2022-2023学年江苏省南京市金陵中学高一下学期期中考试数学试卷含答案

这是一份2022-2023学年江苏省南京市金陵中学高一下学期期中考试数学试卷含答案，共21页。试卷主要包含了复数z＝象限，若cs，函数f，锐角△ABC中，等内容，欢迎下载使用。

 金陵中学2022-2023学年第二学期期中考试
高一数学试卷
一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
1．集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{y|y＝sinx，x∈R}，则（　　）
A．A∩B＝B B．A∪B＝B C．A＝B D．∁RA＝B
2．复数z＝（i是虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点位于第（　　）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
3．下列函数中，在区间[，]上单调递增的函数是（　　）
A．y＝cos（x﹣） B．y＝sinx﹣cosx
C．y＝sin（x+） D．y＝|sin2x|
4．若cos（﹣α）＝，则sin2α＝（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
5．利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为0°～90°之间角的三角函数值，而这个范围内的三角函数值又可以通过查三角函数表得到．如表为部分锐角的正弦值，则tan1600°的值为（　　）（小数点后保留2位有效数字）
α
10°
20°
30°
40°
50°
60°
70°
80°
sinα
0.1736
0.3420
0.5000
0.6427
0.7660
0.8660
0.9397
0.9848
A．﹣0.42 B．﹣0.36 C．0.36 D．0.42
6．函数f（x）＝2cosx﹣cos2x，试判断函数的奇偶性及最大值（　　）
A．奇函数，最大值为2 B．偶函数，最大值为2
C．奇函数，最大值为 D．偶函数，最大值为
7．已知均为单位向量，且满足，则的值为（　　）
A． B． C． D．
8．锐角△ABC中，（a﹣b）（sinA+sinB）＝（c﹣b）sinC，若a=3，则b2+c2的取值范围是（　　）
A．（9，18] B．（15，18） C．[9，18] D．[15，18]
二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）
9．已知复数z满足，则下列结论正确的是（　　）
A．复数z的共轭复数为
B．z的虚部为
C．在复平面内z对应的点在第二象限
D．
10. 已知n∈N*，则以3，5，n为边长的钝角三角形的边长，则n的值可以是（）
A 3 B 6 C 7 D 9
11．对于非零向量，下列命题正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
12．设△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c，则下列命题正确的是（ ）
A若a+b=2c，则C＞；
B若a+b＞2c，则C＜；
C若a4+b4＝c4，则C＜；
D若（a2+b2）c2＜2a2b2，则C＞．

三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知向量＝（4，﹣3），＝（x，6），且∥，则实数x的值为　 　．
14．若函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点（x0，0）（x0＞0）成中心对称，则x0的最小值为　 　．
15．若函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点（x0，0）成中心对称，，则x0＝　 　．
16．设△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C．若b2+3a2＝c2，则＝　 　，tanA的最大值是　 　．
四．解答题（共6小题，共70分）
17．（10分）设，已知向量＝，＝，且⊥．
（1）求的值；
（2）求的值．
．
18．（12分）已知函数的最小正周期为π，且点是该函数图象上的一个最高点．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）把函数f（x）的图象向右平移θ个单位长度，得到函数g（x）的图象，g（x）在上是增函数，求θ的取值范围．
19．（12分）如图，扇形AOB所在圆的半径为2，它所对的圆心角为，C为弧的中点，动点P，Q分别在线段OA，OB上运动，且总有OP＝BQ，设，．
（1）若，用，表示，；
（2）求的取值范围．

20．（12分）某地为响应习总书记关于生态文明建设的指示精神，大力开展“青山绿水”工程，造福于民．为此，当地政府决定将一扇形（如图）荒地改造成市民休闲中心，其中扇形内接矩形区域为市民健身活动场所，其余区域（阴影部分）改造为景观绿地（种植各种花草）．已知该扇形OAB的半径为200米，圆心角∠AOB＝60°，点Q在OA上，点M，N在OB上，点P在弧AB上，设∠POB＝θ．
（1）若矩形MNPQ是正方形，求tanθ的值；
（2）为方便市民观赏绿地景观，从P点处向OA，OB修建两条观赏通道PS和PT（宽度不计），使PS⊥OA，PT⊥OB，其中PT依PN而建，为让市民有更多时间观赏，希望PS+PT最长，试问：此时点P应在何处？说明你的理由．

21．（12分）△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝3，bsin＝asinB．
（1）求sinA；
（2）如图，点M为边AC上一点，MC＝MB，∠ABM＝，求△ABC的面积．

22．（12分）如果对于三个数a、b、c能构成三角形的三边，则称这三个数为“三角形数”，对于“三角形数”a、b、c，如果函数y＝f（x）使得三个数f（a）、f（b）、f（c）仍为“三角形数”，则称y＝f（x）为“保三角形函数”．
（1）对于“三角形数”α、2α、，其中，若f（x）＝tanx，判断函数y＝f（x）是否是“保三角形函数”，并说明理由；
（2）对于“三角形数”α、、，其中，若g（x）＝sinx，判断函数y＝g（x）是否是“保三角形函数”，并说明理由．

金陵中学2022-2023学年第二学期期中考试
高一数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{y|y＝sinx，x∈R}，则（　　）
A．A∩B＝B B．A∪B＝B C．A＝B D．∁RA＝B
【解答】解：B＝{y|﹣1≤y≤1}，A＝{﹣1，0，1}；
∴A∩B＝A，A∪B＝B．
故选：B．
2．复数z＝（i是虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点位于第（　　）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
【解答】解：z＝＝＝的共轭复数为在复平面上对应的点位于第一象限．
故选：A．
3．下列函数中，在区间[，]上单调递增的函数是（　　）
A．y＝cos（x﹣） B．y＝sinx﹣cosx
C．y＝sin（x+） D．y＝|sin2x|
【解答】解：结合余弦函数的单调性及函数图象的平移可知y＝cos（x﹣）在区间[，]上不单调，不符合题意；
y＝sinx﹣cosx＝2sin（x﹣），结合正弦函数的单调性及函数图象的平移可知，f（x）在区间[，]上单调递增，符合题意；
y＝sin（x+），结合正弦函数的单调性及函数图象的平移可知在区间[，]上单调递减，不符合题意；
结合正弦函数的图象变换可知y＝|sin2x|在区间[，]上单调递减，不符合题意．
故选：B．
4．若cos（﹣α）＝，则sin2α＝（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
【解答】解：法1：∵cos（﹣α）＝，
∴sin2α＝cos（﹣2α）＝cos2（﹣α）＝2cos2（﹣α）﹣1＝2×﹣1＝﹣，
法2：∵cos（﹣α）＝（sinα+cosα）＝，
∴（1+sin2α）＝，
∴sin2α＝2×﹣1＝﹣，
故选：D．
5．利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为0°～90°之间角的三角函数值，而这个范围内的三角函数值又可以通过查三角函数表得到．如表为部分锐角的正弦值，则tan1600°的值为（　　）（小数点后保留2位有效数字）
α
10°
20°
30°
40°
50°
60°
70°
80°
sinα
0.1736
0.3420
0.5000
0.6427
0.7660
0.8660
0.9397
0.9848
A．﹣0.42 B．﹣0.36 C．0.36 D．0.42
【解答】解：tan1600°＝tan（4×360°+160°）＝tan160°＝﹣tan20°＝﹣＝﹣＝﹣≈﹣0.36．
故选：B．
6．函数f（x）＝2cosx﹣cos2x，试判断函数的奇偶性及最大值（　　）
A．奇函数，最大值为2 B．偶函数，最大值为2
C．奇函数，最大值为 D．偶函数，最大值为
【解答】解：由题意，f（﹣x）＝cos（﹣x）﹣cos（﹣2x）＝cosx﹣cos2x＝f（x），所以该函数为偶函数，
又f（x）＝2cosx﹣cos2x＝﹣2cos2x+2cosx+1＝﹣2（cosx﹣）2+，
所以当cosx＝时，f（x）取最大值．
故选：D．
7．已知均为单位向量，且满足，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由，则，
同理，
又＝1，
则，
＝＝，
故选：B．
8．锐角△ABC中，（a﹣b）（sinA+sinB）＝（c﹣b）sinC，若a=3，则b2+c2的取值范围是（　　）
A．（9，18] B．（15，18） C．[9，18] D．[15，18]
【解答】解：∵（a﹣b）（sinA+sinB）＝（c﹣b）sinC，由正弦定理可得：（a﹣b）（a+b）＝（c﹣b）c，化为b2+c2﹣a2＝bc．
由余弦定理可得：cosA＝＝＝，
∴A为锐角，可得A＝，
∵3，
∴由正弦定理可得：
∴可得：b2+c2＝（2sinB）2+[2sin（﹣B）]2＝3+2sin2B+sin2B＝1-2cos（2B﹣），
∵B∈（，），可得：2B﹣∈（，），
∴sin（2B﹣）∈（，1]，可得：b2+c2＝4+2sin（2B﹣）∈（15，18]．
故选：D．
二．多选题（共4小题）
9．已知复数满足z1+z2=3-i, z1-z2=5+3i，则（　　）
A．z1=4+i
B．|z2|=
C．2z1+z2为纯虚数-
D．z1.z2=-2+9i
【解答】解：因为z1+z2=3-i, z1-z2=5+3i，，所以z1=4+i，z2=-1-2i故A正确；
对于B，|z2|=故B正确；
对于D，z1.z2=（z1=4+i）（-1-2i）=-2-9i，，故D错误．
故选：AB．
10. 已知n∈N*，则以3，5，n为边长的钝角三角形的边长，则n的值可以是（）
A 3 B 6 C 7 D 9
【解答】解：钝角三角形中，其中一边的平方大于另两边的平方和，
由题意，当5为钝角三角形的最大边时，有：32+n2＜52，解得：0＜n＜4，由三角形三边关系可得，得2＜n＜8，所以2＜n＜4，由于n∈N*，此时，n＝3；
当n为钝角三角形的最大边时，有：32+52＜n2，解得：＜n，
由三角形三边关系可得，得2＜n＜8，
所以，由于n∈N*，此时，n＝6，7；
故答案为：BC．

11．对于非零向量，下列命题正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【解答】解：对于A选项：若，则，故A选项错误；
对于B选项：若，则，故0＝0满足，故B选项错误；
对于C选项：若＝0，则不可说明，故C选项错误．
对于D选项：若，则，化简得，故D选项正确；
故选：BD．
12．设△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c，则下列命题正确的是（ ）
A若a+b=2c，则C＞；
B若a+b＞2c，则C＜；
C若a4+b4＝c4，则C＜；
D若（a2+b2）c2＜2a2b2，则C＞．
【解答】解：对于A，若a+b=2c，
根据余弦定理，可得cosC＝≥，
结合C为三角形的内角，可得C>，故正确；
对于B，若a+b＞2c，
根据余弦定理，可得c2＝a2+b2﹣2abcosC，
∴4c2＝4（a+b）2﹣8ab（1+cosC）＜（a+b）2，
可得3（a+b）2＜8ab（1+cosC），
结合2≤a+b，得到12ab≤3（a+b）2，
∴12ab＜8ab（1+cosC），解得cosC＞，结合C为三角形的内角，可得C＜，故正确；
对于C，若a4+b4＝c4，则（a2+b2）2＝c4+2a2+b2＞c4，
∴a2+b2＞c2，可得cosC＝＞0，得C＜，故正确；
对于D，取a＝b＝2，c＝1，可得（a+b）c＜2ab、（a2+b2）c2＜2a2b2成立，
但C为最小角，必定是锐角且小于，故C＞与C＞圴不正确，得D是错误
故选ABC
三．填空题（共4小题）
13．已知向量＝（4，﹣3），＝（x，6），且∥，则实数x的值为　﹣8　．
【解答】解：∵量＝（4，﹣3），＝（x，6），且∥，
则4×6﹣（﹣3）x＝0．
解得：x＝﹣8．
故答案为：﹣8．
14．若函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点（x0，0）（x0＞0）成中心对称，则x0的最小值为　　．
【解答】解：设函数f（x）的周期为T，由已知，故T＝π，所以ω＝2．
因为该函数图象关于点（x0，0）成中心对称，
所以，
又x0∈（0，+∞），
所以．
故答案是：．
15．若函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点（x0，0）成中心对称，，则x0＝　　．
【解答】解：∵函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，
∴＝π，
∴ω＝2
∴f（x）＝sin（2x+）．
∵f（x）的图象关于点（x0，0）成中心对称，
∴f（x0）＝0，即sin（2x0+）＝0，
∴2x0+＝kπ，
∴x0＝﹣，k∈Z，
∵x0∈[0，]，
∴x0＝．
故答案为：．
16．设△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C．若b2+3a2＝c2，则＝　﹣2　，tanA的最大值是　　．
【解答】解：设△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C．b2+3a2＝c2，可得C为钝角，
∴b2﹣c2＝﹣3a2，
∴则＝＝＝＝＝﹣2．
∴tanC＝﹣2tanB，
∴tanA＝tan[π﹣（B+C）]＝﹣tan（B+C）＝＝＝．
∵tanB＞0，可得≥2，当且仅当tanB＝时等号成立，
∴tanA＝≤，当且仅当tanB＝时等号成立，
可得tanA的最大值是，
故答案为：﹣2，．
四．解答题（共6小题）
17．设，已知向量＝，＝，且⊥．
（1）求的值；
（2）求的值．
【解答】解：（1）∵＝，＝，且．
∴，
∴，

（2）由（1）得，，
∵，∴，
∴，
则＝＝．
18．已知函数的最小正周期为π，且点是该函数图象上的一个最高点．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）把函数f（x）的图象向右平移θ个单位长度，得到函数g（x）的图象，g（x）在上是增函数，求θ的取值范围．
【解答】解：（1）由已知得A＝2，，
故f（x）＝2sin（2x+φ），所以2sin（）＝2，
故sin（）＝1，得＝，k∈Z，
又|φ|，故k＝0时，即为所求，
故f（x）＝2sin（2x+）．
（2）函数f（x）的图象向右平移θ个单位长度，得g（x）＝2sin[2（x﹣θ）]，
令t＝2x，则y＝g（x）化为y＝2sint，因为，故t∈[，]，
所以g（x）在上是增函数，即y＝2sint在[，]上单调递增，
又因为，所以t∈（，]，仅包含y＝sint的单调递增区间[﹣]，故要使原函数在[0，]上单调递增，
只需，解得，
故所求θ的取值范围是[]．
19．如图，扇形AOB所在圆的半径为2，它所对的圆心角为，C为弧的中点，动点P，Q分别在线段OA，OB上运动，且总有OP＝BQ，设，．
（1）若，用，表示，；
（2）求的取值范围．

【解答】解：（1）由题知△BOC，△AOC均为等边三角形，所以四边形OACB为菱形．
所以，
所以，，
（2）设，则，x∈[0，1]，
∴，，
∴，
∵x∈[0，1]，
∴当，上式最小值为；当x＝0或1时，上式最大值为2，
∴的取值范围．
20．某地为响应习总书记关于生态文明建设的指示精神，大力开展“青山绿水”工程，造福于民．为此，当地政府决定将一扇形（如图）荒地改造成市民休闲中心，其中扇形内接矩形区域为市民健身活动场所，其余区域（阴影部分）改造为景观绿地（种植各种花草）．已知该扇形OAB的半径为200米，圆心角∠AOB＝60°，点Q在OA上，点M，N在OB上，点P在弧AB上，设∠POB＝θ．
（1）若矩形MNPQ是正方形，求tanθ的值；
（2）为方便市民观赏绿地景观，从P点处向OA，OB修建两条观赏通道PS和PT（宽度不计），使PS⊥OA，PT⊥OB，其中PT依PN而建，为让市民有更多时间观赏，希望PS+PT最长，试问：此时点P应在何处？说明你的理由．

【解答】（本题满分为14分）
解：（1）在Rt△PON中，PN＝200sinθ，ON＝200cosθ，
在Rt△OQM中，QM＝PN＝200sinθ，…（2分）
OM＝＝＝，
所以MN＝0N﹣OM＝200cosθ﹣，…（4分）
因为矩形MNPQ是正方形，
∴MN＝PN，
所以200cosθ﹣＝200sinθ，…（6分）
所以（200+）sinθ＝200cosθ，
所以tanθ＝＝＝． …（8分）
（2）因为∠POM＝θ，
所以∠POQ＝60°﹣θ，
∴PS+PT＝200sinθ+200sin（60°﹣θ）＝200（sinθ+cosθsinθ） …（10分）
＝200（sinθ+cosθ）＝200sin（θ+60°），0°＜θ＜60°． …（12分）
所以θ+60°＝90°，即θ＝30°时，PS+PT最大，此时P是的中点． …（14分）
21．△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝3，bsin＝asinB．
（1）求sinA；
（2）如图，点M为边AC上一点，MC＝MB，∠ABM＝，求△ABC的面积．

【解答】解：（1）∵bsin＝asinB，
∴，∴，
由正弦定理，可得，
∵sinB≠0，∴，，
∵，∴，则，
∴＝．
（2）cosA＝，
∵MB＝MC，∴∠MBC＝∠MCB，
∵，∴，则2C＝，
∴sin2C＝＝，
又sin∠ABC＝sin（π﹣C﹣A）＝sin（A+C）＝，
∴在△ABC中，由正弦定理，可得，
∴，c＝，
∴＝×
＝＝．
22．如果对于三个数a、b、c能构成三角形的三边，则称这三个数为“三角形数”，对于“三角形数”a、b、c，如果函数y＝f（x）使得三个数f（a）、f（b）、f（c）仍为“三角形数”，则称y＝f（x）为“保三角形函数”．
（1）对于“三角形数”α、2α、，其中，若f（x）＝tanx，判断函数y＝f（x）是否是“保三角形函数”，并说明理由；
（2）对于“三角形数”α、、，其中，若g（x）＝sinx，判断函数y＝g（x）是否是“保三角形函数”，并说明理由．
【解答】解：（1）设tanα＝p，因为，则，
所以，
＝，
因为，
则，
因为1﹣p2＞0且，
所以﹣p3﹣p2+p＞0，
故f（α），f（2α），f（）能构成三角形，
所以f（x）＝tanx是“保三角形函数”；
（2），
，
当时，sin（）最大，且sinα＞cosα，
故sinα+sin（）＝，
当时，sin（）最大，
sinα+sin（）＝，
综上所述，f（α），f（），f（）能构成三角形，
所以f（x）＝sinx是“保三角形函数”．