2022-2023学年江苏省常州市钟楼区教科院附中七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省常州市钟楼区教科院附中七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（共8小题，共16.0分.）

1.  学校一长方形草地中需修建一条等宽的小路，为了达到“曲径通幽”的效果，下列四种设计方案，其中有一个方案修建小路后剩余草坪面积与其它三个方案不等，它是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  一粒米的质量大约是，这个数字用科学记数法表示为(    )

A.   B.  C.   D.  

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列长度的三根小木棒，不能搭成三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

5.  下列从左到右的变形是分解因式的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  若，，则、的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，的两条中线、交于点，若四边形的面积为，则的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，的角平分线、相交于，，，且于，下列结论：；；；平分其中正确的结论是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（共8小题，共16.0分）

9.  因式分解：          ．

10.  若，，则的值为______．

11.  如果，，，那么、、三数的大小关系为______ 用“”号连接

12.  对于任意有理数、，定义新运算“”，规定，则 ______ ．

13.  若，则代数式为______ ．

14.  关于、的方程组的解满足，则的值为        ．

15.  如图是一长方形纸带，等于，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的的度数是______ 用含的式子表示

16.  如图，在五边形中，，，分别平分，，则的度数是______ ．

三、解答题（共9小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
；
．

18.  本小题分
分解因式：
；
．

19.  本小题分
解方程组：
；
．

20.  本小题分
在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，的三个顶点的位置如图所示现将平移，使点变换为点，点、的对应点分别是点、．
在图中请画出平移后得到的；
在图中画出的边上的高；
若连接、，则这两条线段之间的位置关系是______ ；
线段扫过的面积为______ ．

21.  本小题分
如图，中，是上一点，过作交于点，是上一点，连接若，
求证：；
若，平分，求的度数．

22.  本小题分
如图，在中，，为边上的高，与交于点若，求的度数．

23.  本小题分
填空：______ ；______ ；______ ；
探索中式子的规律，试写出第个等式，并说明第个等式成立．
计算．

24.  本小题分
先阅读后解题：
若满足，求的值．
解：设，，则，，
所以．
请仿照上面的方法求解下面问题：
若满足，求的值．
已知正方形的边长为，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是，分别以、作正方形和正方形，求阴影部分的面积．

25.  本小题分
如图，直线，分别交，于点、，射线、分别从、同时开始绕点顺时针旋转，分别与直线交于点、，射线每秒转，射线每秒转，，分别平分，，设旋转时间为秒．

用含的代数式表示： ______ ， ______ ；
当时， ______
当时，求出的值；
试探索与之间的数量关系，并说明理由；
若的角平分线与直线交于点，的度数是______ ．

答案和解析

1.【答案】 

解：、、三种方案剩余草坪面积都是：长方形的长小路的宽长方形的宽，
而方案的小路的模块比其他三种方案多个以小路的宽度为边长的正方形的面积，
故选：．
根据平移的性质得出修建小路后剩余草坪面积等于矩形的面积小路的面积解答．
本题考查平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应线段平行且相等，对应角相等；本题判断出阴影部分的面积与梯形的面积相等是解题的关键．
 

2.【答案】 

解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

解：，原选项计算错误，此项不符合题意；
B.与不是同类项，不能进行合并，原选项计算错误，此项不符合题意；
C.，原选项计算错误，此项不符合题意；
D.，原选项计算正确，此项符合题意．
故选：．
根据同底数幂乘法运算法则求解，用同类项求解，用积的乘方的运算法则来求解，用幂的乘方来计算求解．
本题主要考查了同底数幂的乘法，同类项，幂的乘方和积的乘方，理解运算法则是解答关键．
 

4.【答案】 

解：、，能构成三角形，不合题意；
B、，能构成三角形，不合题意；
C、，能构成三角形，不合题意；
D、，不能构成三角形，符合题意．
故选：．
根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可知．
本题考查了三角形中三边的关系，其实用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形．
 

5.【答案】 

解：从左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；
B.从左到右的变形属于分解因式，故本选项符合题意；
C.从左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；
D.等式的右边不是整式的积的形式，即从左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；
故选：．
根据分解因式的定义逐个判断即可．
本题考查了分解因式的定义，能熟记分解因式的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，也叫分解因式．
 

6.【答案】 

解：



，
，，
，
即，
．
故选：．
利用作差法和配方法作答即可．
本题考查了配方法的应用，能够运用作差法比较两个数的大小，结合非负数的性质比较大小是解答本题的关键．
 

7.【答案】 

解：如图所示，连接，
的两条中线、交于点，
，
，
是的中线，是的中线，
，，
，
同理可得，，
，
，
故选：．
连接，依据中线的性质，推理可得，进而得出，据此可得结论．
本题主要考查了三角形的中线的性质，关键是掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
 

8.【答案】 

解：因为，
所以，
又因为是的角平分线，
所以，故正确；
无法证明平分，故错误；
因为，
所以，
因为平分，
所以，
所以．
因为，且，
所以，即，
所以，故正确；
因为，，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，故正确．
所以正确的为：，
故选：．
根据平行线、角平分线、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．
本题主要考查的是平行线、角平分线、三角形内角和定理，解题的关键是熟知直角三角形的两锐角互余．
 

9.【答案】 

【解析】

解：原式，
故答案为：．
【分析】本题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式的特点是解本题的关键．
原式利用平方差公式分解即可．  

10.【答案】 

解：．
故答案是：．
根据即可代入求解．
本题考查了同底数的幂的除法运算，正确理解是关键．
 

11.【答案】 

解：，
，
，
、、三数的大小关系为，
故答案为：．
依据零指数幂，负整数指数幂进行计算，即可得到、、三数的大小关系．
本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，关键是掌握零指数幂：．
 

12.【答案】 

解：




．
故答案为：．
把相应的值代入，利用有理数的相应的法则进行运算即可．
本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

13.【答案】 

解：因为，，
所以，
因为，
所以．
故答案为：．
根据完全平方公式解答即可．
此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．完全平方公式：．
 

14.【答案】 

解：，
得：，
得：，
解得：，
将代入得：，
解得：，
将，代入中得，
，
解得：，
故答案为：．
先解出方程组的解，再将方程组的解代入即可求解．
本题主要考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键，运用了整体思想．
 

15.【答案】 

解：，
，，
，
．
故答案为：．
由，利用平行线的性质可得出和的度数，再结合及，即可找出的度数．
本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
 

16.【答案】 

解：五边形的内角和为，
，
，分别为、的平分线，
，，
，
，
故答案为：．
利用多边形内角和公式、三角形内角和定理和角平分线的定义即可求解．
本题考查了多边形的内角和公式，牢记边形的内角和为是解题关键．
 

17.【答案】解：原式

；
原式
． 

【解析】先算计算绝对值，乘方，零指数幂，负整数指数幂，再算有理数的运算；
先利用完全平方公式和单项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可．
本题考查了实数的运算和整式的运算，掌握有关的运算法则和运算顺序是解题关键．
 

18.【答案】解：

；



． 

【解析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解；
先提取公因式，再利用平方差公式分解．
本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键．
 

19.【答案】解：，
把代入得：，
解得：，
把代入得：，
故原方程组的解是：；
，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
故原方程组的解是：． 

【解析】利用代入消元法进行运算即可；
利用加减消元法进行求解即可．
本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．
 

20.【答案】   

解：如图，即为所求；
如图，线段即为所求；
．
故答案为：；
线段扫过的面积，
故答案为：．

利用平移变换的性质分别作出，的对应点，即可；
根据三角形的高的定义画出图形即可；
利用平移变换的性质判断即可；
利用割补法求解即可．
本题考查作图平移变换，三角形的高，四边形的面积等知识，解题关键是掌握平移变换的性质，学会用割补法求四边形面积．
 

21.【答案】证明：，
，
，
，
；
解：，，
，
平分，
，
． 

【解析】利用平行线的性质和判定即可证明；
利用平行线的性质先求出，再利用角平分线的定义求出，再利用三角形内角和定理即可求解．
本题考查三角形内角和定理，平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识点，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理，平行线的判定与性质，角平分线的定义，灵活运用．
 

22.【答案】解：是边上的高，
，
在中，，
，
，
，
． 

【解析】由高的定义可得，由三角形内角和可得的度数，再根据三角形内角和可得出的度数，由平角的定义可得出的度数．
本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解答此题的关键．
 

23.【答案】   

解：，，；
故答案为：，，；
由可得，第个等式为，
，
等式成立；
由中规律可得：
原式

．
根据乘方的运算法则以及零指数幂进行运算可得结果；
由中式子可得规律，从而解答；
由中规律可得原式，进而得出答案．
本题考查了数字的变化规律，乘方等运算法则，掌握题意得出题目中式子的变化规律是解本题的关键．
 

24.【答案】解：设，，
则，
，
，
．
根据题意得：，，
设，，
则，，
，
长方形的面积，
，
或不符合题意，舍去，
阴影部分的面积正方形的面积正方形的面积





．
阴影部分的面积为． 

【解析】设，，从而可得，，再利用完全平方公式进行变形运算即可得；
先根据线段的和差、长方形的面积公式得，再利用正方形的面积减去正方形的面积等于阴影部分的面积，再仿照的思路、结合平方差公式求解即可．
本题考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式并灵活运用是解题的关键．
 

25.【答案】      或 

解：由题意得：，，
，，
；
故答案为：，；
，
，
是的平分线，
，
当时，；
故答案为：；
当点在左侧时，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：；
当点在右侧时，如图，

，，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：；
，
理由：平分，由得，
，
由得，
在中，，
；
当点在的左边时，如图所示：

由得，
，
是的平分线，
，
由得：，
，
在中，．
当点在的右边时，如图所示：

由题意可知：，则有，
，
平分，平分，，
，，
在中，．
故答案为：或．
根据题意可难得出的度数为，；
根据平行线的性质，可得，再结合是的平分线，即可求解；
由平行线的性质可得，再由可得，从而可得，结合所给的条件即可求解；
，分别用含的代数式表示出和的度数，再结合三角形的内角和，可表示出，进行比较即可求解；
可分在的左边与在的右边两种情况进行讨论，再把的和的度数用含的代数式表示出来，再利用三角形的内角和求的度数即可．
本题主要考查了平行线的性质，角平分线，解答的关键是对这些知识点的掌握与熟练应用．