第55讲 抛物线的定义和性质-2023届高考数学二轮复习经典结论微专题

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第55讲、抛物线的定义和性质通关二、扡物线焦点弦性质已知是抛物线的焦点弦,为抛物线的焦点,垂直于抛物线的准线于两点,如图,记直线的倾斜角为,则有以下结论:(1)(2);(3);(4);(5)以为直径的圆与轴相切;(6)以为直径的圆与抛物线准线相切;(7)三点共线.【证明】(1)因为的焦点,设直线方程为由因此,总有成立.所以又因为,所以,所以由方程(1)知,所以,将(3)代入(2)得.当不存在时,,.(3)如图,,又因为代人上式得(5)设的中点为,则,故点到轴的距离,故以为直径的圆与轴相切.(6)设的中点为,分别过作准线的垂线,垂足为,则所以以为直径的圆与准线相切.(7)由题意知,,因为,结合,有,所以又与都经过同一点,所以三点共线结论一、标准方程对于拋物线,焦点坐标准线方程对于拋物线,焦点坐标,准线方程对于抛物线焦点坐标,准线方程对于抛物线,焦点坐标,准线方程【例1】抛物线的焦点坐标为（     ） A. B. C. D.【变式】拋物线的焦点坐标为（     ） A. B. C. D.结论二、抛物线焦半径抛物线上任意一点到焦点的距离称为焦半径.有以下结论:(1)对于拋物线;(2)对于拋物线;(3)对于抛物线;(4)对于拋物线【例2】若抛物线上的点到焦点的距离为10,则点到轴的距离是（     ） A.6 B.8 C.9 D.10【变式】如果是抛物线上的点,它们的横坐标依次为,是抛物线的焦点,若,则______.结论三、抛物线定义拋物线上点到焦点的距离等于其到准线的距离【例3】是抛物线上的点,是抛物线的焦点,则以为直径的圆与轴位置关系为（     ） A.相交 B.相离 C.相切 D.不确定【变式】 过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于两点,作垂直于抛物线的准线,垂足分别是,已知线段的长度分别是,那么_________. 结论四、的几何意义已知拋物线焦点到顶点的距离为焦点到准线的距离为【例】4抛物线上的动点到其焦点的距离的最小值为1,则（     ） A. B.1 C.2 D.4【变式】已知是抛物线的焦点,是上一点,的延长线交轴于点.若为的中点,则_________.   结论五、抛物线的通径已知是过抛物线的焦点的弦，设直线的倾斜角为，当轴()时，称弦为通径.通径是过焦点的所有弦中最短的，其长度为.【例5】 抛物线与过焦点且垂直于对称轴的直线交于两点，则（     ）.A.          B.C.          D. 【变式】 已知直线过抛物线的焦点，且与的对称轴垂直，与交于两点，，为的准线上一点，则的面积为（     ）.A.18                B.24                 C.36               D.48结论六、抛物线最值1.将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；2.将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中，垂线段最短”解决.【例6】已知点是抛物线上的动点，抛物线的焦点为，点，则的最小值是（     ）.A.              B.4              C.              D.5【变式】已知是抛物线上的一个动点，则点到直线和的距离之和的最小值是（     ）.A.1               B.2               C.3               D.4结论七、定点弦横纵坐标乘积为定值已知直线过定点，与抛物线交于两点，若 ，，则，，当时，，.  【例7】如图，抛物线，圆，其中，直线经过的焦点，依次交于四点，则的值为（     ）.A.               B.               C.               D.【变式】过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，若，则直线的斜率为（     ）.A.               B.               C.               D.结论八、焦半径的倾斜角表示1.已知是过抛物线的焦点的弦，为抛物线的焦点，在轴下方，则，(为直线的倾斜角)；2.已知是过抛物线的焦点的弦，为抛物线的焦点，在轴左侧，则，(为直线的倾斜角).【例8】若是抛物线上一点，且在轴上方，是抛物线的焦点，直线的倾斜角为60°，则=__________. 【变式】 过抛物线的焦点作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于两点(在轴左侧)，则__________.结论九、抛物线焦半径比例模型1.已知抛物线，经过其焦点的直线交抛物线于两点，直线的倾斜角为，，满足：或(其中) ；2.已知抛物线，经过其焦点的直线交抛物线于两点，直线的倾斜角为，，满足：或(其中) .【例9】已知是抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点，设，则与的比值等于__________.【变式】 过抛物线的焦点作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于两点(在轴左侧)，__________.结论十、焦点弦长的倾斜角表示1.已知是过抛物线的焦点的弦，为抛物线的焦点，则（为直线的倾斜角）；2.已知是过抛物线的焦点的弦，为抛物线的焦点，则（为直线的倾斜角）.【例10】斜率为的直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则=__________.  【变式】过抛物线的焦点作倾斜角为45°的直线交抛物线于两点，若线段的长为8，则=__________.     结论十一、焦点三角形面积已知是过抛物线的焦点的弦，为抛物线的焦点，则(为直线的倾斜角).【例11】设为抛物线的焦点，过且倾斜角为30°的直线交于两点，为坐标原点，则的面积为（     ）.A.            B.            C.            D.【变式】 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点(在第一象限)，为坐标原点，若的面积为，则的值为（     ）.A.          B.        C.          D.结论十二、焦点弦与准线构造梯形面积已知是过抛物线的焦点的弦，过分别作准线的垂线，垂足分别为 ，则四边形的面积为(为直线的倾斜角).【例12】已知过抛物线的焦点且倾斜角为60°的直线交抛物线于两点，过分别作准线的垂线，垂足分别为，则四边的面积为（     ）.A.          B.          C.          D.【变式】 已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，过分别作准线的垂线，垂足分别为，若，则四边的面积为__________.    结论十三、焦半径倒数之和为定值已知是过抛物线的焦点的弦，为抛物线的焦点，则.【例13】 过抛物线的焦点作一直线交抛物线于两点，若线段与的长分别是，则=__________.【变式】已知以为焦点的抛物线上的两点满足，则弦的中点到准线的距离为_________. 结论十四、抛物线的中点弦问题直线与抛物线相交于两点，若为的中点，则，；直线与抛物线相交于两点，若为的中点，则，.【例14】已知抛物线，以为中点作抛物线的弦，则这条弦所在直线的方程为（     ）.A.                    B.C.                    D.  【变式】已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为，直线与抛物线相交于两点.若的中点为，则直线的方程为_________. 结论十五、垂直过定点问题1.直线与抛物线相交于，两点，若，则过定点；2.直线与抛物线相交于，两点，若，则过定点.【例15】抛物线的弦的端点与顶点的连线成直角时，证明直线过定点；反之，抛物线的弦过定点时，证明.【变式】直线交抛物线于，两点，为抛物线的顶点，，则的值为__________.