2023年上海市宝山区中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2023年上海市宝山区中考数学二模试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年上海市宝山区中考数学二模试卷
一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列运算正确的是　　
A． B． C． D．
2．（4分）无理数在　　
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
3．（4分）如果一个三角形的两边长分别为、，那么这个三角形的第三边的长可以是　　
A． B． C． D．
4．（4分）已知点、分别在的边、的延长线上，，，设，那么用向量表示为　　
A． B． C． D．
5．（4分）在研究反比例函数的图象时，小明想通过列表、描点的方法画出反比例函数的图象，但是在作图时，小明发现计算有错误，四个点中有一个不在该函数图象上，那么这个点是　　




1
2




4



A． B．， C． D．
6．（4分）已知点、、在圆上，那么下列命题为真命题的是　　
A．如果半径平分弦，那么四边形是平行四边形
B．如果弦平分半径，那么四边形是平行四边形
C．如果四边形是平行四边形，那么
D．如果，那么四边形是平行四边形
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算：　 　．
8．（4分）分解因式：　 　．
9．（4分）分式中字母的取值范围是 　　．
10．（4分）如果关于的方程有两个相等的实数根，那么　　．
11．（4分）在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则的取值范围为　 　．
12．（4分）一个不透明的袋子里装有3个白球和1个红球，这些小球除颜色外无其他差别，如果从袋子中随机摸出一个小球，那么摸出的小球是红球的概率是 　　．
13．（4分）已知一次函数的图象经过点，那么　　．
14．（4分）某长途汽车客运公司规定旅客可免费随身携带一定质量的行李，如果超过规定的质量，则需购买行李票．行李费用（元是行李质量（千克）的一次函数，其图象如图所示．旅客最多可免费携带行李的质量是　　千克．

15．（4分）如图，在正五边形中，是边延长线上一点，联结，那么的度数为 　　．

16．（4分）如图，已知点在矩形的边上，且，，那么的长等于 　　．

17．（4分）如图，已知中，，，如果将绕点顺时针旋转到△，使点的对应点落在边上，那么的度数是 　　．

18．（4分）如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“倍角互余三角形”．已知在中，，，，点在边上，且是“倍角互余三角形”，那么的长等于 　　．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：．
20．（10分）解方程组：．
21．（10分）某校开设了、、、、五类兴趣课，为了解学生对这五类兴趣课的喜爱情况，从全校500名学生中随机抽取了若干名学生进行“你最喜爱的兴趣课”问卷调查（每个学生从、、、、中选择一类）．根据调查结果绘制出条形统计图（图和扇形统计图（图，两个统计图都尚未完成．

（1）求本次问卷调查中最喜欢类课程的学生人数，并在图1中补全相应的条形图；
（2）根据本次调查的结果，试估计该校全体学生中最喜欢类兴趣课的人数是多少？
22．（10分）“小房子”是一种常见的牛奶包装盒（如图，图2是其一个侧面的示意图，由“盒身”矩形和“房顶”等腰三角形组成．已知厘米，厘米，厘米．
（1）求“房顶”点到盒底边的距离；
（2）现设计了牛奶盒的一个新造型，和原来相比较，折线段的长度（即线段与的和）及矩形的面积均不改变，且，，求新造型“盒身”的高度（即线段的长）．

23．（12分）如图，四边形中，，、交于点，．
（1）求证：；
（2）是边上一点，联结交于点，如果，求证：四边形是平行四边形．

24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．
（1）求二次函数的解析式和顶点D的坐标；
（2）联结AC，试判断△ACD与△BOC是否相似，并说明理由；
（3）将抛物线平移，使新抛物线的顶点E落在线段OC上，新抛物线与原抛物线的对称轴交于点F，联结EF，如果四边形CEFD的面积为3，求新抛物线的表达式．

25．（14分）如图，已知半圆的直径，是圆外一点，的平分线交半圆于点，且，联结交于点．
（1）当时，求的长；
（2）当时，求的值；
（3）当为直角三角形时，求的值．



参考答案
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列运算正确的是　　
A． B． C． D．
【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
解：、与不属于同类项，不能合并，故不符合题意；
、与不属于同类项，不能合并，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故符合题意；
故选：．
【点评】本题主要考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
2．（4分）无理数在　　
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【分析】先估计7的范围，再估算的范围．
解：，
，
故选：．
【点评】本题考查了无理数的估算，常用夹逼法，用相邻的两个整数夹逼无理数是解题的关键．
3．（4分）如果一个三角形的两边长分别为、，那么这个三角形的第三边的长可以是　　
A． B． C． D．
【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围，再选出答案即可．
解：设第三边的长度为，由题意得：
，
即：，只有适合，
故选：．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
4．（4分）已知点、分别在的边、的延长线上，，，设，那么用向量表示为　　
A． B． C． D．
【分析】由题意可得，则，可得，进而可得，根据可得答案．
解：，
，，
，
，
，
，
，
．
故选：．

【点评】本题考查平面向量、相似三角形的判定与性质，熟练掌握平面向量的运算法则、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
5．（4分）在研究反比例函数的图象时，小明想通过列表、描点的方法画出反比例函数的图象，但是在作图时，小明发现计算有错误，四个点中有一个不在该函数图象上，那么这个点是　　




1
2




4



A． B．， C． D．
【分析】根据反比例函数中的特点进行解答即可．
解：，
这个点是．
故选：．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
6．（4分）已知点、、在圆上，那么下列命题为真命题的是　　
A．如果半径平分弦，那么四边形是平行四边形
B．如果弦平分半径，那么四边形是平行四边形
C．如果四边形是平行四边形，那么
D．如果，那么四边形是平行四边形
【分析】根据垂径定理、圆周角定理、平行四边形的判定和性质判断即可．
解：、当半径平分弦，但弦不平分时，四边形不是平行四边形，故本选项说法是假命题；
、当弦平分半径，但弦不垂直半径时，四边形不是平行四边形，故本选项说法是假命题；
、如图，在优弧上取点，连接、，
四边形是平行四边形，
，
由圆周角定理得：，
，
四边形为圆的内接四边形，
，
，
，故本选项说法是真命题，符合题意；
、当，四边形不一定是平行四边形，故本选项说法是假命题；
故选：．

【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算：　2　．
【分析】根据二次根式乘方的意义与二次根式乘法的运算法则，即可求得答案．
解：．
故答案为：2．
【点评】此题考查了二次根式乘法与乘方运算．此题比较简单，注意运算符号的确定．
8．（4分）分解因式：　　．
【分析】先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解：

．
【点评】考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
9．（4分）分式中字母的取值范围是 　　．
【分析】根据题意得，然后解不等式即可．
解：根据题意得，
解得，
即的取值范围为．
故答案为：．
故答案为：．
【点评】本题考查了分式有意义的条件：分式有意义的条件是分母不等于零．
10．（4分）如果关于的方程有两个相等的实数根，那么　　．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值．
解：关于的方程有两个相等的实数根，
△，
解得：，
的值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
11．（4分）在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则的取值范围为　　．
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组，然后求解即可．
解：点在第二象限，
，
解不等式①得，，
所以不等式组的解集是．
故答案为：．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
12．（4分）一个不透明的袋子里装有3个白球和1个红球，这些小球除颜色外无其他差别，如果从袋子中随机摸出一个小球，那么摸出的小球是红球的概率是 　　．
【分析】用红球的个数除以球的总个数即可．
解：从袋子中随机摸出一个小球共有种等可能结果，其中摸出的小球是红球的有1种结果，
摸出的小球是红球的概率为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查概率公式，随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
13．（4分）已知一次函数的图象经过点，那么　4　．
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值．
解：一次函数的图象经过点，
，
解得：．
故答案为：4．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键．
14．（4分）某长途汽车客运公司规定旅客可免费随身携带一定质量的行李，如果超过规定的质量，则需购买行李票．行李费用（元是行李质量（千克）的一次函数，其图象如图所示．旅客最多可免费携带行李的质量是　25　千克．

【分析】由图，已知直线上两坐标，可根据待定系数法列方程，求函数关系式，旅客可免费携带行李，即，代入所求得的函数关系式，即可知质量为多少．
解：设一次函数，
当时，，当时，，
，
解得：，
所求函数关系式为；
当时，，
所以，
故旅客最多可免费携带25千克行李．
故答案为：25．
【点评】本题主要考查了函数的图象和用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题，具备在直角坐标系中的读图能力．注意自变量的取值范围不能遗漏．
15．（4分）如图，在正五边形中，是边延长线上一点，联结，那么的度数为 　　．

【分析】根据正多边形的外角和是，求出这个正多边形的每个内角，再根据，得出，最后根据，即可得出答案．
解：是正五边形，
，，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角．根据正多边形的外角和求多边形的外角和内角的度数是常用的一种方法．
16．（4分）如图，已知点在矩形的边上，且，，那么的长等于 　4　．

【分析】作于点，由，得，由矩形的性质得，则，所以，则，由，，得，则，所以，于是得到问题的答案．
解：作于点，则，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
故答案为：4．

【点评】此题重点考查矩形的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
17．（4分）如图，已知中，，，如果将绕点顺时针旋转到△，使点的对应点落在边上，那么的度数是 　　．

【分析】分别求出，可得结论．
解：在中，，，
，
由旋转变换的性质可知，，，
，
．
故答案为：．

【点评】本题考查旋转变换，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18．（4分）如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“倍角互余三角形”．已知在中，，，，点在边上，且是“倍角互余三角形”，那么的长等于 　或　．
【分析】作于，根据定义规定分别得出或这两种情况，再分别根据全等和相似计算即可．
解：如图1，，，
，
作于，设，，
①当时，
，
，
，
，
，
，
，设，
，
，
，
即．
②当时，
，
，
，
即，
，
．

故答案为为：或．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，熟练运用全等、相似、勾股定理是解题关键．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：．
【分析】先算分数指数幂、绝对值、三角函数，再算加减．
解：原式

．
【点评】本题考查分数指数幂、实数运算、三角函数，掌握幂的运算是解题关键．
20．（10分）解方程组：．
【分析】由②得出③，把③代入①得出，求出，再把代入③求出即可．
解：，
由②得：③，
把③代入①，得，
解得：，
把代入③，得，
所以方程组的解是．
【点评】本题考查了解高次方程组，能把方程组转化成是解此题的关键．
21．（10分）某校开设了、、、、五类兴趣课，为了解学生对这五类兴趣课的喜爱情况，从全校500名学生中随机抽取了若干名学生进行“你最喜爱的兴趣课”问卷调查（每个学生从、、、、中选择一类）．根据调查结果绘制出条形统计图（图和扇形统计图（图，两个统计图都尚未完成．

（1）求本次问卷调查中最喜欢类课程的学生人数，并在图1中补全相应的条形图；
（2）根据本次调查的结果，试估计该校全体学生中最喜欢类兴趣课的人数是多少？
【分析】（1）用的人数除以比求出样本容量，再用样本容量乘可得的人数，用样本容量乘可得的人数，进而得出的人数，再补全相应的条形图即可；
（2）用该校全体学生人数乘样本中最喜欢类兴趣课的人数所占百分比即可．
解：（1）调查的总人数（名，
（名，
（名，
（名，
最喜欢类课程的人数为：（名，
补全的条形统计图如下：

（2）（名，
答：估计该校全体学生中最喜欢类兴趣课的人数大约是140名．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数量和数量关系是正确解答的关键．
22．（10分）“小房子”是一种常见的牛奶包装盒（如图，图2是其一个侧面的示意图，由“盒身”矩形和“房顶”等腰三角形组成．已知厘米，厘米，厘米．
（1）求“房顶”点到盒底边的距离；
（2）现设计了牛奶盒的一个新造型，和原来相比较，折线段的长度（即线段与的和）及矩形的面积均不改变，且，，求新造型“盒身”的高度（即线段的长）．

【分析】（1）作，垂足为，交于点，根据矩形的性质得到厘米，，根据勾股定理即可得到结论；
（2）设厘米，厘米，根据勾股定理得到（厘米），求得厘米，根据矩形的面积公式列方程即可得到结论．
解：（1）作，垂足为，交于点，
四边形是矩形，
厘米，，
．
厘米，厘米，
厘米，
（厘米），
（厘米）
答：房顶”点到盒底边的距离为7.5厘米；
（2）在中，，
设厘米，厘米，
（厘米），
厘米，
（厘米），
厘米，
矩形的面积不改变，
，
解得或，
，或，，
，
．
答：新造型“盒身”的高度为6.5厘米．

【点评】本题考查的是直角三角形的应用，解此题的关键是把实际问题转化为数学问题，要把实际问题抽象到直角三角形中，利用三角函数求解．
23．（12分）如图，四边形中，，、交于点，．
（1）求证：；
（2）是边上一点，联结交于点，如果，求证：四边形是平行四边形．

【分析】（1）由等腰三角形的性质和判定及平行线的性质，说明和全等，利用全等三角形的性质得结论；
（2）先说明，再说明，结合已知由平行四边形的判定可得结论．
【解答】证明：（1），
．
，
，．
．
．
在和中，
，
．
．
（2），，，
，即．
，
．
．
．
又，
四边形是平行四边形．
【点评】本题主要考查了三角形全等和相似，掌握全等三角形的性质和判定、相似三角形的判定和性质、平行线的性质、等腰三角形的判定和性质及平行四边形的判定是解决本题的关键．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．
（1）求二次函数的解析式和顶点D的坐标；
（2）联结AC，试判断△ACD与△BOC是否相似，并说明理由；
（3）将抛物线平移，使新抛物线的顶点E落在线段OC上，新抛物线与原抛物线的对称轴交于点F，联结EF，如果四边形CEFD的面积为3，求新抛物线的表达式．

【分析】（1）用待定系数法可得二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；化为顶点式即知顶点D的坐标为（﹣1，4）；
（2）在y＝﹣x2﹣2x+3中，求出C（0，3），即可得AC＝3，AD＝2，CD＝，OB＝1，OC＝3，BC＝，由三边对应成比例的三角形相似可得答案；
（3）由新抛物线的顶点E落在线段OC，设新抛物线表达式为y＝﹣x2+m，即可得CE＝3﹣m，DF＝4﹣（﹣1+m）＝5﹣m，根据四边形CEFD的面积为3，有×1×（3﹣m+5﹣m）＝3，解出m的值即可得新抛物线解析式为y＝﹣x2+1．
解：（1）把A（﹣3，0）、B（1，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴顶点D的坐标为（﹣1，4）；
（2）△ACD∽△COB，理由如下：

在y＝﹣x2﹣2x+3中，令x＝0得y＝3，
∴C（0，3），
∵A（﹣3，0）、B（1，0），D（﹣1，4），O（0，0），
∴AC＝3，AD＝2，CD＝，OB＝1，OC＝3，BC＝，
∴＝＝，＝＝，＝＝，
∴＝＝，
∴△ACD∽△COB；
（3）如图：

由新抛物线的顶点E落在线段OC，设新抛物线表达式为y＝﹣x2+m，则顶点E（0，m），
∵原抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
∴F（﹣1，﹣1+m），
∴CE＝3﹣m，DF＝4﹣（﹣1+m）＝5﹣m，
∵四边形CEFD的面积为3，
∴×1×（3﹣m+5﹣m）＝3，
解得m＝1，
∴新抛物线解析式为y＝﹣x2+1．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形相似的判定，平移变换等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理和利用梯形面积公式列方程．
25．（14分）如图，已知半圆的直径，是圆外一点，的平分线交半圆于点，且，联结交于点．
（1）当时，求的长；
（2）当时，求的值；
（3）当为直角三角形时，求的值．

【分析】（1）过点作于点，连接，由可得，证明四边形是矩形，则，根据勾股定理即可求解；
（2）过点作于点，连接，由含的直角三角形的性质可得，证明四边形是矩形，则，，再证，根据相似三角形的性质即可得；
（3）过点作于点，连接，分两种情况：①当时，②当时，分别求解即可．
解：（1）过点作于点，连接，

，，
，
，
，
，
在中，，
，
（负值已舍去），
是的平分线，
，
，
，
，
，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
；
（2）过点作于点，连接，

，，
，
，
是的平分线，，
，
，
，
，
，
，
，，
四边形是矩形，
，
，
，，
，
；
（3）①当时，过点作于点，连接，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
（负值舍去），
；
②当时，连接，

，，
，
，
，
，
，
，
；
综上，的值为或．
【点评】本题是相似综合题，考查了矩形的判定和性质，勾股定理，含的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，需要利用参数解决问题，属于中考压轴题．