2022-2023学年山东省枣庄市第三中学高二下学期3月质量检测考试数学试题含解析

2022-2023学年山东省枣庄市第三中学高二下学期3月质量检测考试数学试题

一、单选题

1．已知函数的导函数为,且，则（    ）

A． B．1 C．2 D．4

【答案】A

【分析】根据导数的概念与瞬时变化率对所求式子化简，即可结合已知得出答案.

【详解】，

故选：A.

2．已知函数，则（    ）

A．－1 B．0 C．－8 D．1

【答案】C

【分析】求导，解得，得到求解.

【详解】解：因为函数，

所以，

则，

解得，

则，

所以，

故选：C

3．已知函数，若对于区间上最大值为M，最小值为N，则（    ）

A．-22 B．-20 C．-18 D．-16

【答案】C

【分析】求出的导数和极值，以及区间端点处的函数值，比较可得最值，即可得到的最大值和最小值，从而得到答案．

【详解】函数的导数为，

令，解得，且为方程的变号根，

所以，为函数的极值点，

因为，，，，

所以在区间，上，，，

所以，

故选：C．

【点睛】本题考查利用导数求三次函数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.

4．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】因为曲线，所以切线过点（4，e2）

∴f′（x）|x=4= e2，

∴切线方程为：y-e2= e2（x-4），

令y=0，得x=2，与x轴的交点为：（2，0），

令x=0，y=-e2，与y轴的交点为：（0，-e2），

∴曲线在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积s=×2×|-e2|=e2.

故选D．

5．已知函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先得到的定义域，由题意得到在上有解，参变分离后得到在上有解，利用配方求出，得到实数的取值范围.

【详解】的定义域为，

由题意得在上有解，

即在上有解，

其中，

故，故实数的取值范围是.

故选：B

6．若函数的极大值点与极小值点分别为a，b，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】利用导数求函数的极值点，再比较选项.

【详解】，当，；

当或时，．

故的极大值点与极小值点分别为，，

则，，所以．

故选：C

7．已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先判断时，在上恒成立；若在上恒成立，转化为在上恒成立．

【详解】∵，即，

（1）当时，，

当时，，

故当时，在上恒成立；

若在上恒成立，即在上恒成立，

令，则，

当函数单增，当函数单减，

故，所以．当时，在上恒成立；

综上可知，的取值范围是，

故选C．

【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析．

8．已知函数与函数的图象上恰有两对关于轴对称的点，则实数的取值范围是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由题意可得对于恰有两个不等式的实根，等价于方程

对于恰有两个不等式的实根，令，可转化为与两个函数图象在有两个不同的交点，对求导判断单调性，作出其函数图象，数形结合即可求解.

【详解】若函数与函数的图象上恰有两对关于轴对称的点，则对于恰有两个不等式的实根，

即对于恰有两个不等式的实根，

可得对于恰有两个不等式的实根，

令，

则与两个函数图象在有两个不同的交点，

，

由可得，由可得，

所以在单调递减，在单调递增，

所以图象如图所示：

当时，，

当时，，

若与两个函数图象在有两个不同的交点，

由图知，

所以实数的取值范围是，

故选：B

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

二、多选题

9．为满足人们对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量与时间的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示，则下列结论中正确的有（    ）

A．在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强

B．在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强

C．在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标

D．甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强

【答案】ABC

【分析】结合甲乙企业污水排放量与时间关系图象，利用曲线在区间的变化率判断企业的治污能力，进而判断各选项的正误即可．

【详解】由题图可知甲企业的污水排放量在时刻高于乙企业，

而在时刻甲、乙两企业的污水排放量相同，

故在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故A正确；

由题图知在时刻，甲企业在该点的切线斜率的绝对值大于乙企业的，故B正确；

在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都低于污水达标排放量，故都已达标，故C正确；

由题意可知，甲企业在，，这三段时间中，在时的污水治理能力明显低于时的，故D错误．

故选：ABC．

10．若函数的图象上存在两个不同的点、，使得曲线在这两点处的切线重合，称函数具有性质.下列函数中具有性质的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】根据题意可知性质指函数的图象上有两个不同点的切线是重合的，分析各选项中函数的导函数的单调性与原函数的奇偶性，数形结合可判断A、B选项的正误；利用导数相等，求解方程，可判断C、D选项的正误.综合可得出结论.

【详解】由题意可得，性质指函数的图象上有两个不同点的切线是重合的，即两个不同点所对应的导数值相等，且该点处函数的切线方程也相等.

对于A选项，，则，导函数为增函数，不存在不同的两个使得导数值相等，所以A不符合；

对于B选项，函数为偶函数，，

令，可得或，如下图所示：

由图象可知，函数在和处的切线重合，所以B选项符合；

对于C选项，设两切点分别为和，则两切点处的导数值相等有：，解得：，令，则，

两切点处的导数，两切点连线的斜率为，则，得，两切点重合，不符合题意，所以C选项不符合；

对于D选项，，设两切点得横坐标分别为和，

则，所以，

取，，则，，

两切点处的导数值为，两切点连线的直线斜率为，

所以两切点处的导数值等于两切点连线的斜率，符合性质，所以D选项符合.

故选：BD.

【点睛】本题考查函数的公切线问题，需抓住两点的导数值相等且等于两点连线的斜率来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

11．函数，以下说法正确的是（    ）

A．函数有零点 B．当时，函数有两个零点

C．函数有且只有一个零点 D．函数有且只有两个零点

【答案】BC

【分析】利用导函数研究函数的单调性，进而得到函数的最值，根据零点存在定理求解即可.

【详解】，定义域，所以，

令解得，令解得，

所以在上单调递减，在上单调递增，，

则的图象如图所示：

故A错误；

又当时，，所以从图像可得，当时，函数有两个零点，B正确；

恒成立，

所以在上单调递减，

又，，所以函数有且只有一个零点，C正确，D错误；

故选：BC

12．已知函数在R上可导且，其导函数满足，，若函数满足，下列结论正确的是（    ）

A．函数在上为增函数 B．是函数的极小值点

C．时，不等式恒成立 D．函数至多有两个零点

【答案】ABD

【解析】求出函数的单调性即得选项正确；，故选项错误；对分类讨论即得选项正确.

【详解】，，

则，

时，，

故在递增，选项正确；

时，，

故在递减，

故是函数的极小值点，故选项正确；

由在递减，则在递减，

由，得时，，

故，故，故选项错误；

若（2），则有2个零点，

若（2），则函数有1个零点，

若（2），则函数没有零点，故选项正确．

故选：ABD

【点睛】方法点睛：函数的零点问题常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得解）；（2）图象法（直接画出函数的图象分析得解）；（3）方程+图象法（令得到，再分析得解）.

三、填空题

13．如图，直线是曲线在处的切线，若，则实数的值是__________.

【答案】3

【分析】利用导数的几何意义，即可求解.

【详解】由图象可知直线过点和，所以直线的斜率，

根据导数的几何意义可知，得.

故答案为：

14．函数在区间上的值域为______.

【答案】

【分析】求出导函数，根据导函数的正负得出原函数的单调性即可求值域.

【详解】由题：，

，

当时，，当时，，

所以在单调递增，在单调递减，

，，

所以当时， 的最大值为，

最小值为，

函数在区间上的值域为.

故答案为：

【点睛】此题考查求函数值域，根据函数的导函数讨论单调性，得出函数的最大值和最小值，进而求出值域.

15．若函数存在单调递增区间，则的取值范围是___.

【答案】

【分析】将题意转化为：，使得，利用参变量分离得到，转化为

，结合导数求解即可．

【详解】，其中，则．

由于函数存在单调递增区间，则，使得，

即，，构造函数，则．

，令，得．

当时，；当时，．

所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，则，

所以，，故答案为．

【点睛】本题考查函数的单调性与导数，一般来讲，函数的单调性可以有如下的转化：

（1）函数在区间上单调递增，；

（2）函数在区间上单调递减，；

（3）函数在区间上存在单调递增区间，；

（4）函数在区间上存在单调递减区间，；

（5）函数在区间上不单调函数在区间内存在极值点．

16．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则___________．

【答案】0或1

【分析】直线与的切点为，与的切点，因直线公切线，故可得两个切点横坐标满足的方程组，解这个方程组可得切点的横坐标的值，从而求出．

【详解】直线与的切点为，与的切点．

故且，消去得到，

故或，故或，故切线为或，所以或者．填或．

【点睛】解决曲线的切线问题，核心是切点的横坐标，因为函数在横坐标处的导数就是切线的斜率.公切线问题，应根据两个函数在切点出的斜率相等且两个切点的连线的斜率就是其中一个切点处切线的斜率来构建关于切点横坐标的方程组．

四、解答题

17．已知函数.

(1)若在处的切线与直线3x－y＋1＝0平行，求a；

(2)当a＝1时，求函数的极值.

【答案】(1)

(2)极小值1，无极大值

【分析】（1）根据导数的几何意义，，求；

（2）利用导数判断函数的单调性，再求函数的极值.

【详解】（1），

由导数的几何意义可知，，即，得.

（2）当时，，

，，

当时，，当时，，

所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以当时，函数取得极小值，无极大值.

18．函数过点.

（1）求函数的单调区间

（2）求函数在区间上的最大值和最小值．

【答案】（1）的增区间为，，减区间为．

（2），

【分析】（1）利用在函数图像得到，再利用导数求出函数的单调区间；

（2）利用（1）中的单调性可求函数在的最值．

【详解】(1)点在函数的图象上，

∴，解得，

∴，∴，

当或时，，当时，．

所以的增区间为，，减区间为．

(2)由(1)可得：函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．

∴，又，，

∴．

【点睛】一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则．

19．已知函数在时有极值0．

(1)求函数的解析式；

(2)记，若函数有三个零点，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出函数的导函数，由在时有极值0，则，两式联立可求常数a，b的值，检验所得a，b的值是否符合题意，从而得解析式；

（2）利用导数研究函数的单调性、极值，根据函数图象的大致形状可求出参数的取值范围.

【详解】（1）由可得，

因为在时有极值0，

所以，即，解得或，

当，时，，

函数在R上单调递增，不满足在时有极值，故舍去，

当，时满足题意，所以常数a，b的值分别为，，

所以．

（2）由（1）可知，

，

令，解得，，

∴当或时，，当时，，

∴的递增区间是和，单调递减区间为，

当时，有极大值；当时，有极小值，

要使函数有三个零点，则须满足，解得．

20．某单位在甲地成立了一家医疗器械公司吸纳附近贫困村民就工，已知该公司生产某种型号医疗器械的月固定成本为20万元，每生产1千件需另投入5.4万元，设该公司一月内生产该型号医疗器械x千件且能全部销售完，每千件的销售收入为万元，已知

(1)请写出月利润y（万元）关于月产量x（千件）的函数解析式；

(2)月产量为多少千件时，该公司在这一型号医疗器械的生产中所获月利润最大？并求出最大月利润（精确到0.1万元）.

【答案】(1)

(2)当月产量为8千件时，该公司在这一型号医疗器械的生产中所获月利润最大，最大月利润为14.1万元

【分析】（1）根据的表达式，去掉成本即可求解月利润，

（2）求导，利用导数求解上的最值，结合基本不等式即可求解 的最值，即可比较求解.

【详解】（1）当时，，

当时，，

（2）①当时，，，

令，可得

当时，，单调递增；当时，，单调递关系；

时，（万元）；

②当时，（万元）（当且仅当时取等号）.

综合①②知，当时，y取最大值14.1，

故当月产量为8千件时，该公司在这一型号医疗器械的生产中所获月利润最大，最大月利润为14.1万元.

21．设函数.

(1)时，求的最小值；

(2)若在恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)把代入后对函数求导，结合导数与单调性的关系可求函数的单调性，进而可求最值；

(2)结合导数研究函数的单调性，然后结合函数的性质可求.

【详解】（1）当时，，，

当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，

故当时，函数取得最小值.

（2），

令，则，

①当时，,函数在上单调递增，，即，

所以在上单调递增，，满足题意；

②当时，由可得，

当时，，函数在上单调递减，

当时，，函数在上单调递增

当时，即，在单调递减，

所以,与恒成立矛盾，故不符合题意.

综上可得,的范围为.

【点睛】方法点睛：确定单调区间的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数，令，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；(3)利用的定义域和实根把函数的定义区间分成若干个小区间；(4)确定在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性

22．已知.

（1）若函数在处取得极值，求实数的值；

（2）若，求函数的单调递增区间；

（3）若，存在正实数，使得成立，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）.

【分析】（1）由题意结合极值的概念可得，解得后，验证即可得解；

（2）求导得，按照、、、分类讨论，求得的解集即可得解；

（3）转化条件得，令，，求导确定的单调性和值域即可得解.

【详解】（1），

∵函数在处取得极值，，解得，

当时，.

∴当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

∴当时，函数在处取得极小值；

（2），

，

令，则或，

①当时，令可得，

∴函数的单调递增区间为；

②当时，令可得或，

∴函数的单调递增区间为；

③当时，在上恒成立，

∴函数的单调递增区间为；

④当时，令可得或，

∴函数的单调递增区间为；

（3），，

，，

整理可得，

令，，

，令，解得，

当时，，单调递减；当时，，单调递增；

∴当时，取得极小值即最小值为，

即，

解得（舍去）或，

的取值范围为.

【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力、逻辑推理能力、分类讨论思想，属于中档题.