2022-2023学年山东省济南二十七中教育集团、济南市大学基础教育集团七年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省济南二十七中教育集团、济南市大学基础教育集团七年级（下）期中数学试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省济南二十七中教育集团、济南市大学基础教育集团七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）
1．石墨烯是目前世界上最薄却又最坚硬同时还是导电性能最好的纳米材料，其理论厚度大约仅0.00000034毫米．将0.00000034用科学记数法表示为（　　）
A．3.4×10﹣7 B．3.4×10﹣8 C．34×10﹣8 D．0.34×10﹣6
2．如图，直线b，c被直线a所截，则∠1与∠2是（　　）

A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角
3．下列运算正确的是（　　）
A．a2•a3＝a6 B．（a2）3＝a5
C．（2a2）3＝6a6 D．a3÷a2＝a（a≠0）
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝60°，AD∥BC，则∠DAC大小为（　　）

A．20° B．40° C．60° D．80°
5．如图，将三角板的直角顶点放在两条平行线中的直线AB上，若∠1＝22°，则∠2的度数为（　　）

A．78° B．68° C．22° D．60°
6．如图，在下列四组条件中，不能判断AD∥BC的是（　　）

A．∠DAC＝ACB B．∠ADB＝∠DBC
C．∠DAB+∠ABC＝180° D．∠BAC＝∠ACD
7．若一个三角形的两边长分别为3cm、6cm，则它的第三边的长可能是（　　）
A．2cm B．3cm C．6cm D．9cm
8．在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．若ab＝2，a+b＝3，则（a﹣b）2的值为（　　）
A．1 B．3 C．7 D．13
10．三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°、40°、20°的三角形是“灵动三角形”．如图，∠MON＝60°，
在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（我们规定0°＜∠OAC＜90°）．
①∠ABO的度数为30°；
②△AOB是“灵动三角形”；
③若∠BAC＝70°，则△AOC是“灵动三角形”；
④当△ABC为“灵动三角形”时，∠OAC为30°或52.5°
结论正确的有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．已知代数式x2+mx+16是一个完全平方式，则m的值为 　 　．
12．如图，一艘轮船按箭头所示方向行驶，C处有一灯塔，当轮船从A点行驶到B点时，∠ACB＝　 　°．

13．等腰三角形的一边长为4cm，另一边长为10cm，则该等腰三角形的周长为 　 　cm．
14．如图，在△ABC中，∠BAC＝130°，∠C＝40°，AD、AE分别是它的高线和角平分线，则∠DAE的度数是　 　°．

15．任意给一个非零数，按下列程序进行计算，则输出结果为　 　．
16．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝3BD，BE＝CE，设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，若S△ABC＝8，则S1﹣S2的值为　 　．

三、解答题（本大题共86分）
17．（16分）计算：
（1）a3•a5+（﹣a2）4﹣3a8；
（2）．
（3）+（π﹣5）0；
（4）（x+1）（x﹣1）+（2x﹣1）2．
18．一个角的余角的3倍与它的补角相等，求这个角的度数．
19．先化简，再求值已知x＝1，y＝﹣2，求多项式[（2x﹣y）（2x+y）﹣y（6x﹣y）]÷2x的值．
20．已知：如图，AD∥BE，∠1＝∠2，求证：∠A＝∠E．
证明：∵AD∥BE（已知），
∴∠A＝∠EBC（ 　 　），
∵∠1＝∠2（已知），
∴DE∥AC（ 　 　），
∴　 　＝　 　（ 　 　），
∴∠A＝∠E（ 　 　）．

21．如图，EF∥AD，∠1＝∠2．则∠CGD与∠CAB相等吗？请说明理由．

22．一辆汽车油箱内有油a升，从某地出发，每行驶1小时耗油6升，若设剩余油量为Q升，行驶时间为t/小时，根据以上信息回答下列问题：
（1）开始时，汽车的油量a＝　 　升；
（2）在　 　小时汽车加油，加了　 　升，写出加油前Q与t之间的关系式　 　；
（3）这辆汽车行驶8小时，剩余油量多少升？

23．弹簧挂上物体后会伸长，已知一弹簧的长度（cm）与所挂物体的质量（kg）之间的关系如表：（弹簧最大承重20kg）
物体的质量/kg
0
1
2
3
4
5
6
弹簧长度/cm
12
12.5
13
13.5
14
14.5
15
（1）写出y与x之间的关系式 　 　；
（2）当物体的质量为15.5kg时，求弹簧的长度；
（3）当弹簧的长度为18.7cm时，求物体质量．
24．如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形．

（1）在图2中的阴影部分的面积S1可表示为 　 　（写成多项式乘法的形式）；在图3中的阴影部分的面积S2可表示为 　 　；（写成两数平方差的形式）；
（2）比较图2与图3的阴影部分面积，可以得到的等式是 　 　；
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2
B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
（3）请利用所得等式解决下面的问题：
①已知4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，则3m﹣n＝　 　；
②计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）⋯（232+1）+1的值，并直接写出该值的个位数字．
25．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度数．
小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC＝50°+60°＝110°．
问题迁移：
（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．

26．实验探究：（1）动手操作：
①如图1，将一块直角三角板DEF放置在直角三角板ABC上，使三角板DEF的两条直角边DE、DF分别经过点B、C，且BC∥EF，已知∠A＝30°，则∠ABD+∠ACD＝　 　；
②如图2，若直角三角板ABC不动，改变等腰直角三角板DEF的位置，使三角板DEF的两条直角边DE、DF仍然分别经过点B、C，那么∠ABD+∠ACD＝　 　；
（2）猜想证明：如图3，∠BDC与∠A、∠B、∠C之间存在着什么关系，并说明理由；
（3）灵活应用：请你直接利用以上结论，解决下列问题：
①如图4，BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，若∠BAC＝40°，∠BDC＝120°，求∠BEC度数．
②如图5，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点F1、F2、…、F9，若∠BDC＝120°，∠BF3C＝71°，则∠A的度数为　 　．



参考答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）
1．石墨烯是目前世界上最薄却又最坚硬同时还是导电性能最好的纳米材料，其理论厚度大约仅0.00000034毫米．将0.00000034用科学记数法表示为（　　）
A．3.4×10﹣7 B．3.4×10﹣8 C．34×10﹣8 D．0.34×10﹣6
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：0.00000034＝3.4×10﹣7．
故选：A．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2．如图，直线b，c被直线a所截，则∠1与∠2是（　　）

A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
解：由题意可得，∠1与∠2是直线b，c被直线a所截而成的同位角．
故选：B．
【点评】本题主要考查了同位角，同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
3．下列运算正确的是（　　）
A．a2•a3＝a6 B．（a2）3＝a5
C．（2a2）3＝6a6 D．a3÷a2＝a（a≠0）
【分析】运用同底数幂的除法、积的乘方、同底数幂相乘等运算法则进行逐一计算、辨别．
解：∵a2•a3＝a5，
∴选项A不符合题意；
∵（a2）3＝a6，
∴选项B不符合题意；
∵（2a2）3＝8a6，
∴选项C不符合题意；
∵a3÷a2＝a（a≠0），
∴选项D符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了同底数幂的除法、积的乘方、同底数幂相乘等的运算能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算．
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝60°，AD∥BC，则∠DAC大小为（　　）

A．20° B．40° C．60° D．80°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠C，根据平行线的性质得出∠DAC＝∠C，即可得出答案．
解：在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝80°，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠C＝80°，
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理的应用，能求出∠C的度数和得出∠DAC＝∠C是解此题的关键，注意：两直线平行，内错角相等．
5．如图，将三角板的直角顶点放在两条平行线中的直线AB上，若∠1＝22°，则∠2的度数为（　　）

A．78° B．68° C．22° D．60°
【分析】根据图形可知∠3＝90°﹣∠1＝68°，再由平行线的性质可知∠2＝∠3＝68°．
解：如图：

∠3＝90°﹣∠1＝90°﹣22°＝68°．
由平行可知：∠2＝∠3＝68°．
故选：B．
【点评】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的计算和转化．
6．如图，在下列四组条件中，不能判断AD∥BC的是（　　）

A．∠DAC＝ACB B．∠ADB＝∠DBC
C．∠DAB+∠ABC＝180° D．∠BAC＝∠ACD
【分析】根据各选项中各角的关系及利用平行线的判定定理，分别分析判断AD、BC是否平行即可．
解：A、∵∠DAC＝∠BCA，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），故A能判断；
B、∵∠ADB＝∠DBC，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），故B能判断；
C、根据∠DAB+∠ABC＝180°，能判定AD∥BC，故C能判断；
D、根据“∠BAC＝∠ACD”只能判定“DC∥AB”，而非AD∥BC，故D不能判断；
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行线的判定．解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．
7．若一个三角形的两边长分别为3cm、6cm，则它的第三边的长可能是（　　）
A．2cm B．3cm C．6cm D．9cm
【分析】首先设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得6﹣3＜x＜6+3，再解不等式即可．
解：设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得：
6﹣3＜x＜6+3，
解得：3＜x＜9，
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
8．在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据三角形的内角和定理得出∠A+∠B+∠C＝180°，再根据已知的条件逐个求出∠C的度数，即可得出答案．
解：①∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，∴①正确；
②∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝×180°＝90°，
∴△ABC是直角三角形，∴②正确；
③∵∠A＝90°﹣∠B，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，∴③正确；
④∵∠A＝∠B＝∠C，
∴∠C＝2∠A＝2∠B，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+∠A+2∠A＝180°，
∴∠A＝45°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，∴④正确；
故选：D．
【点评】本题考查了三角形内角和定理的应用，能求出每种情况的∠C的度数是解此题的关键，题目比较好，难度适中．
9．若ab＝2，a+b＝3，则（a﹣b）2的值为（　　）
A．1 B．3 C．7 D．13
【分析】根据完全平方公式得出（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，进而求出（a﹣b）2的值即可．
解：∵ab＝2，a+b＝3，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝9﹣8＝1，
故选：A．
【点评】本题考查完全平方公式的运用，掌握完全平方公式的特点和相应的变形，是正确解答的关键．
10．三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°、40°、20°的三角形是“灵动三角形”．如图，∠MON＝60°，
在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（我们规定0°＜∠OAC＜90°）．
①∠ABO的度数为30°；
②△AOB是“灵动三角形”；
③若∠BAC＝70°，则△AOC是“灵动三角形”；
④当△ABC为“灵动三角形”时，∠OAC为30°或52.5°
结论正确的有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①根据直角三角形两锐角互余求解．
②根据“灵动三角形”的定义判断即可．
③根据“灵动三角形”的定义判断即可．
④分三种情形，利用三角形内角和定理求解即可．
解：∵AB⊥OM，
∴∠BAO＝90°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠ABO＝90°﹣60°＝30°，
∵90°＝3×30°，
∴△AOB是“灵动三角形”，故①②正确，
∵∠OAB＝90°，∠BAC＝70°，
∴∠OAC＝20°，
∵∠AOC＝60°＝3×20°，
∴△AOC是“灵动三角形”．故③正确，
∵△ABC是“灵动三角形”，
①∠ACB＝3∠ABC时，∠CAB＝60°，∠OAC＝30°；
②当∠ABC＝3∠CAB时，∠CAB＝10°，∠OAC＝80°．
③当∠ACB＝3∠CAB时，∠CAB＝37.5°，可得∠OAC＝52.5°．
综上所述，满足条件的值为30°或52.5°或80°．故④错误，
综上所述，正确的有：①②③，共3个．
故选：C．
【点评】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．已知代数式x2+mx+16是一个完全平方式，则m的值为 　±8　．
【分析】根据完全平方式：a2±2ab+b2＝（a±b）2求解即可．
解：∵代数式x2+mx+16是一个完全平方式，
∴m＝±2×1×4＝±8，
故答案为：±8．
【点评】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式是解题的关键．
12．如图，一艘轮船按箭头所示方向行驶，C处有一灯塔，当轮船从A点行驶到B点时，∠ACB＝　40　°．

【分析】根据三角形的外角性质可求出答案．
解：∵∠CBD＝∠A+∠C，
∴∠C＝∠CBD﹣∠A
＝70°﹣30°
＝40°，
故答案为：40．

【点评】本题考查外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解决问题的关键．
13．等腰三角形的一边长为4cm，另一边长为10cm，则该等腰三角形的周长为 　24　cm．
【分析】分情况讨论：①等腰三角形的腰长为4cm，②等腰三角形的腰长为10cm，分别求解即可．
解：分情况讨论：
①等腰三角形的腰长为4cm，
∵4+4＝8＜10，
故等腰三角形腰长为4cm不符合题意；
②等腰三角形的腰长为10cm，
∵10+10＝20＞4，
∴等腰三角形腰长为10cm，底边为4cm，
∴该等腰三角形的周长为10+10+4＝24（cm），
故答案为：24．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，熟练掌握这些知识是解题的关键，注意分情况讨论．
14．如图，在△ABC中，∠BAC＝130°，∠C＝40°，AD、AE分别是它的高线和角平分线，则∠DAE的度数是　15　°．

【分析】先根据三角形的内角和定理得到∠B的度数，再利用角平分线的性质可求出∠BAE＝∠BAC，而∠BAD＝90°﹣∠B，然后利用∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE进行计算即可．
解：在△ABC中，∠BAC＝130°，∠C＝40°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣130°﹣40°＝10°，
∵AE是的角平分线，
∴∠BAE＝∠BAC＝65°，
∵AE是△ABC的高，
∴∠ADB＝90°，
∴在△ADB中，∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣10°＝80°，
∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝80°﹣65°＝15°．
故答案为：15．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的高等知识，关键是利用三角形内角和定理求解．
15．任意给一个非零数，按下列程序进行计算，则输出结果为　m　．
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
解：由题意可知：（m2+m）÷m﹣1＝m+1﹣1＝m，
故答案为：m
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是正确理解流程图，本题属于基础题型．
16．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝3BD，BE＝CE，设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，若S△ABC＝8，则S1﹣S2的值为　2　．

【分析】根据S△ABC＝8，AD＝3BD，BE＝CE，可推出S△ABE＝，S△CBD＝，最后根据S1﹣S2＝S△ABE﹣S△CBD计算即可．
解：∵S△ABC＝8，AD＝3BD，BE＝CE，
∴S△ABE＝＝＝4，S△CBD＝＝＝2，
∴S1﹣S2＝S△ABE﹣S△CBD＝4﹣2＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了三角形的面积计算，熟知等高不同底的三角形面积比为底之比是解题关键．
三、解答题（本大题共86分）
17．（16分）计算：
（1）a3•a5+（﹣a2）4﹣3a8；
（2）．
（3）+（π﹣5）0；
（4）（x+1）（x﹣1）+（2x﹣1）2．
【分析】（1）先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法，然后合并同类项即可；
（2）根据多项式除法单项式的方法计算即可；
（3）先算乘方、负整数指数幂、零指数幂，然后计算加减法即可；
（4）根据平方差公式和完全平方公式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可．
解：（1）a3•a5+（﹣a2）4﹣3a8
＝a3•a5+a8﹣3a8
＝a8+a8﹣3a8
＝﹣a8；
（2）
＝3x2y÷（﹣xy）﹣xy2÷（﹣xy）+xy÷（﹣xy）
＝﹣6x+2y﹣1；
（3）+（π﹣5）0
＝4﹣2+1
＝3；
（4）（x+1）（x﹣1）+（2x﹣1）2
＝x2﹣1+4x2﹣4x+1
＝5x2﹣4x．
【点评】本题考查整式的混合运算、实数的运算、负整数指数幂、零指数幂，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18．一个角的余角的3倍与它的补角相等，求这个角的度数．
【分析】根据余角和补角的概念以及题意可设这个角为x，得到关于x的方程，于是得到结论．
解：设这个角的度数是x°，根据题意，列方程得：
3（90﹣x）＝180﹣x，
解方程，得x＝45．
答：这个角的度数45°．
【点评】本题主要考查了余角和补角的概念以及运用．互为余角的两角的和为90°，互为补角的两角之和为180°．解此题的关键是能准确的从题中找出角之间的数量关系，从而计算出结果．
19．先化简，再求值已知x＝1，y＝﹣2，求多项式[（2x﹣y）（2x+y）﹣y（6x﹣y）]÷2x的值．
【分析】先算括号内的乘法，合并同类项，算除法，最后代入求出即可．
解：原式＝（4x2﹣y2﹣6xy+y2）÷（2x）
＝（4x2﹣6xy）÷（2x）
＝2x﹣3y，
当x＝1，y＝﹣2时，原式＝2×1﹣3×（﹣2）＝8．
【点评】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
20．已知：如图，AD∥BE，∠1＝∠2，求证：∠A＝∠E．
证明：∵AD∥BE（已知），
∴∠A＝∠EBC（ 　两直线平行，同位角相等　），
∵∠1＝∠2（已知），
∴DE∥AC（ 　内错角相等，两直线平行　），
∴　∠EBC　＝　∠E　（ 　两直线平行，内错角相等　），
∴∠A＝∠E（ 　等量代换　）．

【分析】先根据平行线的性质由AD∥BE得∠A＝∠EBC，再根据平行线的判定由∠1＝∠2得DE∥AC，则∠E＝∠EBC，所以∠A＝∠E．
【解答】证明：∵AD∥BE（已知），
∴∠A＝∠EBC（两直线平行，同位角相等），
又∵∠1＝∠2（已知）
∴AC∥DE（内错角相等，两直线平行），
∵∠EBC＝∠E（两直线平行，内错角相等），
∴∠A＝∠E（等量代换）．
故答案为：两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行；∠EBC，∠E，两直线平行，内错角相等，等量代换．
【点评】本题考查了平行线性质和判定，熟练掌握平行线的性质和判定定理是解题的关键．
21．如图，EF∥AD，∠1＝∠2．则∠CGD与∠CAB相等吗？请说明理由．

【分析】分别根据平行线的性质及平行线的判定定理解答即可．
解：∠CGD＝∠CAB．
理由如下：
∵EF∥AD，
∴∠2＝∠DAB，
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠DAB，
∴AB∥DG，
∴∠CGD＝∠CAB．
【点评】本题考查的是平行线的性质及判定定理，熟记定理是解答此题的关键．
22．一辆汽车油箱内有油a升，从某地出发，每行驶1小时耗油6升，若设剩余油量为Q升，行驶时间为t/小时，根据以上信息回答下列问题：
（1）开始时，汽车的油量a＝　42　升；
（2）在　5　小时汽车加油，加了　24　升，写出加油前Q与t之间的关系式　Q＝42﹣6t（0≤t≤5）　；
（3）这辆汽车行驶8小时，剩余油量多少升？

【分析】（1）观察函数图象，即可得出结论；
（2）察函数图象即可得加油时的时间和加油数量，出再根据加油前油箱剩余油量＝42﹣每小时耗油量×行驶时间，即可得出结论；
（3）根据题意列式计算即可解答．
解：（1）开始时，汽车的油量a＝42升；
故答案为：42．

（2）在5小时汽车加油，加了：36﹣12＝24（升），
机动车每小时的耗油量为（42﹣12）÷5＝6（升），
∴加油前油箱剩余油量Q与行驶时间t的函数关系为Q＝42﹣6t（0≤t≤5）．
故答案为：5；24；Q＝42﹣6t（0≤t≤5）．

（3）36﹣6×（8﹣5）＝18（升），
答：这辆汽车行驶8小时，剩余油量18升．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：（1）观察函数图象找出结论；（2）根据数量关系，列出函数关系式．
23．弹簧挂上物体后会伸长，已知一弹簧的长度（cm）与所挂物体的质量（kg）之间的关系如表：（弹簧最大承重20kg）
物体的质量/kg
0
1
2
3
4
5
6
弹簧长度/cm
12
12.5
13
13.5
14
14.5
15
（1）写出y与x之间的关系式 　y＝0.5x+12　；
（2）当物体的质量为15.5kg时，求弹簧的长度；
（3）当弹簧的长度为18.7cm时，求物体质量．
【分析】（1）设弹簧的长度为ycm，物体的质量为xkg，则可得y＝12+0.5x，将x＝7kg代入即可得出y．
（2）（3）利用（1）中共线时求解．
解：（1）设弹簧的长度为ycm，物体的质量为xkg，
由表格得，y＝12+0.5x，
故答案为：y＝0.5x+12；
（2）当x＝15.5时，y＝0.5×15.5+12＝19.75．
答：弹簧的长度是19.75cm；
（3）当y＝18.7时，0.5x+12＝18.7，
∴x＝13.4．
答：物体的质量是13.4kg．
【点评】本题考查了函数的表示方法，解答本题的关键是能读懂表格，根据表格信息得到我们解题需要的条件．
24．如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形．

（1）在图2中的阴影部分的面积S1可表示为 　（a+b）（a﹣b）　（写成多项式乘法的形式）；在图3中的阴影部分的面积S2可表示为 　a2﹣b2　；（写成两数平方差的形式）；
（2）比较图2与图3的阴影部分面积，可以得到的等式是 　B　；
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2
B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
（3）请利用所得等式解决下面的问题：
①已知4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，则3m﹣n＝　3　；
②计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）⋯（232+1）+1的值，并直接写出该值的个位数字．
【分析】（1）根据图形面积计算方法可得答案，
（2）由（1）可得等式；
（3）①根据平方差公式可得答案；
②配上因式（2﹣1）后连续利用平方差公式即可．
解：（1）图2中长方形的长为（a+b），宽为（a﹣b），因此面积为（a+b）（a﹣b），
图3中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2，
故答案为：（a+b）（a﹣b），a2﹣b2；
（2）由（1）得（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
故选：B；
（3）①因为4m2﹣n2＝12，所以（2m+n）（2m﹣n）＝12，
又因为2m+n＝4，
所以2m﹣n＝12÷4＝3，
故答案为：3；
②原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1+…（232+1）+1
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
＝……
＝264﹣1+1
＝264，
而21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256……，其个位数字2，4，8，6，重复出现，而64÷4＝16，于是“2、4、8、6”经过16次循环，
因此264的个位数字为6，
答：其结果的个位数字为6．
【点评】本题考查平方差公式的几何背景以及数字的变化规律，掌握平方差公式的结构特征，理解平方差公式的几何背景是解决问题的关键．
25．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度数．
小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC＝50°+60°＝110°．
问题迁移：
（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．

【分析】（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；
（2）化成图形，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案．
【解答】（1）解：∠CPD＝∠α+∠β，
理由是：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；

（2）当P在BA延长线时，

∠CPD＝∠β﹣∠α；
当P在AB延长线时，

∠CPD＝∠α﹣∠β．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，难度适中．
26．实验探究：（1）动手操作：
①如图1，将一块直角三角板DEF放置在直角三角板ABC上，使三角板DEF的两条直角边DE、DF分别经过点B、C，且BC∥EF，已知∠A＝30°，则∠ABD+∠ACD＝　60°　；
②如图2，若直角三角板ABC不动，改变等腰直角三角板DEF的位置，使三角板DEF的两条直角边DE、DF仍然分别经过点B、C，那么∠ABD+∠ACD＝　60°　；
（2）猜想证明：如图3，∠BDC与∠A、∠B、∠C之间存在着什么关系，并说明理由；
（3）灵活应用：请你直接利用以上结论，解决下列问题：
①如图4，BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，若∠BAC＝40°，∠BDC＝120°，求∠BEC度数．
②如图5，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点F1、F2、…、F9，若∠BDC＝120°，∠BF3C＝71°，则∠A的度数为　50°　．

【分析】（1）在△DBC中，根据三角形内角和定理得∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，然后把∠D＝90°代入计算即可；
（2）根据三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，即∠ABD+∠DBC+∠DCB+∠ACD+∠A＝180°，即可求得∠A+∠ABD+∠ACD＝180°﹣（180°﹣∠BDC）＝∠BDC，
（3）应用（2）的结论即可解决问题①②．
解：（1）动手操作：
①如图1中，

∵BC∥EF，
∴∠DBC＝∠E＝∠F＝∠DCB＝45°，
∴∠ABD＝90°﹣45°＝45°，∠ACD＝60°﹣45°＝15°，
∴∠ABD+∠ACD＝60°；
②如图2中，

在△DBC中，∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，
而∠D＝90°，
∴∠DBC+∠DCB＝90°；
在Rt△ABC中，
∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，
即∠ABD+∠DBC+∠DCB+∠ACD+∠A＝180°，
而∠DBC+∠DCB＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A＝60°．
故答案为60°；60°；

（2）猜想：∠A+∠B+∠C＝∠BDC；
证明：如图3中，连接BC，

在△DBC中，∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠BDC；
在Rt△ABC中，
∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，
即∠ABD+∠DBC+∠DCB+∠ACD+∠A＝180°，
而∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠BDC，
∴∠A+∠ABD+∠ACD＝180°﹣（180°﹣∠BDC）＝∠BDC，
即：∠A+∠B+∠C＝∠BDC．

（3）灵活应用：
①如图4中，

由（2）可知∠A+∠ABD+∠ACD＝∠BDC，∠A+∠ABE+∠ACE＝∠BEC，
∵∠BAC＝40°，∠BDC＝120°，
∴∠ABD+∠ACD＝120°﹣40°＝80°
∵BE平分∠ABD，CE平分∠ACB，
∴∠ABE+∠ACE＝40°，
∴∠BEC＝40°+40°＝80°；

②如图5中，

由（2）可知：∠A+∠ABD+∠ACD＝∠BDC＝120°，∠A+∠ABF3+∠ACF3＝∠BF3C＝71°，
∵∠ABF3＝∠ABD，∠ACF3＝∠ACD，
∴∠ABD+∠ACD＝120°﹣∠A，∠A+（∠ABD+∠ACD）＝71°，
∴∠A+（120°﹣∠A）＝71°，
∴∠A＝50°，
故答案为50°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°，准确识别图形是解题的关键，学会添加常用辅助线，构造三角形解决问题，学会利用新的结论解决问题．