2023年浙江省台州市仙居县中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2023年浙江省台州市仙居县中考数学一模试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年浙江省台州市仙居县中考数学一模试卷
一、选择题（每题4分，本题有10小题，共40）.
1．（4分）如图是由四个相同的正方体搭成的立体图形，其主视图是　　

A． B． C． D．
2．（4分）我们可用数轴直观研究有理数及其运算．如图，将物体从点向左平移5个单位到点，可以描述这一变化过程的算式为　　

A． B． C． D．
3．（4分）无理数的大小在　　
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
4．（4分）正边形的一个外角为，则　　
A．9 B．10 C．12 D．14
5．（4分）下列运算正确的是　　
A． B． C． D．
6．（4分）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为　　

A． B． C． D．
7．（4分）初三（9）班拍合照时，最后一排10位同学的身高（单位：分别为，，，当他们站到一排高度相等的桌子上，头顶离地高度（单位：分别为，，．对比两组数据，下列统计量中不发生变化的是　　
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
8．（4分）用破损量角器按如图方式测量的度数，让的顶点恰好在量角器圆弧上，两边分别经过圆弧上的，两点．若点，对应的刻度分别为，，则的度数为　　

A． B． C． D．
9．（4分）如图，在正方形中，点，分别在边，上，且，作于点，交于点．若，，则的长为　　

A．4 B．3 C．2 D．1
10．（4分）若反比例函数的图象经过点，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，本题有6小题，共30分）
11．（5分）因式分解：　　．
12．（5分）将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，掷一次，朝上一面点数是1的概率为 　　．
13．（5分）如图，中，，平分，点为中点，则的长为 　　．

14．（5分）关于某个四边形的三个特征描述：①对角线互相垂直；②对角线互相平分；③一组邻边相等．选择其中两个作为条件，另一个作为结论．若该命题是假命题，则选择的条件是 　　．（填序号）
15．（5分）公元前6世纪，古希腊学者泰勒斯用图1的方法巧测金字塔的高度．如图2，小明仿照这个方法，测量圆锥形小山包的高度，已知圆锥底面周长为．先在小山包旁边立起一根木棒，当木棒影子长度等于木棒高度时，测得小山包影子长为（直线过底面圆心），则小山包的高为 　　取．

16．（5分）若二次函数的图象经过点，，，且，则下列结论：
①；②；③；④中，一定成立的有 　　．（填序号）
三、解答题（本题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22，23题每题12分，第24题14分，共80分）
17．（8分）计算：．
18．（8分）小红解答下题“先化简，再求值：，其中”的过程如下：
解：原式，当时，原式．
小红的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的答案．
19．（8分）小波某时刻想喝水，饮水机显示水温为，为预测水烧开的时间，小波每隔1分钟观察一次水温，得到数据如表．
等待时间分钟
0
1
2
3

水温
30
40
50
60

（1）求水温（单位：关于等待时间（单位：分钟）的函数解析式．
（2）求小波喝到开水的最短等待时间．
20．（8分）图1是一款笔记本电脑支架，它便于电脑散热，减轻使用者的颈椎压力．图2是支架与电脑底部的接触面以及侧面的抽象图．已知，互相平分于点，，若，．

（1）求的长．
（2）求点到底架的高．（结果精确到；参考数据：，，
21．（10分）共15名应聘者到广告公司竞聘设计师，考核分笔试、面试两个阶段，考核成绩均采用10分制．笔试成绩前8名进入面试．分别赋予笔试、面试成绩一定的权重，得到综合成绩，择优录取．15名应聘者的笔试成绩如表，其中应聘者小金知道自己的笔试成绩为7分．
笔试成绩分
2
3
4
5
6
7
8
9
频数
1
1
1
4
2
3
2
1
（1）①求15名应聘者的笔试平均成绩；
②小金想确定能否进入面试，应关注15名应聘者笔试成绩的平均数、中位数中的哪一个？
（2）小金最后的综合成绩仅为3.4分，请作出合理分析．
22．（12分）如图，为线段上一点，，，射线于点，为射线上一点，连接，．
（1）【发现、提出问题】①当时，求的值；
②小亮发现取不同值时，的值存在一定规律，请猜想该规律 　　．
（2）【分析、解决问题】请证明你的猜想．
（3）【运用】当时，的周长为 　　．

23．（12分）如图1，点光源射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，胶片与屏幕的距离为定值，设点光源到胶片的距离长为（单位：，长为（单位：，当时，．

（1）求的长．
（2）求关于的函数解析式，在图2中画出图象，并写出至少一条该函数性质．
（3）若要求不小于，求的取值范围．
24．（14分）如图，正方形的边长为，点在上，．正方形内存在匀强磁场，某种带电粒子以速度（单位：沿着方向从点射入匀强磁场，在磁场中沿逆时针方向作匀速圆周运动，该圆与相切，半径（单位：与满足关系为常数）．如图1，当时，粒子恰好从点处射出磁场．

（1）①求常数的值；
②若或6，粒子在磁场中的运动时间分别为，，请比较，的大小．
（2）如图2，若粒子从边上一点射出磁场，请用无刻度的直尺和圆规画出粒子运动的弧形路径的圆心（保留作图痕迹）．
（3）该种粒子能否从边上射出磁场？若能，请求出的取值范围；若不能，请写出理由．


参考答案
一、选择题（每题4分，本题有10小题，共40分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．（4分）如图是由四个相同的正方体搭成的立体图形，其主视图是　　

A． B． C． D．
【分析】根据主视图是从正面看到的图形做出判断即可．
解：根据题意知，几何体的主视图为：

故选：．

【点评】本题考查了几何体的三视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
2．（4分）我们可用数轴直观研究有理数及其运算．如图，将物体从点向左平移5个单位到点，可以描述这一变化过程的算式为　　

A． B． C． D．
【分析】点向左平移5个单位到点相当于从2向右平移了个单位，因此表示为即可．
解：物体从点向左平移5个单位到点，即．
故选：．
【点评】此题考查有理数的混合运算，解题关键是看清平移的方向和距离．
3．（4分）无理数的大小在　　
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【分析】运用算术平方根知识进行估算．
解：，
，
故选：．
【点评】此题考查了无理数的估算能力，关键是能准确理解并运用算术平方根知识进行求解．
4．（4分）正边形的一个外角为，则　　
A．9 B．10 C．12 D．14
【分析】利用多边形的外角和即可求出答案．
解：．
故选：．
【点评】主要考查了多边形的外角和定理，任何一个多边形的外角和都是，用外角和求正多边形的边数直接让360度除以外角即可．
5．（4分）下列运算正确的是　　
A． B． C． D．
【分析】利用同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的除法的法则对各项进行运算即可．
解：、，故符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
故选：．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
6．（4分）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为　　

A． B． C． D．
【分析】过顶点作直线支撑平台，直线将（2分）成两个角即、，根据平行线的性质即可求解．
解：如图所示，过顶点作直线支撑平台，直线将分成两个角和，

工作篮底部与支撑平台平行、直线支撑平台，
直线支撑平台工作篮底部，
、，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
7．（4分）初三（9）班拍合照时，最后一排10位同学的身高（单位：分别为，，，当他们站到一排高度相等的桌子上，头顶离地高度（单位：分别为，，．对比两组数据，下列统计量中不发生变化的是　　
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【分析】根据平均数和方差的特点，结合题意：他们站到一排高度相等的桌子上，相当于一组数都加上同一个不等于0的常数后，方差不变，平均数，中位数，众数改变，即可得出答案．
解：最后一排10位同学的身高（单位：分别为，，，，当他们站到一排高度相等的桌子上，头顶离地高度（单位：分别为，，，．相当于一组数都加上同一个不等于0的常数后，所以方差不变，平均数，中位数，众数改变，
故选：．
【点评】本题考查了方差和平均数，中位数，众数，一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，掌握平均数、中位数，众数、方差的特点是本题的关键．
8．（4分）用破损量角器按如图方式测量的度数，让的顶点恰好在量角器圆弧上，两边分别经过圆弧上的，两点．若点，对应的刻度分别为，，则的度数为　　

A． B． C． D．
【分析】如图，连接，，，，设的直径为，可求出，即可得，进一步可求出．
解：连接，，，，设的直径为，如图，

，，
，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了圆周角定理，从实际问题中抽象出圆周角定理模型是解题的关键．
9．（4分）如图，在正方形中，点，分别在边，上，且，作于点，交于点．若，，则的长为　　

A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】根据有两个角相等的三角形相似可得，因为，所以与的相似比为，由相似三角形对应线段成比例，列比例式即可求解．
解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
10．（4分）若反比例函数的图象经过点，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
【分析】将点代入，求出的值，再根据，即可求出的取值范围．
解：反比例函数的图象经过点，
，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了反比例函数，熟知将点坐标代入解析式左右相等是解题的关键．
二、填空题（每题5分，本题有6小题，共30分）
11．（5分）因式分解：　　．
【分析】根据提公因式法因式分解即可．
解：，
故答案为：．
【点评】本题考查了提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
12．（5分）将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，掷一次，朝上一面点数是1的概率为 　　．
【分析】根据题意可知存在6种可能性，其中点数为1的可能性有1种，从而可以写出相应的概率．
解：由题意可得，
掷一次有6种可能性，其中点数为1的可能性有1种，
掷一次，朝上一面点数是1的概率为，
故答案为：．
【点评】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
13．（5分）如图，中，，平分，点为中点，则的长为 　2　．

【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可知点是的中点，是的中位线，根据中位线性质即可求出的长．
解：，
是等边三角形，
平分，
点是的中点，
点是的中点，
是的中位线，
．
故答案为：2．
【点评】本题考查了等腰三角形三线合一的性质、三角形中位线的性质，正确应用这些性质是解题的关键．
14．（5分）关于某个四边形的三个特征描述：①对角线互相垂直；②对角线互相平分；③一组邻边相等．选择其中两个作为条件，另一个作为结论．若该命题是假命题，则选择的条件是 　①③　．（填序号）
【分析】根据平行四边形的判定及性质、菱形的判定及性质逐一判定即可．
解：①②为条件，③为结论时为真命题：
对角线互相垂直且对角线互相平分的四边形是菱形，菱形的邻边相等；
②③为条件，①为结论时为真命题：
对角线互相平分的四边形为平行四边形，一组邻边相等的平行四边形为菱形，菱形的对角线互相垂直；
①③为条件，②为结论时为假命题：
由对角线互相垂直及一组邻边相等不能推出对角线互相平分；
故答案为：①③．
【点评】本题考查了平行四边形的判定及性质、菱形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
15．（5分）公元前6世纪，古希腊学者泰勒斯用图1的方法巧测金字塔的高度．如图2，小明仿照这个方法，测量圆锥形小山包的高度，已知圆锥底面周长为．先在小山包旁边立起一根木棒，当木棒影子长度等于木棒高度时，测得小山包影子长为（直线过底面圆心），则小山包的高为 　33　取．

【分析】此题为平行投影，即可得相似三角形，那么可得到，根据圆锥底面周长求出圆锥底面圆的半径，最后推论出高．
解：连接，过作于，
由题意可知，，
，
圆锥底面周长为．
，解得，
，
，
小山包的高为．
故答案为：33．

【点评】此题考查平行投影，解题关键是根据通过三角形相似，将小山包的高转化为的长进行求解．
16．（5分）若二次函数的图象经过点，，，且，则下列结论：
①；②；③；④中，一定成立的有 　①②④　．（填序号）
【分析】由，可知对称轴为直线，由，可知开口向上，时，随增大而增大，根据已知条件可得，根据对称轴为直线，可知与的一个交点在5和6之间，与的另一个交点在2和3之间，即可得出，，即可得出结论．
解：，
对称轴为直线，
，
开口向上，
时，随增大而增大，
的图象经过点，，
，
，
，
故①一定成立，
与的一个交点在5和6之间，
对称轴为，
与的另一个交点在2和3之间，
的图象经过点，
或，
故②③一定成立，
综上所述，一定成立的有①②④．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
三、解答题（本题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22，23题每题12分，第24题14分，共80分）
17．（8分）计算：．
【分析】先分别求算术平方根，绝对值，乘方，然后进行加减运算即可．
解：原式．
【点评】本题考查了算术平方根，绝对值，乘方．解题的关键在于正确的运算．
18．（8分）小红解答下题“先化简，再求值：，其中”的过程如下：
解：原式，当时，原式．
小红的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的答案．
【分析】根据分式的加减运算进行化简，然后将的值代入原式即可求出答案．
解：小红的解答错误．
原式


，
当时，
原式．
故正确答案是4
【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
19．（8分）小波某时刻想喝水，饮水机显示水温为，为预测水烧开的时间，小波每隔1分钟观察一次水温，得到数据如表．
等待时间分钟
0
1
2
3

水温
30
40
50
60

（1）求水温（单位：关于等待时间（单位：分钟）的函数解析式．
（2）求小波喝到开水的最短等待时间．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）当时求出自变量的值即可．
解：（1）令水温（单位：关于等待时间（单位：分钟）的函数解析式为，
将、代入可得：
，
解得：，
水温关于等待时间的函数解析式为：．

（2）当时，，
解得：，
最短等待时间为7分钟．
【点评】本题考查了一次函数的实际应用、待定系数法求解析式等知识点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
20．（8分）图1是一款笔记本电脑支架，它便于电脑散热，减轻使用者的颈椎压力．图2是支架与电脑底部的接触面以及侧面的抽象图．已知，互相平分于点，，若，．

（1）求的长．
（2）求点到底架的高．（结果精确到；参考数据：，，
【分析】（1）根据题意得出，由，证明与均是正三角形，即可得出答案；
（2）在中，利用正弦定义求解即可．
解：（1），，互相平分于点，
，
，
与均是正三角形，
；
（2）在中，，
即，
答：点到底架的高为．
【点评】本题主要考查了等边三角形的判断和性质，解直角三角形，对顶角性质，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，准确计算．
21．（10分）共15名应聘者到广告公司竞聘设计师，考核分笔试、面试两个阶段，考核成绩均采用10分制．笔试成绩前8名进入面试．分别赋予笔试、面试成绩一定的权重，得到综合成绩，择优录取．15名应聘者的笔试成绩如表，其中应聘者小金知道自己的笔试成绩为7分．
笔试成绩分
2
3
4
5
6
7
8
9
频数
1
1
1
4
2
3
2
1
（1）①求15名应聘者的笔试平均成绩；
②小金想确定能否进入面试，应关注15名应聘者笔试成绩的平均数、中位数中的哪一个？
（2）小金最后的综合成绩仅为3.4分，请作出合理分析．
【分析】（1）①平均数就是将所有数加起来除个数；
②根据中位数的概念解答即可；
（2）从“面试成绩的权重高于笔试成绩”．或从“具体的笔试、面试的成绩与权重”进行分析即可．
解：（1）①平均数为：（分；
②因为笔试成绩前8名进入面试，总共15名应聘者，中位数即第八位的成绩，因此关注中位数即可；
（2）因为分别赋予笔试、面试成绩一定的权重，得到综合成绩，因此当面试成绩所占权重高于笔试成绩时会出现得到3.4分的情况．
【点评】此题考查数据的分析，解题关键是分清算术平均数和加权平均数．
22．（12分）如图，为线段上一点，，，射线于点，为射线上一点，连接，．
（1）【发现、提出问题】①当时，求的值；
②小亮发现取不同值时，的值存在一定规律，请猜想该规律 　　．
（2）【分析、解决问题】请证明你的猜想．
（3）【运用】当时，的周长为 　　．

【分析】（1）①根据勾股定理先求出、的值，再计算即可得出答案；
②根据勾股定理可猜想为定值12；
（2）设，根据勾股定理表示出、再代入即可得出答案；或根据垂直及勾股定理即可得证；
（3）根据及平方差公式即可得出，再根据线段的和差即可得出答案．
解：（1）①，，，，
，，
．

②当取不同值时，为定值12，
故答案为：；

（2）设，
则有，，
．
，
，，
，
；

（3）由（1）得，，
即，
，
，
，，
，
的周长为．
故答案为：18．
【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了勾股定理、平方差公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
23．（12分）如图1，点光源射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，胶片与屏幕的距离为定值，设点光源到胶片的距离长为（单位：，长为（单位：，当时，．

（1）求的长．
（2）求关于的函数解析式，在图2中画出图象，并写出至少一条该函数性质．
（3）若要求不小于，求的取值范围．
【分析】（1）因为光源与胶片组成的三角形与光源与投影后的图象组成的三角形相似，所以可用相似三角形的相似比解答；
（2）将的值代入解析式求得函数解析式，画出图象，总结函数的增减性；
（3）求出当时的取值范围即可．
解：（1），
，
，
，
解得，
答：的长为；
（2）由（1）得，，
，
或，

性质：当时，随的增大而减小，
注：写出其他性质，只要合理均可给分．
（3）由，，
则，
解得，
的取值范围为：．
【点评】本题考查的是相似三角形的运用，求函数的解析式，画函数的图象，求不等式的解集，解答此题的关键是找出相似三角形，利用三角形对应高线的比等于相似比解答．
24．（14分）如图，正方形的边长为，点在上，．正方形内存在匀强磁场，某种带电粒子以速度（单位：沿着方向从点射入匀强磁场，在磁场中沿逆时针方向作匀速圆周运动，该圆与相切，半径（单位：与满足关系为常数）．如图1，当时，粒子恰好从点处射出磁场．

（1）①求常数的值；
②若或6，粒子在磁场中的运动时间分别为，，请比较，的大小．
（2）如图2，若粒子从边上一点射出磁场，请用无刻度的直尺和圆规画出粒子运动的弧形路径的圆心（保留作图痕迹）．
（3）该种粒子能否从边上射出磁场？若能，请求出的取值范围；若不能，请写出理由．
【分析】（1）利用公式直接代值求解即可；
（2）画出弧形路径的其中一条弦的垂直平分线与直线的交点即可；
（3）作辅助线，构造直角三角形，设未知数，利用勾股定理列方程求解即可．
解：（1）①半径．
，
．
②，，
；
（2）


（3）假设粒子从点射出磁场时，弧形路径的半径为，
则有，
解得．
此时，．
若粒子从边上射出磁场，应满足．

【点评】此题考查圆的综合题型，解题关键是三角形外接圆的半径即三边垂直平分线的交点．