．∠A＝∠CBE B．∠A＝∠C C．∠C＝∠CBE D．∠A+∠D＝180°
4．如图，将长方形ABCD沿线段EF折叠到EB'C'F的位置，若∠EFC'＝100°，则∠DFC'的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
5．当式子的值取最小值时，a的取值为（ ）
A．0 B． C．﹣1 D．1
6．在平面直角坐标系中，平行于坐标轴的线段PQ＝5，若点P坐标是（﹣2，1），则点Q不在第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
7．实数在数轴上的位置如图，那么化简的结果是（ ）
A．b﹣2a B．b C．﹣b D．a
8．《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”大意是：甲、乙二人带着钱，不知是多少，若甲得到乙的钱数的，则甲的钱数为50；若乙得到甲的钱数的，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？设甲持钱为x，乙持钱为y，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知x，y是整数，且满足x﹣y+3＝0，ax﹣y﹣1＝0，则整数a的所有可能值有（ ）个．
A．4 B．5 C．6 D．8
10．在平面直角坐标系中，M（m，m），N（n+5，n﹣2），其中m﹣n＝5，则下列对MN长度判断正确的是（ ）
A．MN＜7 B．MN＞7 C．MN＝7 D．无法确定
二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分．）
11．点P（﹣2，1）到x轴的距离是 ．
12．已知x，y为两个连续的整数，且x＜＜y，则5x+y的平方根为 ．
13．如图，AB∥CD∥EF，若∠CEF＝105°，∠BCE＝55°，则∠ABC的度数为＝ ．
14．一艘船从A点出发，向北偏西30°方向行驶了50m到达B点，再从B点向南偏东15°方向行驶了60m到达C点，则∠ABC等于 ．
15．定义运算“*”，规定x*y＝ax2+by，其中a、b为常数，且1*2＝5，2*1＝6，则2*3＝ ．
16．如图，在平面直角坐标系中，A（3，0），B（0，4），C（2，0），D（0，1），连接AD、BC交于点E，则三角形ABE的面积为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共86分，）
17．计算：
（1）；
（2）3（x﹣1）3+24＝0．
18．解方程组：
（1）；
（2）．
19．如图，在正方形网格中有一个三角形ABC，其顶点都在网格的格点上．
（1）过点C画出AB的垂线CD，垂足为点D；
（2）比较CB CD（填“＞”或“＜”），判断依据是 ；
（3）先将三角形ABC向右平移6个单位，再向上平移2个单位，得到三角形A1B1C1，请在下面的网格中画出得到的三角形A1B1C1．
20．已知正实数x的两个平方根是m和m+n．
（1）当n＝14时，求m；
（2）若m2x+（m+n）2x＝14，求x的值．
21．如图，平面直角坐标系中，C（0，5）、D（a，5）（a＞0），A、B在x轴上，∠1＝∠D，求证：∠ACB＝∠CED．
22．当a，b都是实数，且满足2a﹣b＝6，就称点P（a﹣1，+1）为完美点．
（1）判断点A（2，3）是否为完美点．
（2）已知关于x，y的方程组，当m为何值时，以方程组的解为坐标的点B（x，y）是完美点，请说明理由．
23．我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果ax+b＝0，其中a、b为有理数，x为无理数，那么a＝0，且b＝0，运用上述知识解决下列问题：
（1）如果，其中a、b为有理数，那么a＝ ，b＝ ；
（2）如果，其中a、b为有理数，求3a+2b的算术平方根；
（3）若a、b都是有理数，且，试求a+b的立方根．
24．“冰墩墩”和“雪容融”分别是北京2022年冬奥会和冬残奥会的吉祥物．自2019年正式亮相后，相关特许商品投放市场，持续热销．某冬奥官方特许商品零售店购进了一批同一型号的“冰墩墩”和“雪容融”玩具，连续两个月的销售情况如表：
月份
销售量/件
销售额/元
冰墩墩
雪容融
第1个月
100
60
14800
第2个月
150
120
24600
（1）问：每个“冰墩墩”和每个“雪容融”玩具的价格分别是多少？
（2）某中学要在该冬奥官方特许商品零售店购买两种该批次的“冰墩墩”和“雪容融”玩具（两种玩具都购买）作为“北京冬奥会我参与”的征文比赛奖品，花费总额2000元整，请你帮该中学设计购买方案．
25．已知：AB∥CD，E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，∠1＝∠2．
（1）如图1，求证：EF∥GH；
（2）如图2，过F点作FM⊥GH交GH延长线于点M，作∠BEF、∠DFM的角平分线交于点N，EN交GH于点P，求证：∠N＝45°；
（3）如图3，在（2）的条件下，作∠AGH的角平分线交CD于点Q，若3∠FEN＝4∠HFM，直接写出的值．
参考答案
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分．）
1．在，0，，3.1415926，，这6个数中，无理数共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据无理数是无限不循环的定义进行判断即可．
解：，0，3.1415926，，是有理数．
，是无理数．
故选：C．
【点评】本题考查无理数的定义，将无理数的三种形式牢记是做题的关键．
2．在下列各式中正确的是（ ）
A．＝﹣2 B．±＝3 C．＝2 D．＝8
【分析】关键算术平方根的定义，即可解答．
解：A、＝2，故错误；
B、＝±3，故错误；
C、正确；
D、＝4，故错误；
故选：C．
【点评】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义．
3．如图，点E在射线AB上，要AD∥BC，只需（ ）
A．∠A＝∠CBE B．∠A＝∠C C．∠C＝∠CBE D．∠A+∠D＝180°
【分析】根据平行线的判定定理即可得到结论．
解：要AD∥BC，只需∠A＝∠CBE，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
4．如图，将长方形ABCD沿线段EF折叠到EB'C'F的位置，若∠EFC'＝100°，则∠DFC'的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【分析】由轴对称的性质可求出∠EFC的度数，可由式子∠EFC+∠EFC'﹣180°直接求出∠DFC'的度数．
解：由翻折知，∠EFC＝∠EFC'＝100°，
∴∠EFC+∠EFC'＝200°，
∴∠DFC'＝∠EFC+∠EFC'﹣180°＝200°﹣180°＝20°，
故选：A．
【点评】本题考查了翻折变化（轴对称）的性质及角的计算，解题关键是熟练掌握并能够灵活运用轴对称变换的性质等．
5．当式子的值取最小值时，a的取值为（ ）
A．0 B． C．﹣1 D．1
【分析】根据2a+1≥0，求出当式子的值取最小值时，a的取值为多少即可．
解：∵2a+1≥0，
∴当式子的值取最小值时，2a+1＝0，
∴a的取值为﹣．
故选：B．
【点评】此题主要考查了算术平方根的非负性质的应用，要熟练掌握．
6．在平面直角坐标系中，平行于坐标轴的线段PQ＝5，若点P坐标是（﹣2，1），则点Q不在第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
【分析】在平面直角坐标系中画出过点P且平行于坐标轴的直线，分别截取线段PQ1＝PQ2＝PQ3＝PQ4＝5，则可知点Q不在第四象限．
解：如图所示，过点P（﹣2，1）作平行于坐标轴的直线，分别取线段PQ1＝PQ2＝PQ3＝PQ4＝5，
点Q不在第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查了过平面直角坐标系内的定点的坐标特点，数形结合是解题的比较直观的方法．
7．实数在数轴上的位置如图，那么化简的结果是（ ）
A．b﹣2a B．b C．﹣b D．a
【分析】由实数a、b在数轴上的位置确定a、b的符号以及绝对值的大小，再根据二次根式的性质化简即可．
解：由实数a、b在数轴上的位置可知，b＜0＜a，且|b|＞|a|，
∴b﹣a＜0，
∴原式＝a﹣b﹣a
＝﹣b，
故选：C．
【点评】本题考查实数与数轴，二次根式的性质与化简，理解数轴表示数的方法，掌握二次根式的性质是正确解答的前提．
8．《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”大意是：甲、乙二人带着钱，不知是多少，若甲得到乙的钱数的，则甲的钱数为50；若乙得到甲的钱数的，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？设甲持钱为x，乙持钱为y，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据甲得到乙的钱数的，则甲的钱数为50；若乙得到甲的钱数的，则乙的钱数也能为50，可以得到相应的方程组，从而可以解答本题．
解：由题意可得，
，
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
9．已知x，y是整数，且满足x﹣y+3＝0，ax﹣y﹣1＝0，则整数a的所有可能值有（ ）个．
A．4 B．5 C．6 D．8
【分析】先联立两个方程组成方程组，再消去y可得，再根据整数解的条件进行讨论，并检验即可得到答案．
解：由题意得：，
②﹣①得：（a﹣1）x＝4，
当a≠1时，，
∵a，x都为整数，
∴a＝﹣3或a＝﹣1或a＝0或a＝2或a＝3或a＝5，
此时y＝x+3也为整数，
所以a的所有的可能的值有6个，
故选：C．
【点评】本题考查的是二元一次方程组的整数解问题，掌握“二元一次方程组的解法及整数解的含义”是解本题的关键．
10．在平面直角坐标系中，M（m，m），N（n+5，n﹣2），其中m﹣n＝5，则下列对MN长度判断正确的是（ ）
A．MN＜7 B．MN＞7 C．MN＝7 D．无法确定
【分析】由勾股定理和两点间的距离公式进行计算即可．
解：∵M（m，m），N（n+5，n﹣2），m﹣n＝5，
∴MN＝＝＝7，
故选：C．
【点评】本题考查了由勾股定理和两点间的距离公式，熟练掌握由勾股定理和两点间的距离公式是解题的关键．
二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分．）
11．点P（﹣2，1）到x轴的距离是 1 ．
【分析】直接利用点到x轴的距离即为纵坐标的绝对值进而得出答案．
解：点P（﹣2，1）到x轴的距离是：1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了点的坐标，正确理解点的性质是解题关键．
12．已知x，y为两个连续的整数，且x＜＜y，则5x+y的平方根为 ±5 ．
【分析】先求出的范围，求出x、y的值，求出5x+y的值，根据平方根的定义求出即可．
解：∵4＜＜5，
∴x＝4，y＝5，
∴5x+y＝25，
∴5x+y的平方根是±5，
故答案为：±5
【点评】本题考查了估算无理数的大小，平方根的定义的应用，解此题的关键是求出x、y的值．
13．如图，AB∥CD∥EF，若∠CEF＝105°，∠BCE＝55°，则∠ABC的度数为＝ 130° ．
【分析】由AB∥CD∥EF，利用平行线的性质先求出∠ECD的度数，再求出∠BCD的度数，最后利用平行线的性质求出∠ABC的度数．
解：∵CD∥EF，
∴∠ECD+∠CEF＝180°，
∵∠CEF＝105°，
∴∠ECD＝180°﹣∠CEF＝180°﹣105°＝75°，
∵∠BCE＝55°，
∴∠BCD＝∠BCE+∠ECD＝55°+75°＝130°，
∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD＝130°．
故答案为：130°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质定理，熟练运用性质定理是解答此题的关键．
14．一艘船从A点出发，向北偏西30°方向行驶了50m到达B点，再从B点向南偏东15°方向行驶了60m到达C点，则∠ABC等于 15° ．
【分析】首先根据题意画出草图，再根据角之间的关系计算即可．
解：根据题意可得∠DAB＝30°，
∵EB∥AD，
∴∠EBA＝30°，
∵∠EBC＝15°，
∴∠ABC＝30°﹣15°＝15°，
故答案为：15°．
【点评】此题主要考查了方向角，关键是理清图中角之间的关系．
15．定义运算“*”，规定x*y＝ax2+by，其中a、b为常数，且1*2＝5，2*1＝6，则2*3＝ 10 ．
【分析】已知等式利用新定义化简，求出a与b的值，即可求出所求式子的值．
解：根据题中的新定义化简已知等式得：，
解得：a＝1，b＝2，
则2*3＝4a+3b＝4+6＝10，
故答案为：10．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，弄清题中的新定义是解本题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，A（3，0），B（0，4），C（2，0），D（0，1），连接AD、BC交于点E，则三角形ABE的面积为 ．
【分析】连接OE，设E（m，n），由△AOD和△BOC的面积列出m、n的方程组求得m、n，再由△ABC和△ACE的面积差求得△ABE的面积便可．
解：连接OE，如图，
∵A（3，0），B（0，4），C（2，0），D（0，1），
∴AO＝3，OB＝4，OC＝2，OD＝1，
设E（m，n），
∵S△OAD＝，
∴S△OAD＝S△OED+S△OAE＝；
∵S△OCB＝＝4，
∴S△OEB+S△OEC＝2m+n＝4；
解方程组得，，
∴S△BEA＝S△BCA﹣S△AEC＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了点的坐标的特征，三角形的面积和差的关系，关键是求E点的坐标．
三、解答题（本大题共9小题，共86分，）
17．计算：
（1）；
（2）3（x﹣1）3+24＝0．
【分析】（1）直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质、二次根式的乘法运算法则化简，进而得出答案；
（2）利用立方根的性质计算得出答案．
解：（1）原式＝2﹣（2﹣）+5﹣2
＝2﹣2++5﹣2
＝+3；
（2）3（x﹣1）3+24＝0，
则（x﹣1）3＝﹣8，
故x﹣1＝﹣2，
解得：x＝﹣1．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
18．解方程组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）方程组利用代入消元法求解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求解即可．
解：（1），
把①代入②，得3x＝8﹣2（2x﹣3），
解得x＝2，
把x＝2代入①，得y＝1，
故原方程组的解为；
（2）原方程组整理，得，
①﹣②，得2x＝8，
解得x＝4，
把x＝4代入②，得4﹣2y＝﹣1，
解得y＝，
故原方程组的解为．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解答本题的关键．
19．如图，在正方形网格中有一个三角形ABC，其顶点都在网格的格点上．
（1）过点C画出AB的垂线CD，垂足为点D；
（2）比较CB ＞ CD（填“＞”或“＜”），判断依据是 垂线段最短 ；
（3）先将三角形ABC向右平移6个单位，再向上平移2个单位，得到三角形A1B1C1，请在下面的网格中画出得到的三角形A1B1C1．
【分析】（1）根据垂线的定义画出图形即可；
（2）利用垂线段最短解决问题；
（3）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
解：（1）如图，直线CD即为所求；
（2）CB＞CD，判断依据是垂线段最短．
故答案为：＞，垂线段最短；
（3）如图，三角形A1B1C1即为所求．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，垂线段最短等知识，解题关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
20．已知正实数x的两个平方根是m和m+n．
（1）当n＝14时，求m；
（2）若m2x+（m+n）2x＝14，求x的值．
【分析】（1）根据算术平方根的定义得出m+m+n＝0，再将n＝14代入计算即可求出m的值；
（2）由正实数x的两个平方根是m和m+n可得x＝m2＝（m+n）2，原方程可变为2x2＝14，进而求出x 的值．
解：（1）∵正实数x的两个平方根是m和m+n．
∴m+m+n＝0，而n＝14，
∴m＝﹣7；
（2）∵正实数x的两个平方根是m和m+n．
∴x＝m2＝（m+n）2，
因此原方程可变为2x2＝14，
即x2＝7，
又∵x＞0，
∴x＝．
【点评】本题考查平方根，理解平方根的定义是正确解答的前提．
21．如图，平面直角坐标系中，C（0，5）、D（a，5）（a＞0），A、B在x轴上，∠1＝∠D，求证：∠ACB＝∠CED．
【分析】先由C点、D点的纵坐标相等，可得CD∥x轴，即CD∥AB，然后由两直线平行同旁内角互补，可得：∠1+∠ACD＝180°，然后根据等量代换可得：∠D+∠ACD＝180°，然后根据同旁内角互补两直线平行，可得AC∥DE，最后由平行线的性质可得结论．
【解答】证明：∵C（0，5）、D（a，5）（a＞0），
∴CD∥x轴，即CD∥AB，
∴∠1+∠ACD＝180°，
∵∠1＝∠D，
∴∠D+∠ACD＝180°，
∴AC∥DE，
∴∠ACB＝∠CED．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键．
22．当a，b都是实数，且满足2a﹣b＝6，就称点P（a﹣1，+1）为完美点．
（1）判断点A（2，3）是否为完美点．
（2）已知关于x，y的方程组，当m为何值时，以方程组的解为坐标的点B（x，y）是完美点，请说明理由．
【分析】（1）根据完美点的定义判定即可；
（2）用m表示a、b，构建方程即可解决问题；
解：（1）a﹣1＝2，可得a＝3，+1＝3，可得b＝4，
∵2a﹣b≠6，
∴A（2，3）不是完美点．
（2）∵，
∴，
3+m＝a﹣1，可得a＝m+4，
3﹣m＝+1，可得b＝4﹣2m，
∵2a﹣b＝6，
∴2m+8﹣4+2m＝6，
∴m＝，
∴当m＝时，点B（x，y）是完美点．
【点评】本题考查二元方程组，点的坐标等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考创新题目．
23．我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果ax+b＝0，其中a、b为有理数，x为无理数，那么a＝0，且b＝0，运用上述知识解决下列问题：
（1）如果，其中a、b为有理数，那么a＝ ﹣2 ，b＝ 3 ；
（2）如果，其中a、b为有理数，求3a+2b的算术平方根；
（3）若a、b都是有理数，且，试求a+b的立方根．
【分析】（1）根据已知可得a+2＝0，﹣b+3＝0，然后进行计算即可解答；
（2）根据已知可得2b﹣a﹣5﹣（a+b﹣4）＝0，从而可得，进而可得：，然后把a，b的值代入式子中进行计算，即可解答；
（3）根据已知可得a2+2b﹣17+（b+4）＝0，从而可得a2+2b﹣17＝0，b+4＝0，进而可得b＝﹣4，a＝±5，然后分两种情况进行计算，即可解答．
解：（1）∵，其中a、b为有理数，
∴a+2＝0，﹣b+3＝0，
∴a＝﹣2，b＝3，
故答案为：﹣2；3；
（2）∵，
∴2b﹣a﹣5﹣（a+b﹣4）＝0，
∵a、b为有理数，
∴，
解得：，
∴3a+2b＝3×1+2×3＝3+6＝9，
∴3a+2b的算术平方根是3；
（3）∵，
∴a2+2b﹣17+（b+5）﹣＝0，
∴a2+2b﹣17+（b+5﹣1）＝0，
∴a2+2b﹣17+（b+4）＝0，
∵a、b都是有理数，
∴a2+2b﹣17＝0，b+4＝0，
∴b＝﹣4，a＝±5，
∴当a＝5，b＝﹣4时，a+b＝5+（﹣4）＝1，a+b的立方根为1；
当a＝﹣5，b＝﹣4时，a+b＝﹣5+（﹣4）＝﹣9，a+b的立方根为﹣；
∴综上所述：a+b的立方根为1或﹣．
【点评】本题考查了立方根，实数的运算，算术平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键．
24．“冰墩墩”和“雪容融”分别是北京2022年冬奥会和冬残奥会的吉祥物．自2019年正式亮相后，相关特许商品投放市场，持续热销．某冬奥官方特许商品零售店购进了一批同一型号的“冰墩墩”和“雪容融”玩具，连续两个月的销售情况如表：
月份
销售量/件
销售额/元
冰墩墩
雪容融
第1个月
100
60
14800
第2个月
150
120
24600
（1）问：每个“冰墩墩”和每个“雪容融”玩具的价格分别是多少？
（2）某中学要在该冬奥官方特许商品零售店购买两种该批次的“冰墩墩”和“雪容融”玩具（两种玩具都购买）作为“北京冬奥会我参与”的征文比赛奖品，花费总额2000元整，请你帮该中学设计购买方案．
【分析】（1）设每个“冰墩墩”玩具的价格是x元，每个“雪容融”玩具的价格是y元，利用销售总额＝销售单价×销售数量，结合连续两个月的销售数量及销售总额，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m个“冰墩墩”玩具，n个“雪容融”玩具，利用总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案．
解：（1）设每个“冰墩墩”玩具的价格是x元，每个“雪容融”玩具的价格是y元，
依题意得：，
解得：．
答：每个“冰墩墩”玩具的价格是100元，每个“雪容融”玩具的价格是80元．
（2）设购买m个“冰墩墩”玩具，n个“雪容融”玩具，
依题意得：100m+80n＝2000，
∴m＝20﹣n．
又∵m，n均为正整数，
∴或或或，
∴该中学共有4种购买方案，
方案1：购买16个“冰墩墩”玩具，5个“雪容融”玩具；
方案2：购买12个“冰墩墩”玩具，10个“雪容融”玩具；
方案3：购买8个“冰墩墩”玩具，15个“雪容融”玩具；
方案4：购买4个“冰墩墩”玩具，20个“雪容融”玩具．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键．
25．已知：AB∥CD，E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，∠1＝∠2．
（1）如图1，求证：EF∥GH；
（2）如图2，过F点作FM⊥GH交GH延长线于点M，作∠BEF、∠DFM的角平分线交于点N，EN交GH于点P，求证：∠N＝45°；
（3）如图3，在（2）的条件下，作∠AGH的角平分线交CD于点Q，若3∠FEN＝4∠HFM，直接写出的值．
【分析】（1）由平行线的性质得∠1＝∠3，再由内错角相等得出EF∥GH；
（2）过点N作NK∥CD，设角度，由平行线的性质和角平分线的性质即可得出结论；
（3）由3∠FEN＝4∠HFM结合前面（2）的结论，求出角度可得．
解：（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3，
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴EF∥GH；
（2）如图2，过点N作NK∥CD，
∴KN∥CD∥AB，
∴∠KNE＝∠4，∠6＝∠7，
设∠4＝x，∠7＝y，
∵EN、FN分别平分∠BEF、∠DFM，
∴∠ENK＝∠5＝∠4＝x，∠6＝∠8＝∠7＝y，
又∵AB∥CD，
∴∠EFD＝180°﹣（∠4+∠5）＝180°﹣2x，
又∵FM⊥GH，
∴∠EFM＝90°，
∴180°﹣2x+2y＝90°，
∴x﹣y＝45°，
∴∠ENF＝∠ENK﹣∠6＝x﹣y＝45°，
（3）
∵3∠FEN＝4∠HFM，即3x＝4×2y，
∴x＝，
∴x﹣y＝﹣y＝45°
∴y＝27°，x＝72°，
又∵EN和GQ是角平分线，
∴GQ⊥EN，
∴∠GQH＝∠EGQ＝180°﹣90°﹣72°＝18°，
又∵∠MPN＝∠FEN＝x＝72°，
∴，
故答案为．
【点评】本题是平行线的综合题目，考查了平行线的判定与性质、垂直的定义、角平分线定义等知识；综合性强，熟练掌握平行线的判定与性质，作出辅助平行线是解题的关键．
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