2022-2023学年四川省内江市第六中学高二下学期第一次月考数学（文）试题含解析

这是一份2022-2023学年四川省内江市第六中学高二下学期第一次月考数学（文）试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省内江市第六中学高二下学期第一次月考数学（文）试题 一、单选题1．命题“”的否定是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由特称命题的否定是全称命题即可得出答案.【详解】命题“”的否定是:.故选：C.2．椭圆的离心率是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意求，再求离心率即可.【详解】由题意可得：，且椭圆焦点在y轴上，则，故椭圆的离心率是.故选：A.3．下列说法正确的是（    ）A．若为假命题，则p，q都是假命题B．“这棵树真高”是命题C．命题“使得”的否定是：“，”D．在中，“”是“”的充分不必要条件【答案】A【分析】若为假命题，则p，q都是假命题，A正确，“这棵树真高”不是命题，B错误，否定是：“，”，C错误，充分必要条件，D错误，得到答案.【详解】对选项A：若为假命题，则p，q都是假命题，正确；对选项B：“这棵树真高”不是命题，错误；对选项C：命题“使得”的否定是：“，”，错误；对选项D：，则，，故，充分性；若，则，，则，必要性，故是充分必要条件，错误.故选：A4．在如图所示的正方体中，异面直线与所成角的大小为（    ）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【分析】根据异面直线所成角的定义及正方体的特征求解【详解】连接，，如图，因为正方体中，所以就是与所成的角，在中，.∴.故选：C5．已知双曲线的两条渐近线相互垂直，焦距为，则该双曲线的虚轴长为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析可得，求出的值，即可得出双曲线的虚轴长.【详解】双曲线的渐近线方程为，由题意可知，可得，所以，，则，因此，该双曲线的虚轴长为.故选：B.6．若直线与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则n的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题得直线所过定点在椭圆上或椭圆内，代入椭圆得到不等式，再结合椭圆焦点在轴上即可.【详解】直线恒过定点，若直线与椭圆总有公共点，则定点在椭圆上或椭圆内，，解得或，又表示焦点在轴上的椭圆，故，，故选：C.7．已知，分别为双曲线的左､右焦点，为双曲线右支上一点，满足，则的面积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由可以求得M在以原点为圆心，焦距为直径的圆周上，写出圆的方程，与双曲线的方程联立求得M的坐标，进而得到所求面积.【详解】设双曲线的焦距为，则.因为，所以为圆与双曲线的交点.联立，解得，所以的面积为.故选:A.【点睛】本题考查与双曲线有关的三角形面积最值问题，利用轨迹方程法是十分有效和简洁的解法.8．已知椭圆的左､右焦点分别为，过坐标原点的直线交于两点，且，且，则椭圆的标准方程为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据椭圆的定义可求，结合三角形的面积可求，进而可得答案.【详解】如图，连接，由椭圆的对称性得四边形为平行四边形，所以，得.又因为，所以四边形为矩形，设，则，所以得或；则，则，椭圆的标准方程为.故选:C.9．当双曲线的焦距取得最小值时，双曲线M的渐近线方程为（    ）A．y＝±x B．y＝±xC．y＝±2x D．y＝±x【答案】C【解析】求得关于的函数表达式，并利用配方法和二次函数的性质得到取得最小值时的值，进而得到双曲线的标准方程，根据标准方程即可得出渐近线方程【详解】由题意可得c2＝m2＋2m＋6＝(m＋1)2＋5，当m＝－1时，c2取得最小值，即焦距2c取得最小值，此时双曲线M的方程为，所以渐近线方程为y＝±2x.故选：C．【点睛】本题考查双曲线的标准方程与几何性质，属基础题，掌握双曲线的基本量的关系是关键.由双曲线的方程：的渐近线可以统一由得出.10．已知，是椭圆C的两个焦点，P为C上一点，，若C的离心率为，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据椭圆的定义，结合余弦定理、椭圆离心率的公式进行求解即可.【详解】解：记，，由，及，得，，又由余弦定理知，得.由，得，从而，∴.∵，∴.故选:B11．吹奏乐器“埙”（如图1）在古代通常是用陶土烧制的，一种埙的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆.半椭圆（，且为常数）和半圆组成的曲线如图2所示，曲线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，点是半圆上任意一点，当点的坐标为时，的面积最大，则半椭圆的方程是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由点在半圆上，可求，然后求出G，A，根据已知的面积最大的条件可知，，即，代入可求，进而可求椭圆方程【详解】由点在半圆上，所以，，要使的面积最大，可平行移动AG，当AG与半圆相切于时，M到直线AG的距离最大， 此时，即，又，所以半椭圆的方程为故选：D12．已知，为椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，，分别为曲线，的离心率，则的最小值为（    ）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】由题可得，在中，由余弦定理得，结合基本不等式得，即可解决.【详解】由题知，，为椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，，分别为曲线，的离心率，假设，所以由椭圆，双曲线定义得，解得，所以在中，，由余弦定理得，即，化简得，因为，所以，即，当且仅当时，取等号，故选：A 二、填空题13．过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点构成的的周长为__________【答案】4【分析】先将椭圆的方程化为标准形式，求得半长轴的值，然后利用椭圆的定义进行转化即可求得.【详解】解：椭圆方程可化为，显然焦点在y轴上，，根据椭圆定义，所以的周长为．故答案为4．14．若命题“，”为假命题，则a的取值范围是______．【答案】【分析】先求得命题为真时的等价条件，取补集即可得到为假命题时的参数取值范围.【详解】当时，命题为“，”，该命题为真命题，不满足题意；当时，命题，可得到，解得，故若命题“，”是假命题，则故答案为：15．已知椭圆C：，，为椭圆的左右焦点．若点P是椭圆上的一个动点，点A的坐标为（2，1），则的范围为_____．【答案】【分析】利用椭圆定义可得，再根据三角形三边长的关系可知，当共线时即可取得最值.【详解】由椭圆标准方程可知，又点P在椭圆上，根据椭圆定义可得，所以所以易知，当且仅当三点共线时等号成立；又，所以；即的范围为.故答案为：16．己知，是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，，若C的离心率为，则的值为______．【答案】3【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理求解即可.【详解】由及双曲线的定义可得，所以，，因为，在中，由余弦定理可得，即，所以，即，解得或（舍去）.故答案为：3 三、解答题17．已知，，其中m＞0．(1)若m＝4且为真，求x的取值范围；(2)若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）解不等式得到，，由为真得到两命题均为真，从而求出的取值范围；（2）由是的充分不必要条件，得到是的充分不必要条件，从而得到不等式组，求出实数m的取值范围.【详解】（1），解得：，故，当时，，解得：，故，因为为真，所以均为真，所以与同时成立，故与求交集得：，故的取值范围时；（2）因为，，解得：，故，因为是的充分不必要条件，所以是的充分不必要条件，即，但，故或，解得：，故实数m的取值范围是18．求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程；(1)短轴长为，离心率的椭圆；(2)与双曲线具有相同的渐近线，且过点的双曲线．【答案】(1)或(2) 【分析】（1）根据题意求出、、的值，对椭圆焦点的位置进行分类讨论，可得出椭圆的标准方程；（2）设所求双曲线方程为，将点的坐标代入所求双曲线的方程，求出的值，即可得出所求双曲线的标准方程.【详解】（1）解：由题意可知，解得.若椭圆的焦点在轴上，椭圆的标准方程为，若椭圆的焦点在轴上，椭圆的标准方程为.综上所述，所求椭圆的标准方程为或.（2）解：设所求双曲线方程为，将点代入所求双曲线方程得，所以双曲线方程为，即．19．已知直棱柱的底面ABCD为菱形，且，，点为的中点．(1)证明：平面；(2)求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)1 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理和性质，结合菱形的性质、线面平行的判定定理进行证明即可；（2）根据菱形的性质、直棱柱的性质，结合线面垂直的判定定理、三棱锥的体积公式进行求解即可.【详解】（1）连接AC交BD于点，连接，在直四棱柱中，，所以四边形为平行四边形，即，，又因为底面ABCD为菱形，所以点为AC的中点，点为的中点，即点为的中点，所以，，即四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，，所以平面；（2）在直棱柱中平面，平面，所以，又因为上底面为菱形，所以，因为平面，所以平面，因为在中，，且点为BD的中点，所以，即，所以．20．已知椭圆E：的离心率为，且过点.(1)求椭圆E的方程；(2)若直线m过椭圆E的右焦点和上顶点，直线l过点且与直线m平行.设直线l与椭圆E交于A，B两点，求AB的长度.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由待定系数法求椭圆方程.（2）运用韦达定理及弦长公式可求得结果.【详解】（1）由题意知，，所以，，设椭圆E的方程为.将点的坐标代入得：，，所以椭圆E的方程为.（2）由（1）知，椭圆E的右焦点为，上顶点为，所以直线m斜率为，由因为直线l与直线m平行，所以直线l的斜率为，所以直线l的方程为，即，联立，可得，，，，所以.21．已知双曲线.(1)试问过点能否作一条直线与双曲线交于，两点，使为线段的中点，如果存在，求出其方程；如果不存在，说明理由；(2)直线：与双曲线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于，两点.当点运动时，求点的轨迹方程.【答案】(1)不能，理由见解析；(2)，. 【分析】（1）设出直线的方程，与双曲线方程联立，由判别式及给定中点坐标计算判断作答.（2）联立直线与双曲线的方程，由给定条件得到，求出的坐标及过点与直线垂直的直线方程，即可求解作答.【详解】（1）点不能是线段的中点，假定过点能作一条直线与双曲线交于，两点，使为线段的中点，显然，直线的斜率存在，设直线的方程为，即，而双曲线渐近线的斜率为，即，由得，则有，解得，此时，即方程组无解，所以过点不能作一条直线与双曲线交于，两点，使为线段的中点.（2）依题意，由消去y整理得，因为，且是双曲线与直线唯一的公共点，则有，即，点M的横坐标为，点，，过点与直线垂直的直线为，因此，，，，所以点的轨迹方程为，.22．已知椭圆：上的点到左、右焦点，的距离之和为4.(1)求椭圆的方程.(2)若在椭圆上存在两点，，使得直线与均与圆相切，问：直线的斜率是否为定值?若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由.【答案】(1)(2)是定值，定值为 【分析】（1）由椭圆的定义结合性质得出椭圆的方程.（2）根据直线与圆的位置关系得出，将直线的方程代入椭圆的方程，由韦达定理得出坐标，进而由斜率公式得出直线的斜率为定值.【详解】（1）由题可知，所以.将点的坐标代入方程，得所以椭圆的方程为.（2）由题易知点在圆外，且直线与的斜率均存在.设直线的方程为，直线的方程是由直线与圆相切，可得，同理可得由题可知，所以.将直线的方程代入椭圆的方程，可得.设，.因为点也是直线与椭圆的交点，所以，因为，所以，所以直线的斜率