第44讲 共线、共面与截面-2023届高考数学二轮复习经典结论微专题

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第44讲 共线、共面与截面【知识通关】通关一、公理1(1)自然语言：如果一条直线.上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.(2)图形语言：如图所示.(3)符号语言：，，且，(4)作用：①检验一个面是否是平面的依据；②判断直线是否在平面内的依据；③判断点是否在平面内的依据.通关二、公理2(1)自然语言：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.(2)图形语言：如图所示.(3)符号语言：，，不共线有且只有一个平面，使得，，.(4)作用：①确定一个平面的依据；②判断两个平面重合的依据；③证明点、线共面的依据.由公理2，结合初中所学的“两点确定一条直线”，易得以下推论：推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面.推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.要点诠释：三点不一定能确定一个平面.当三点共线时，过这三点的平面有无数个，所以必须是不在同一条直线上三点才能确定一个平面.通关三、公理3(1)自然语言：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.(2)图形语言：如图所示.(3)符号语言：,且,且.(4)作用：①判断两个平面是否相交的依据；②可以找到两个平面的交线；③可以判定点在直线上.要点诠释：平面的三公理及其推论是解决立体几何问题的基础和依据,可以解决点线共面问题、点共线和线共点问题,也是研究立体几何逻辑推理的基础,是将空间几何问题转化为平面几何问题的依据.[结论第讲]结论一、共点、共线问题1.如果两个相交平面有两个公共点,那么过这两点的直线就是它们的交线；2.如果两个相交平面有三个公共点,那么这三点共线；3.如果两个平面相交,那么一个平面内的直线和另一个平面的交点必在两个平面的交线上.【例1】已知正方体，，分别为，的中点,，.(1)若交平面于点,（2）求证:,,三点共线【解析】（1）正方体中，记平面为,平面为.因为,所以,，，，所以点是与的公共点.同理,点也是与的公共点.所以.又由可知,，，，所以,即，，三点共线.(2)因为延长，，则与必相交,设交点为.因为,所以点在面与面的交线上.又平面,由公理3可知在直线上,所以，，，三线共点.【变式】已知空间四边形的对角线是,,点，，,,,分别是,,,,,的中点,求证:三线段,,交于一点且被该点平分.【解析】证明如图，连结EF，FG，GH，HE，因为E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，所以EF//AC// HG，EH//BD//FG，所以四边形EFGH是平行四边形.设EG∩ FH=0 ，则O平分EG ，FH.同理，四边形MFNH是平行四边形.设 MN∩FH = O' ，则O'平分MN，FH.因为点0，0'都平分线段FH，所以О与0'两点重合，所以MN过EC和FH的交点，即三线段EC ， FH ，MN交于一点且被该点平分.结论二、共面问题1.先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内;2.过有关的点、线分别作多个平面，再证明这些平面重合.【例2】正方体ABCD - A1B1C1D1中，E，F， G ，H ，K，L分别是DC ，DD1，A1D1 ，A1 B1，BB1 ，BC的中点，求证：这六点共面.【解析】证明连结BD和KF ，因为E，L是CD，CB的中点，所以EL// BD.又因为矩形BDD1B1中，KF//BD，所以KF//EL，所以KF ，EL可确定平面，从而E，F，K，L在同一个平面内，同理EH//KL，故E，H ，K，L共面于平面β.又因为平面与平面β都经过不共线的三点E，K，L，故平面与平面β重合，所以E，K，L，F ，H共面于平面.同理可证G∈，所以E，K，L，F， H，G六点共面.【变式】 如图，a∩b=A，a∩c =B，a∩d = F ，b∩c = C，c∩d = D ， b∩d=E，求证:a ，b， c ，d共面.【解析】证明因为A，B，C三点不共线，所以A，B，C三点确定一个平面，设为.又A∈ ，B∈ ，所以a.A ∈ b，C∈b，所以b.B∈c，C∈c，所以c ，所以a，b ， c都在内.又D∈c，E∈b，所以D∈，E∈.因为D∈d，E∈d ，所以d，所以a，b，c，d共面.结论三、截面问题画截面的重点是画出所要求的截面与已知立体图形的各个面的交线(前提是相交)，只需分别找到截面与各面的两个公共点即可.主要的依据有:三个平面两两相交，那么它们的交线交于一点或者两两平行;两个平行平面与第三平面相交，则它们的交线平行.【例3】(1)如图( a) ，求作经过棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1和CC1的中点E，F及点D1的截面，并求该截面与正方体的下底面以及正方体侧面所围成的几何体的体积.(2)如图(b)，求作经过棱长为1的正方体ABCD -A1B1C1D1的AB和CC1的中点E，F及点D1的截面.【解析】(1)因为D1，E∈平面A1ADD1，所以连结D1E并延长，与DA 延长线交于点P，同理连结D1F并延长，与DC延长线交于点Q，连结PQ，所以△D1PQ为切割平面，过正方体的顶点B(分析见下).因为F，B∈面BCC1B1，连结EB，FB，所以四边形D1EBF就是所求的截面.(分析:其中点B在PQ所在直线上，可通过平面几何知识证明.)在△PDD1中，由于E为AA1中点，EA // DD，，所以A为PD中点，同理C为DQ中点，所以PA =AD =DC= CQ，从而△PAB与△BCQ都是等腰直角三角形，所以LPBA +LABC + LCBQ =180°，P，B，Q共线.由作截面的方法可知，截面过正方体的中心，将正方体平分为两部分，且这两部分关于正方体的中心对称，因此所求的体积为正方体体积的一半，即.(2)因为D ，F∈平面CC1D1D，所以连结D1F并延长，交DC延长线于点G，所以点G∈底面ABCD，又因为点E∈底面ABCD，所以连结GE交BC于M，并延长与DA延长线交于点H，所以点H∈侧面ADD1A1，所以连结D1H ，交AA1于N，△D1GH所在平面为切割平面.又因为N，E∈平面A1ABB1，M，F∈平面BCC1B1，所以连结NE与MF，则五边形D1NEMF即所求作的截面.【变式】如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q，R分别为BC ，AB ，C1D1的中点，求作正方体的过P，Q，R的截面.【解析】 因为P，Q∈平面ABCD ，所以连结PQ并延长，交DA的延长线于N，交DC的延长线于M，又因为R，M ∈平面D1C1CD，所以连结RM交C1C于E，并延长MR与DD1延长线交于点S，因为S，N∈平面ADD1A1，所以连结SN交A1A于F，交A1D1于G，所以△SMN所在平面为切割平面，并且与正方体棱的交点已确定.又因为F，Q∈平面A1ABB1，P，E∈平面BCC1B1，所以连结FQ与PE，则六边形PQFGRE即为所求作的截面.