2022-2023学年广东省广州市增城区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省广州市增城区八年级（下）期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（共10小题，共30.0分.）

1.  若在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，在中，，，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

3.  下列根式中，不是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列各组数中，能构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

5.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，，，，点在点的北偏西方向，则点在点的(    )

A. 北偏东
B. 北偏东
C. 东偏北
D. 东偏北

7.  如图，在正方形的外侧作等边三角形，则度数为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  矩形具有而菱形不一定具有的性质是(    )

A. 对角相等 B. 对边相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分

9.  下列命题中，逆命题是真命题的是(    )

A. 对顶角相等 B. 若，那么
C. 两直线平行，内错角相等 D. 若，那么

10.  定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点，在边存在点，使得为“智慧三角形”，则点的坐标为(    )

A. 或
B. 或
C. 或
D. 或或

第II卷（非选择题）

二、填空题（共6小题，共18.0分）

11.  如图，在中，点、分别是边、的中点，，则           ．
 

12.  如图，在平行四边形中，，周长是，则 ______ ．

13.  计算：______．

14.  如图，八年级的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图所示风筝的高度，他们进行了如下操作：
测得米；注：
根据手中剩余线的长度计算出风筝线米；
牵线放风筝的小明身高米．
则风筝的高度是______ 米

15.  如图，数轴上点表示的数为，化简： ______ ．

16.  如图，菱形的周长为，面积为，是对角线上一点，分别作点到直线、的垂线段、，则等于______ ．

三、计算题（共1小题，共6.0分）

17.  已知：，求代数式的值．

四、解答题（共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
计算：．

19.  本小题分
在平行四边形中，，分别是，的中点，求证：四边形是平行四边形．

20.  本小题分
如图，点在中，，，，．
求的长；
求图中阴影部分的面积．

21.  本小题分
如图，将矩形纸片沿对角线折叠，点落在点处，与相交于点．
求证：≌；
若，，求的长．

22.  本小题分
如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的处到公路上的停靠站的距离为，与公路上另一停靠站的距离为，停靠站、之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的处开凿隧道修通一条公路到处，且．
请判断的形状？
求修建的公路的长．

23.  本小题分
如图，在中，平分，交于点．
尺规作图：作的垂直平分线，分别交，于点，，连接，；不写作法，保留作图痕迹
求证：四边形是菱形；
若，，，求的长．

24.  本小题分
材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例如：，我们称的一个有理化因式是．
材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
例如：．
请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：
的有理化因式为______ ；
将式子分母有理化；
化简：．

25.  本小题分
如图，在正方形中，是边上的一点，连接，作于点，交正方形的外角的平分线于点，
若正方形的边长为，当是边上的中点时，求的长；
求证：；
如图，连接，交边于点，连接，探究线段、和之间的数量关系，并说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

解：由题意得，，
解得，，
故选：．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

2.【答案】 

解：，，，
，
故选：．
根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理的知识，熟练掌握勾股定理的内容是解答本题的关键．
 

3.【答案】 

解：、是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，不符合题意；
C、是最简二次根式，不符合题意
D、不是最简二次根式，符合题意．
故选：．
判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式中的两个条件被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
本题考查的是最简二次根式，熟知最简二次根式的概念是解题的关键．
 

4.【答案】 

解：，
不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B.，
不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C.，
能构成直角三角形，故本选项符合题意；
D.，
不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：．
先求出两小边的平方，再求出最长边的平方，看看是否相等即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
 

5.【答案】 

解：．，所以选项符合题意；
B.，所以选项不符合题意；
C.与不能合并，所以选项不符合题意；
D.，所以选不项符合题意；
故选：．
根据二次根式的乘法法则对选项进行判断；根据二次根式的除法法则对选项进行判断；根据二次根式的加减法运算对选项和选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
 

6.【答案】 

解：，，，
，
是直角三角形，
，
由题意得：，
点在点的北偏东方向，
故选：．
先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，求出，然后再求出的余角即可解答．
本题考查了方向角，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

7.【答案】 

解：根据等边三角形和正方形的性质可知，，，
，
．
故选：．
根据等边三角形的性质及正方形的性质可得到，从而可求得的度数，即可求解．
本题考查了正方形和等边三角形的特殊性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

解：因为矩形的性质：对角相等、对边相等、对角线相等；
菱形的性质：对角相等、对边相等、对角线互相垂直．
所以矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等．
故选：．
根据菱形和矩形的性质即可判断．
本题考查了菱形的性质、矩形的性质，解决本题的关键是掌握菱形和矩形的性质．
 

9.【答案】 

解：、对顶角相等的逆命题是两个相等的角是对顶角，是假命题，不符合题意；
B、若，那么的逆命题是若，那么，是假命题，不符合题意；
C、两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，是真命题，符合题意；
D、若，那么的逆命题是若，那么，是假命题，不符合题意；
故选：．
根据逆命题的概念分别写出各个命题的逆命题，判断即可．
本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 

10.【答案】 

解：由题意可知，“智慧三角形”是直角三角形，或，
设，则，；

若，在中，由勾股定理得：
，
在中，由勾股定理得：
，
在中，由勾股定理得：
，
又，
，
，
解得：或，
或；
若，在中，由勾股定理得：
，
在中，由勾股定理得：
，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
解得：．

综上，或或．
故选：．
由题意可知，“智慧三角形”是直角三角形，或，设，则，；分两种情况：若，若，根据勾股定理分别求出、、，并根据图形列出关于的方程，解得的值，则可得答案．
本题考查了矩形的性质及勾股定理在几何图形坐标计算中的应用，数形结合、分类讨论并根据题意正确地列式是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
【解答】
解：点、分别是边、的中点，，
是的中位线，
，
故答案为：．  

12.【答案】 

解：四边形是平行四边形，，周长是，
，
故答案为：．
根据平行四边形的性质解答即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形对边相等解答．
 

13.【答案】 

解：原式，
故答案为：
原式利用二次根式乘法法则计算即可得到结果．
此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的乘法法则是解本题的关键．
 

14.【答案】 

解：，
，
由勾股定理得，
米，
四边形是矩形，
米，
米，
故答案为：米．
根据勾股定理先求出的长，则．
本题考查了勾股定理的应用，能从实际问题中抽象出勾股定理并应用解决问题是关键．
 

15.【答案】 

解：由数轴上点的位置可得：
，
，
原式

．
故答案为：．
直接利用二次根式的性质以及结合数轴得出的取值范围进而化简即可．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出的取值范围是解题关键．
 

16.【答案】 

解：菱形的周长为，面积为，
，，
分别作点到直线、的垂线段、，
，
，
．
故答案为：．
直接利用菱形的性质得出，，进而利用三角形面积求法得出答案．
此题主要考查了菱形的性质，正确得出是解题关键．
 

17.【答案】解：当，


． 

【解析】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式运算法则是解题的关键．
把的值代入多项式进行计算即可．
 

18.【答案】解：原式

． 

【解析】先根据二次根式的除法法则运算，然后化简二次根式后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的除法法则是解决问题的关键．
 

19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，．
、分别是、的中点，
，，
．
四边形是平行四边形． 

【解析】由平行四边形的性质得出，，证出，即可得出四边形是平行四边形．
本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
 

20.【答案】解：，，，
，
，，
，
是直角三角形，，
．
故图中阴影部分的面积为． 

【解析】根据勾股定理和，，，可以先求出的长；
根据勾股定理的逆定理可以判断的形状，从而可以求出阴影部分的面积．
本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是求出的长．
 

21.【答案】证明：矩形沿对角线折叠，点落在等处，
，，
在和中，

≌．

设，
≌，
，
四边形是矩形，
，，，
在中，则有，
解得，
． 

【解析】根据证明三角形全等即可．
设，在中，利用勾股定理构建方程即可解问题．
本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：是直角三角形．
，，，
，
，
，
是直角三角形．
，
，
．
答：修建的公路的长是． 

【解析】根据勾股定理的逆定理，由得到是直角三角形．
利用的面积公式可得，，从而求出的长．
本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理的应用，以及三角形的面积公式等知识，熟练掌握这两个定理是解题关键．
 

23.【答案】解：如图：即为所求；

平分，
，
的垂直平分线，
，，
，，
，，
，，
四边形为平行四边形，
，
▱为菱形；
过作于，
在菱形中，有，
，，
，，，
． 

【解析】根据作线段的垂直平分线的基本步骤作图；
根据“邻边相等的平行四边形是菱形”进行证明
根据勾股定理求解．
本题考查了基本作图，掌握两项的判定定理及勾股定理是解题的关键．
 

24.【答案】 

解：的有理化因式为；
故答案为：；
；
原式
．
根据有理化因式的定义求解；
把分子分母都乘以，然后根据平方差公式计算；
先分母有理化，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和平方差公式是解决问题的关键．
 

25.【答案】解：正方形的边长为，点是边上的中点，
，
；
证明：如图，在边上截取，连接，

四边形是正方形，
，，
，
，，
，
平分，
，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
；
，理由如下：
如图，延长至，使，连接，

由可知：，
，
，
，
，，，
≌，
，，
，
又．
≌，
，
． 

【解析】由勾股定理可求解；
由“”可证≌，可得；
由“”可证≌，可得，，由“”可证≌，可得，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．