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浙江省杭州十三中2022-2023学年九年级上学期开学考试数学试卷(解析版)
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这是一份浙江省杭州十三中2022-2023学年九年级上学期开学考试数学试卷(解析版)，共22页。试卷主要包含了已知点A，二次函数y＝ax2+bx+1等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省杭州十三中九年级第一学期开学数学试卷
一.选择题（每小题3分，共30分）.
1．＝（ ）
A． B． C． D．
2．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm
3．某校六一活动中，10位评委给某个节目的评分各不相同，去掉1个最高分和1个最低分，剩下的8个评分与原始的10个评分相比（ ）
A．平均数一定不发生变化 B．中位数一定不发生变化
C．方差一定不发生变化 D．众数一定不发生变化
4．将抛物线y＝3x2的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后，得到的抛物线解析式是（ ）
A．y＝3（x﹣2）2﹣5 B．y＝3（x﹣2）2+5
C．y＝3（x+2）2﹣5 D．y＝3（x+2）2+5
5．已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有30个，黑球有n个．随机地从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出的黑球的频率稳定在0.4附近，则n的值约为（ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
6．若关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是AD的中点，连结OE，AC＝8，BC＝10，若AC⊥CD，则OE等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．已知点A（1，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3）都在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y3＞y1 D．y1＞y3＞y2
9．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，∠DHO＝α，则∠DAB的度数是（ ）
A．α B．2α C．90°﹣α D．90°﹣2α
10．二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（﹣1，0），设t＝a+b+1，则t的取值范围为（ ）
A．0＜t＜2 B．﹣1＜t＜0 C．t＜﹣1 D．t＜2
二.填空题（每小题4分，共24分）
11．投掷一枚均匀的骰子，偶数朝上的概率是 ．
12．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，若AC＝4，则EF的长是 ．
13．如图抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣5，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解集为 ．
14．已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是 ．（请用“＞”连接排序）
15．对于反比例函数y＝，当x＞2时，y的取值范围是 ．
16．如图是一张矩形纸片ABCD，点E在AC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线BD上的点F处；点G在AB边上，把△DAG沿直线DG折叠，使点A落在线段DF上的点H处．若HF＝1，BF＝8，则BD＝ ，矩形ABCD的面积＝ ．
三.解答题（共66分）
17．（1）计算：．
（2）解方程：x2﹣4x﹣1＝0．
18．在探究欧姆定律时，小明发现小灯泡电路上的电压保持不变，通过小灯泡的电流越大，灯就越亮．设选用小灯泡的电阻为R（Ω），通过的电流强度为I（A）．（欧姆定律公式：）
（1）若电阻为40Ω，通过的电流强度为0.30A，求I关于R的函数表达式；
（2）如果电阻小于40Ω，那么与原来的相比，小灯泡的亮度将发生什么变化？并说明理由．
19．一个不透明的布袋中装有3个只有颜色不同的球，其中1个黄球、2个红球．
（1）任意摸出1个球，记下颜色后不放回，再任意摸出1个球，求两次摸出的球恰好都是红球的概率（要求画树状图或列表）；
（2）现再将n个黄球放入布袋，搅匀后，使任意摸出1个球是黄球的概率为，求n的值．
20．已知，如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，E是AC上的点，分别连结BE，DE并延长交CD于点F，交BC于点G．
（1）求证：BE＝DE；
（2）若DG⊥BF，∠BAD＝60°，AB＝2，求CE的长．
21．十三中为了创建城市文明单位，准备在操场的墙（线段MN所示，不考虑墙体长度）外开辟一处长方形的土地进行绿化美化，除墙体外三面要用栅栏围起来，计划用栅栏40米（正好用完）．
（1）长方形的各边的长为多少米时，长方形的面积最大？
（2）若9≤AB≤12，试求长方形面积S的取值范围．
22．已知二次函数y＝mx2﹣2mx+3，其中m≠0．
（1）若二次函数的图象经过（1，4），求二次函数表达式；
（2）若该二次函数图象开口向上，当﹣1≤x≤2时，二次函数图象的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为6，求点M和点N的坐标；
（3）在二次函数图象上任取两点（x1，y1），（x2，y2），当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2，求a的取值范围．
23．如图①，已知正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点（点E，F不与端点重合），且AE＝DF，BE，AF交于点P，过点C作CH⊥BE交BE于点H．
（1）求证：AF⊥BE；
（2）若AB＝2，AE＝2，试求线段PH的长；
（3）如图②，连接CP并延长交AD于点Q，若点H是BP的中点，试求的值．
参考答案
一.选择题（每小题3分，共30分）
1．＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用二次根式的乘法法则计算即可．
解：原式＝﹣＝，
故选：B．
2．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm
解：∵沿AE对折点B落在边AD上的点B1处，
∴∠B＝∠AB1E＝90°，AB＝AB1，
又∵∠BAD＝90°，
∴四边形ABEB1是正方形，
∴BE＝AB＝6cm，
∴CE＝BC﹣BE＝8﹣6＝2cm．
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，翻折变换的性质，判断出四边形ABEB1是正方形是解题的关键．
3．某校六一活动中，10位评委给某个节目的评分各不相同，去掉1个最高分和1个最低分，剩下的8个评分与原始的10个评分相比（ ）
A．平均数一定不发生变化 B．中位数一定不发生变化
C．方差一定不发生变化 D．众数一定不发生变化
【分析】根据平均数、中位数、方差的意义即可求解．
解：根据题意，从10个原始评分中去掉1个最高分和1个最低分，得到8个有效评分．8个有效评分与10个原始评分相比，中位数一定不发生变化．
故选：B．
4．将抛物线y＝3x2的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后，得到的抛物线解析式是（ ）
A．y＝3（x﹣2）2﹣5 B．y＝3（x﹣2）2+5
C．y＝3（x+2）2﹣5 D．y＝3（x+2）2+5
【分析】首先确定抛物线y＝3x2的顶点坐标，再确定平移后的抛物线顶点坐标，然后可得答案．
解：抛物线y＝3x2的顶点坐标为（0，0），
∵先向右平移2个单位，再向上平移5个单位，
∴新的抛物线顶点坐标为（2，5），
∴新抛物线的解析式为：y＝3（x﹣2）2+5，
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
5．已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有30个，黑球有n个．随机地从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出的黑球的频率稳定在0.4附近，则n的值约为（ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
【分析】根据黑球的频率稳定在0.4附近得到黑球的概率约为0.4，根据概率公式列出方程求解可得．
解：根据题意得＝0.4，
解得：n＝20，
故选：A．
【点评】此题考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是了解黑球的频率稳定在0.4附近即为概率约为0.4．
6．若关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得Δ＝4﹣4m＞0，解出m的取值范围即可进行判断．
解：根据题意，得Δ＝4﹣4m＞0，
解得m＜1，
∵0＜1，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程根的情况，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
7．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是AD的中点，连结OE，AC＝8，BC＝10，若AC⊥CD，则OE等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】利用平行四边形的性质可得AO＝OC，AD＝BC＝10，然后在Rt△ACD中，利用勾股定理求出CD的长，最后利用三角形中位线定理，进行计算即可解答．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，AD＝BC＝10，
∵AC⊥CD，
∴∠ACD＝90°，
∴CD＝＝＝6，
∵E是AD的中点，
∴OE是△ACD的中位线，
∴OE＝CD＝3，
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的性质，三角形中位线定理是解题的关键．
8．已知点A（1，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3）都在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y3＞y1 D．y1＞y3＞y2
【分析】画出函数图象，利用图象法即可解决问题．
解：函数图象如图所示：
y1＞y2＞y3，
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．
9．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，∠DHO＝α，则∠DAB的度数是（ ）
A．α B．2α C．90°﹣α D．90°﹣2α
【分析】由四边形ABCD是菱形，可得OB＝OD，AC⊥BD，又由DH⊥AB，∠DHO＝α，可求得∠OHB的度数，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得OH＝OB＝BD，继而求得∠ABD的度数，然后求得∠CAD的度数．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，AC⊥BD，AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵DH⊥AB，
∴OH＝OB＝BD，
∵∠DHO＝α，
∴∠OHB＝90°﹣∠DHO＝90°﹣α，
∴∠ABD＝∠OHB＝∠ADB＝90°﹣α，
∴∠DAB＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝180°﹣90°+α﹣90°+α＝2α，
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意证得OH＝OB＝BD是解题的关键．
10．二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（﹣1，0），设t＝a+b+1，则t的取值范围为（ ）
A．0＜t＜2 B．﹣1＜t＜0 C．t＜﹣1 D．t＜2
【分析】由二次函数的解析式可知，当x＝1时，所对应的函数值y＝t＝a+b+1．把点（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+1，a﹣b+1＝0，然后根据顶点在第一象限，判断出a与b的符号，进而求出t＝a+b+1的变化范围．
解：∵二次函数y＝ax2+bx+1的顶点在第一象限，
且经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+1＝0，a＜0，b＞0，
由a＝b﹣1＜0得到b＜1，结合上面b＞0，所以0＜b＜1①，
由b＝a+1＞0得到a＞﹣1，结合上面a＜0，所以﹣1＜a＜0②，
∴由①+②得：﹣1＜a+b＜1，
在不等式两边同时加1得0＜a+b+1＜2，
∵a+b+1＝t代入得0＜t＜2，
∴0＜t＜2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状、对称轴、特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程ax2+bx+c＝0的解的方法．同时注意特殊点的运用．
二.填空题（每小题4分，共24分）
11．投掷一枚均匀的骰子，偶数朝上的概率是 ．
【分析】在正方体骰子中，写有偶数的有3面，一共有6面，根据概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比求解即可．
解：在正方体骰子中，朝上的数字为偶数的情况有3种，分别是：2，4，6，骰子共有6面，
∴偶数朝上的概率是：．
故答案为：．
【点评】本题考查了用列举法求概率，解题的关键是熟练掌握概率公式，一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）＝且0≤P（A）≤1．
12．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，若AC＝4，则EF的长是 2 ．
【分析】连接BD，由矩形的性质可得AC＝BD＝4，由三角形的中位线定理可求解．
解：如图，连接BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝4，
∵E，F分别是AD，AB的中点，
∴EF＝BD＝2，
故答案为2．
【点评】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，掌握矩形对角线相等是解题的关键．
13．如图抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣5，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解集为 ﹣5＜x＜3 ．
【分析】先根据抛物线的对称性得到A点坐标（3，0），由y＝ax2+bx+c＞0得函数值为正数，即抛物线在x轴上方，然后找出对应的自变量的取值范围即可得到不等式ax2+bx+c＞0的解集．
解：根据图示知，抛物线y＝ax2+bx+c图象的对称轴是直线x＝﹣1，与x轴的一个交点坐标为（﹣5，0），
根据抛物线的对称性知，抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的两个交点关于直线x＝﹣1对称，即
抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的另一个交点与（﹣5，0）关于直线x＝﹣1对称，
∴另一个交点的坐标为（3，0），
∵不等式ax2+bx+c＞0，即y＝ax2+bx+c＞0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c的图象在x轴上方，
∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣5＜x＜3．
故答案为：﹣5＜x＜3．
【点评】此题主要考查了二次函数与不等式，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由图象找出当y＞0时，自变量x的范围，本题锻炼了学生数形结合的思想方法．
14．已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是 a1＞a2＞a3＞a4 ．（请用“＞”连接排序）
【分析】直接利用二次函数的图象开口大小与a的关系进而得出答案．
解：如图所示：①y＝a1x2的开口小于②y＝a2x2的开口，则a1＞a2＞0，
③y＝a3x2的开口大于④y＝a4x2的开口，开口向下，则a4＜a3＜0，
故a1＞a2＞a3＞a4．
故答案为：a1＞a2＞a3＞a4
【点评】此题主要考查了二次函数的图象，正确记忆开口大小与a的关系是解题关键．
15．对于反比例函数y＝，当x＞2时，y的取值范围是 0＜y＜3 ．
【分析】先求出x＝2时y的值，再根据反比例函数的性质即可得出结论．
解：当x＝2时，y＝3，
∵反比例函数y＝中，k＝6＞0，
∴在第一象限内y随x的增大而减小，
∴0＜y＜3．
故答案为：0＜y＜3．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y＝（k≠0）中，当k＞0时，反比例函数图象的两个分支分别位于一三象限是解答此题的关键．
16．如图是一张矩形纸片ABCD，点E在AC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线BD上的点F处；点G在AB边上，把△DAG沿直线DG折叠，使点A落在线段DF上的点H处．若HF＝1，BF＝8，则BD＝ 29 ，矩形ABCD的面积＝ 420 ．
【分析】由折叠的性质得HD＝AD，FD＝CD，设AD＝x，则HD＝x，得AB＝CD＝x+1，BD＝x+9，再在Rt△ABD中，由勾股定理得出方程，解方程，即可解决问题．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠A＝90°，
由折叠的性质得：HD＝AD，FD＝CD，
设AD＝x，则HD＝x，
∴AB＝CD＝FD＝HD+HF＝x+1，
∴BD＝FD+BF＝x+9，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：x2+（x+1）2＝（x+9）2，
解得：x＝20或x＝﹣4（舍去），
∴AD＝20，AB＝21，BD＝x+9＝29，
∴矩形ABCD的面积＝AD•AB＝20×21＝420，
故答案为：29，420．
【点评】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握翻折变换的性质和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
三.解答题（共66分）
17．（1）计算：．
（2）解方程：x2﹣4x﹣1＝0．
【分析】（1）先将化为，2×化为2，即可求解；
（2）先将方程两边同时加上5进行配方，再进行求解．
解：（1）原式＝×2﹣2
＝﹣2
＝﹣；
（2）∵x2﹣4x﹣1＝0，
∴x2﹣4x﹣1+5＝5，
∴x2﹣4x+4＝5，
∴（x﹣2）2＝5，
∴x﹣2＝±，
∴x＝2+或x＝2﹣．
【点评】本题考查解一元二次方程，二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和二次根式混合运算的运算法则．
18．在探究欧姆定律时，小明发现小灯泡电路上的电压保持不变，通过小灯泡的电流越大，灯就越亮．设选用小灯泡的电阻为R（Ω），通过的电流强度为I（A）．（欧姆定律公式：）
（1）若电阻为40Ω，通过的电流强度为0.30A，求I关于R的函数表达式；
（2）如果电阻小于40Ω，那么与原来的相比，小灯泡的亮度将发生什么变化？并说明理由．
【分析】（1）应用待定系数法解答便可；
（2）根据函数解析式求得通过现在灯泡的电流的取值范围，进而得出结论．
解：（1）根据题意知，I关于R成反比例函数关式，
设I＝，则0.3＝，
解得U＝12，
∴I关于R的函数表达式为I＝；
（2）小灯泡的亮度将比原来的灯泡更亮，理由如下：
当R＜40时，I＞，
即I＞0.3，
∴小灯泡的亮度将比原来的灯泡更亮．
【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，待定系数法，关键是用待定系数法求出函数解析式．
19．一个不透明的布袋中装有3个只有颜色不同的球，其中1个黄球、2个红球．
（1）任意摸出1个球，记下颜色后不放回，再任意摸出1个球，求两次摸出的球恰好都是红球的概率（要求画树状图或列表）；
（2）现再将n个黄球放入布袋，搅匀后，使任意摸出1个球是黄球的概率为，求n的值．
【分析】（1）画树状图，共有6种等可能的结果，两次摸出的球恰好都是红球的结果有2种，再由概率公式求解即可；
（2）由概率公式得出方程，解方程即可．
解：（1）画树状图如下：
共有6种等可能的结果，两次摸出的球恰好都是红球的结果有2种，
∴两次摸出的球恰好都是红球的概率为＝；
（2）根据题意得：＝，
解得：n＝5，
经检验：n＝5是原分式方程的解，
∴n＝5．
【点评】此题考查了树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．已知，如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，E是AC上的点，分别连结BE，DE并延长交CD于点F，交BC于点G．
（1）求证：BE＝DE；
（2）若DG⊥BF，∠BAD＝60°，AB＝2，求CE的长．
【分析】（1）由菱形的性质得出CB＝CD，∠BCE＝∠DCE，结合CE＝CE，证明△BCE≌△DCE，得出∠CBE＝∠CDE，再证明△CBG≌△CDF，即可得出DF＝BG；
（2）连接BD交AC于点O，由菱形的性质得出AB＝AD，AO＝OC，OB＝OD＝BD，AC⊥BD，结合∠BAD＝60°，证明△ABD是等边三角形，继而得出BD＝2，OB＝OD＝1，OC＝，由直角三角形斜边上中线的性质得出OE＝OB＝OD＝1，即可求出CE的长度．
【解答】（1）证明：如图1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CB＝CD，∠BCE＝∠DCE，
∵CE＝CE，
∴△BCE≌△DCE（SAS），
∴∠CBE＝∠CDE，
在△CBG和△CDF中，
，
∴△CBG≌△CDF（ASA），
∴DF＝BG；
（2）解：如图2，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是菱形，AB＝2，
∴AB＝AD，AO＝OC，OB＝OD＝BD，AC⊥BD，
∵∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝2，OB＝OD＝1，OC＝OA＝＝，
∵BG⊥DF，
∴OE＝OB＝OD＝1，
∴CE＝OC﹣OE＝﹣1．
【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，掌握菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识是解决问题的关键．
21．十三中为了创建城市文明单位，准备在操场的墙（线段MN所示，不考虑墙体长度）外开辟一处长方形的土地进行绿化美化，除墙体外三面要用栅栏围起来，计划用栅栏40米（正好用完）．
（1）长方形的各边的长为多少米时，长方形的面积最大？
（2）若9≤AB≤12，试求长方形面积S的取值范围．
【分析】（1）设AB，CD长为x，则BC＝40﹣2x，通过矩形面积公式列出S与x的关系，通过配方求解．
（2）根据AB的取值范围结合函数的性质求S的取值范围．
解：（1）设AB，CD长为x，则BC＝40﹣2x，
∵0＜40﹣2x＜40，
∴0＜x＜20．
由题意得S＝AB•BC＝（40﹣2x）x＝﹣2（x﹣10）2+200（0＜x＜20），
∴x＝10时，40﹣2x＝20，S有最大值为200，
即BC长20米，AB＝CD＝10米时，长方形面积最大值为200平方米；
（2）∵9≤AB≤12，
∴9≤x≤12，
∵S＝﹣2（x﹣10）2+200，
∴x＝10时，S有最大值，最大值为200，
当x＝9时，S＝﹣2×（9﹣10）2+200＝198，
当x＝12时，S＝﹣2×（12﹣10）2+200＝192，
∴192≤S≤200．
∴长方形面积S的取值范围为192≤S≤200．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题关键是根据题干正确得出函数关系式．
22．已知二次函数y＝mx2﹣2mx+3，其中m≠0．
（1）若二次函数的图象经过（1，4），求二次函数表达式；
（2）若该二次函数图象开口向上，当﹣1≤x≤2时，二次函数图象的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为6，求点M和点N的坐标；
（3）在二次函数图象上任取两点（x1，y1），（x2，y2），当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2，求a的取值范围．
【分析】（1）把（1，4）点的坐标代入函数解析式中求出m即可；
（2）根据抛物线开口向上得m＞0，根据函数图象的性质确定最高点和最低点，从而得出m的值，即可求出M点和N点的坐标；
（3）分开口方向向上和开口方向向下两种情况，根据图象的增减性讨论a的取值范围．
解：（1）把（1，4）代入函数解析式得，m﹣2m+3＝4，
∴m＝﹣1，
∴函数解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵抛物线开口方向向上，
∴m＞0，
∵y＝mx2﹣2mx+3＝m（x﹣1）2+3﹣m，
∴抛物线的顶点为（1，3﹣m），
∴当x＜1时y随x增大而减小，
当x≥1时，y随x增大而增大，
∴最低点N（1，3﹣m），
∵当x＝﹣1时，y＝3m+3，
当x＝2时，y＝3，
且m＞0，
∴3m+3＞3，
∴最高点M（﹣1，3m+3），
∴3m+3＝6，
∴m＝1，
代入M点和N点坐标得：M（﹣1，6），N（1，2）；
（3）①当m＞0时，
则有当x≤1时y随x增大而减小，
当x≥1时，y随x增大而增大，
又∵当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2，
此时a+2≤1，
∴a≤﹣1，
②当m＜0时，
则有当x≤1时y随x增大而增大，
当x≥1时，y随x增大而减小，
又∵当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2，
此时a≥1，
综上，当m＞0时a≤﹣1；当m＜0时，a≥1．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质是解题的关键．
23．如图①，已知正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点（点E，F不与端点重合），且AE＝DF，BE，AF交于点P，过点C作CH⊥BE交BE于点H．
（1）求证：AF⊥BE；
（2）若AB＝2，AE＝2，试求线段PH的长；
（3）如图②，连接CP并延长交AD于点Q，若点H是BP的中点，试求的值．
【分析】（1）证明△ABE≌△DAF（SAS），得出∠ABE＝∠DAF，得出∠APB＝90°，可得出结论；
（2）根据三角形ABE的面积可求出AP＝，证明△ABP≌△BCH（AAS），由全等三角形的性质得出BH＝AP＝，则PH＝BP﹣BH＝BP﹣AP，可求出答案；
（3）证得∠CBP＝∠CPB，∠QPE＝∠QEP，可得出QE＝QP＝QA，在四边形QABC中，设QP＝a，CP＝b，则AB＝BC＝b，AQ＝a，QC＝a+b，由b2+（b﹣a）2＝（a+b）2可得出a，b的关系式，则可求出答案．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝DA，∠EAB＝∠D＝90°，
又∵AE＝DF，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，
又∵∠DAF+∠FAB＝∠EAB＝90°，
∴∠ABE+∠FAB＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴AF⊥BE；
（2）解：在正方形ABCD中，∠EAB＝90°，AB＝2，AE＝2，
∴BE＝＝＝4，
∵S△ABE＝AB•AE＝BE•AP，
∴AP＝
在Rt△ABP中，BP＝＝3，
∵∠APB＝∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠HBC＝90°，∠HCB+∠HBC＝90°，
∴∠ABP＝∠HCB，
∵CH⊥BE，
∴∠HCB＝90°，
又∵AB＝BC，
∴△ABP≌△BCH（AAS），
∴BH＝AP＝，
∴PH＝BP﹣BH＝BP﹣AP＝3﹣．
（3）解：在正方形ABCD中，AB＝BC，AD∥BC，
∵CH⊥BP，PH＝BH，
∴CP＝BC，
∴∠CBP＝∠CPB，
∵∠CPB＝∠QPE，∠CBP＝∠QEP，
∴∠QPE＝∠QEP，
在Rt△APE中，∠QAP＝∠QPA，
∴QE＝QP＝QA，
在四边形QABC中，设QP＝a，CP＝b，
则AB＝BC＝b，AQ＝a，QC＝a+b，
∵DC2+DQ2＝CQ2，
∴b2+（b﹣a）2＝（a+b）2，
∴b2＝4ab，
即b＝4a，
∴．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，平行线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想解决问题，学会用方程的思想方法解决问题．
2022-2023学年浙江省杭州十三中九年级第一学期开学数学试卷
一.选择题（每小题3分，共30分）.
1．＝（ ）
A． B． C． D．
2．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm
3．某校六一活动中，10位评委给某个节目的评分各不相同，去掉1个最高分和1个最低分，剩下的8个评分与原始的10个评分相比（ ）
A．平均数一定不发生变化 B．中位数一定不发生变化
C．方差一定不发生变化 D．众数一定不发生变化
4．将抛物线y＝3x2的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后，得到的抛物线解析式是（ ）
A．y＝3（x﹣2）2﹣5 B．y＝3（x﹣2）2+5
C．y＝3（x+2）2﹣5 D．y＝3（x+2）2+5
5．已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有30个，黑球有n个．随机地从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出的黑球的频率稳定在0.4附近，则n的值约为（ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
6．若关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是AD的中点，连结OE，AC＝8，BC＝10，若AC⊥CD，则OE等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．已知点A（1，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3）都在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y3＞y1 D．y1＞y3＞y2
9．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，∠DHO＝α，则∠DAB的度数是（ ）
A．α B．2α C．90°﹣α D．90°﹣2α
10．二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（﹣1，0），设t＝a+b+1，则t的取值范围为（ ）
A．0＜t＜2 B．﹣1＜t＜0 C．t＜﹣1 D．t＜2
二.填空题（每小题4分，共24分）
11．投掷一枚均匀的骰子，偶数朝上的概率是 ．
12．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，若AC＝4，则EF的长是 ．
13．如图抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣5，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解集为 ．
14．已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是 ．（请用“＞”连接排序）
15．对于反比例函数y＝，当x＞2时，y的取值范围是 ．
16．如图是一张矩形纸片ABCD，点E在AC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线BD上的点F处；点G在AB边上，把△DAG沿直线DG折叠，使点A落在线段DF上的点H处．若HF＝1，BF＝8，则BD＝ ，矩形ABCD的面积＝ ．
三.解答题（共66分）
17．（1）计算：．
（2）解方程：x2﹣4x﹣1＝0．
18．在探究欧姆定律时，小明发现小灯泡电路上的电压保持不变，通过小灯泡的电流越大，灯就越亮．设选用小灯泡的电阻为R（Ω），通过的电流强度为I（A）．（欧姆定律公式：）
（1）若电阻为40Ω，通过的电流强度为0.30A，求I关于R的函数表达式；
（2）如果电阻小于40Ω，那么与原来的相比，小灯泡的亮度将发生什么变化？并说明理由．
19．一个不透明的布袋中装有3个只有颜色不同的球，其中1个黄球、2个红球．
（1）任意摸出1个球，记下颜色后不放回，再任意摸出1个球，求两次摸出的球恰好都是红球的概率（要求画树状图或列表）；
（2）现再将n个黄球放入布袋，搅匀后，使任意摸出1个球是黄球的概率为，求n的值．
20．已知，如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，E是AC上的点，分别连结BE，DE并延长交CD于点F，交BC于点G．
（1）求证：BE＝DE；
（2）若DG⊥BF，∠BAD＝60°，AB＝2，求CE的长．
21．十三中为了创建城市文明单位，准备在操场的墙（线段MN所示，不考虑墙体长度）外开辟一处长方形的土地进行绿化美化，除墙体外三面要用栅栏围起来，计划用栅栏40米（正好用完）．
（1）长方形的各边的长为多少米时，长方形的面积最大？
（2）若9≤AB≤12，试求长方形面积S的取值范围．
22．已知二次函数y＝mx2﹣2mx+3，其中m≠0．
（1）若二次函数的图象经过（1，4），求二次函数表达式；
（2）若该二次函数图象开口向上，当﹣1≤x≤2时，二次函数图象的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为6，求点M和点N的坐标；
（3）在二次函数图象上任取两点（x1，y1），（x2，y2），当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2，求a的取值范围．
23．如图①，已知正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点（点E，F不与端点重合），且AE＝DF，BE，AF交于点P，过点C作CH⊥BE交BE于点H．
（1）求证：AF⊥BE；
（2）若AB＝2，AE＝2，试求线段PH的长；
（3）如图②，连接CP并延长交AD于点Q，若点H是BP的中点，试求的值．
参考答案
一.选择题（每小题3分，共30分）
1．＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用二次根式的乘法法则计算即可．
解：原式＝﹣＝，
故选：B．
2．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm
解：∵沿AE对折点B落在边AD上的点B1处，
∴∠B＝∠AB1E＝90°，AB＝AB1，
又∵∠BAD＝90°，
∴四边形ABEB1是正方形，
∴BE＝AB＝6cm，
∴CE＝BC﹣BE＝8﹣6＝2cm．
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，翻折变换的性质，判断出四边形ABEB1是正方形是解题的关键．
3．某校六一活动中，10位评委给某个节目的评分各不相同，去掉1个最高分和1个最低分，剩下的8个评分与原始的10个评分相比（ ）
A．平均数一定不发生变化 B．中位数一定不发生变化
C．方差一定不发生变化 D．众数一定不发生变化
【分析】根据平均数、中位数、方差的意义即可求解．
解：根据题意，从10个原始评分中去掉1个最高分和1个最低分，得到8个有效评分．8个有效评分与10个原始评分相比，中位数一定不发生变化．
故选：B．
4．将抛物线y＝3x2的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后，得到的抛物线解析式是（ ）
A．y＝3（x﹣2）2﹣5 B．y＝3（x﹣2）2+5
C．y＝3（x+2）2﹣5 D．y＝3（x+2）2+5
【分析】首先确定抛物线y＝3x2的顶点坐标，再确定平移后的抛物线顶点坐标，然后可得答案．
解：抛物线y＝3x2的顶点坐标为（0，0），
∵先向右平移2个单位，再向上平移5个单位，
∴新的抛物线顶点坐标为（2，5），
∴新抛物线的解析式为：y＝3（x﹣2）2+5，
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
5．已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有30个，黑球有n个．随机地从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出的黑球的频率稳定在0.4附近，则n的值约为（ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
【分析】根据黑球的频率稳定在0.4附近得到黑球的概率约为0.4，根据概率公式列出方程求解可得．
解：根据题意得＝0.4，
解得：n＝20，
故选：A．
【点评】此题考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是了解黑球的频率稳定在0.4附近即为概率约为0.4．
6．若关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得Δ＝4﹣4m＞0，解出m的取值范围即可进行判断．
解：根据题意，得Δ＝4﹣4m＞0，
解得m＜1，
∵0＜1，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程根的情况，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
7．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是AD的中点，连结OE，AC＝8，BC＝10，若AC⊥CD，则OE等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】利用平行四边形的性质可得AO＝OC，AD＝BC＝10，然后在Rt△ACD中，利用勾股定理求出CD的长，最后利用三角形中位线定理，进行计算即可解答．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，AD＝BC＝10，
∵AC⊥CD，
∴∠ACD＝90°，
∴CD＝＝＝6，
∵E是AD的中点，
∴OE是△ACD的中位线，
∴OE＝CD＝3，
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的性质，三角形中位线定理是解题的关键．
8．已知点A（1，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3）都在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y3＞y1 D．y1＞y3＞y2
【分析】画出函数图象，利用图象法即可解决问题．
解：函数图象如图所示：
y1＞y2＞y3，
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．
9．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，∠DHO＝α，则∠DAB的度数是（ ）
A．α B．2α C．90°﹣α D．90°﹣2α
【分析】由四边形ABCD是菱形，可得OB＝OD，AC⊥BD，又由DH⊥AB，∠DHO＝α，可求得∠OHB的度数，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得OH＝OB＝BD，继而求得∠ABD的度数，然后求得∠CAD的度数．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，AC⊥BD，AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵DH⊥AB，
∴OH＝OB＝BD，
∵∠DHO＝α，
∴∠OHB＝90°﹣∠DHO＝90°﹣α，
∴∠ABD＝∠OHB＝∠ADB＝90°﹣α，
∴∠DAB＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝180°﹣90°+α﹣90°+α＝2α，
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意证得OH＝OB＝BD是解题的关键．
10．二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（﹣1，0），设t＝a+b+1，则t的取值范围为（ ）
A．0＜t＜2 B．﹣1＜t＜0 C．t＜﹣1 D．t＜2
【分析】由二次函数的解析式可知，当x＝1时，所对应的函数值y＝t＝a+b+1．把点（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+1，a﹣b+1＝0，然后根据顶点在第一象限，判断出a与b的符号，进而求出t＝a+b+1的变化范围．
解：∵二次函数y＝ax2+bx+1的顶点在第一象限，
且经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+1＝0，a＜0，b＞0，
由a＝b﹣1＜0得到b＜1，结合上面b＞0，所以0＜b＜1①，
由b＝a+1＞0得到a＞﹣1，结合上面a＜0，所以﹣1＜a＜0②，
∴由①+②得：﹣1＜a+b＜1，
在不等式两边同时加1得0＜a+b+1＜2，
∵a+b+1＝t代入得0＜t＜2，
∴0＜t＜2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状、对称轴、特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程ax2+bx+c＝0的解的方法．同时注意特殊点的运用．
二.填空题（每小题4分，共24分）
11．投掷一枚均匀的骰子，偶数朝上的概率是 ．
【分析】在正方体骰子中，写有偶数的有3面，一共有6面，根据概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比求解即可．
解：在正方体骰子中，朝上的数字为偶数的情况有3种，分别是：2，4，6，骰子共有6面，
∴偶数朝上的概率是：．
故答案为：．
【点评】本题考查了用列举法求概率，解题的关键是熟练掌握概率公式，一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）＝且0≤P（A）≤1．
12．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，若AC＝4，则EF的长是 2 ．
【分析】连接BD，由矩形的性质可得AC＝BD＝4，由三角形的中位线定理可求解．
解：如图，连接BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝4，
∵E，F分别是AD，AB的中点，
∴EF＝BD＝2，
故答案为2．
【点评】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，掌握矩形对角线相等是解题的关键．
13．如图抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣5，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解集为 ﹣5＜x＜3 ．
【分析】先根据抛物线的对称性得到A点坐标（3，0），由y＝ax2+bx+c＞0得函数值为正数，即抛物线在x轴上方，然后找出对应的自变量的取值范围即可得到不等式ax2+bx+c＞0的解集．
解：根据图示知，抛物线y＝ax2+bx+c图象的对称轴是直线x＝﹣1，与x轴的一个交点坐标为（﹣5，0），
根据抛物线的对称性知，抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的两个交点关于直线x＝﹣1对称，即
抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的另一个交点与（﹣5，0）关于直线x＝﹣1对称，
∴另一个交点的坐标为（3，0），
∵不等式ax2+bx+c＞0，即y＝ax2+bx+c＞0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c的图象在x轴上方，
∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣5＜x＜3．
故答案为：﹣5＜x＜3．
【点评】此题主要考查了二次函数与不等式，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由图象找出当y＞0时，自变量x的范围，本题锻炼了学生数形结合的思想方法．
14．已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是 a1＞a2＞a3＞a4 ．（请用“＞”连接排序）
【分析】直接利用二次函数的图象开口大小与a的关系进而得出答案．
解：如图所示：①y＝a1x2的开口小于②y＝a2x2的开口，则a1＞a2＞0，
③y＝a3x2的开口大于④y＝a4x2的开口，开口向下，则a4＜a3＜0，
故a1＞a2＞a3＞a4．
故答案为：a1＞a2＞a3＞a4
【点评】此题主要考查了二次函数的图象，正确记忆开口大小与a的关系是解题关键．
15．对于反比例函数y＝，当x＞2时，y的取值范围是 0＜y＜3 ．
【分析】先求出x＝2时y的值，再根据反比例函数的性质即可得出结论．
解：当x＝2时，y＝3，
∵反比例函数y＝中，k＝6＞0，
∴在第一象限内y随x的增大而减小，
∴0＜y＜3．
故答案为：0＜y＜3．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y＝（k≠0）中，当k＞0时，反比例函数图象的两个分支分别位于一三象限是解答此题的关键．
16．如图是一张矩形纸片ABCD，点E在AC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线BD上的点F处；点G在AB边上，把△DAG沿直线DG折叠，使点A落在线段DF上的点H处．若HF＝1，BF＝8，则BD＝ 29 ，矩形ABCD的面积＝ 420 ．
【分析】由折叠的性质得HD＝AD，FD＝CD，设AD＝x，则HD＝x，得AB＝CD＝x+1，BD＝x+9，再在Rt△ABD中，由勾股定理得出方程，解方程，即可解决问题．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠A＝90°，
由折叠的性质得：HD＝AD，FD＝CD，
设AD＝x，则HD＝x，
∴AB＝CD＝FD＝HD+HF＝x+1，
∴BD＝FD+BF＝x+9，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：x2+（x+1）2＝（x+9）2，
解得：x＝20或x＝﹣4（舍去），
∴AD＝20，AB＝21，BD＝x+9＝29，
∴矩形ABCD的面积＝AD•AB＝20×21＝420，
故答案为：29，420．
【点评】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握翻折变换的性质和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
三.解答题（共66分）
17．（1）计算：．
（2）解方程：x2﹣4x﹣1＝0．
【分析】（1）先将化为，2×化为2，即可求解；
（2）先将方程两边同时加上5进行配方，再进行求解．
解：（1）原式＝×2﹣2
＝﹣2
＝﹣；
（2）∵x2﹣4x﹣1＝0，
∴x2﹣4x﹣1+5＝5，
∴x2﹣4x+4＝5，
∴（x﹣2）2＝5，
∴x﹣2＝±，
∴x＝2+或x＝2﹣．
【点评】本题考查解一元二次方程，二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和二次根式混合运算的运算法则．
18．在探究欧姆定律时，小明发现小灯泡电路上的电压保持不变，通过小灯泡的电流越大，灯就越亮．设选用小灯泡的电阻为R（Ω），通过的电流强度为I（A）．（欧姆定律公式：）
（1）若电阻为40Ω，通过的电流强度为0.30A，求I关于R的函数表达式；
（2）如果电阻小于40Ω，那么与原来的相比，小灯泡的亮度将发生什么变化？并说明理由．
【分析】（1）应用待定系数法解答便可；
（2）根据函数解析式求得通过现在灯泡的电流的取值范围，进而得出结论．
解：（1）根据题意知，I关于R成反比例函数关式，
设I＝，则0.3＝，
解得U＝12，
∴I关于R的函数表达式为I＝；
（2）小灯泡的亮度将比原来的灯泡更亮，理由如下：
当R＜40时，I＞，
即I＞0.3，
∴小灯泡的亮度将比原来的灯泡更亮．
【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，待定系数法，关键是用待定系数法求出函数解析式．
19．一个不透明的布袋中装有3个只有颜色不同的球，其中1个黄球、2个红球．
（1）任意摸出1个球，记下颜色后不放回，再任意摸出1个球，求两次摸出的球恰好都是红球的概率（要求画树状图或列表）；
（2）现再将n个黄球放入布袋，搅匀后，使任意摸出1个球是黄球的概率为，求n的值．
【分析】（1）画树状图，共有6种等可能的结果，两次摸出的球恰好都是红球的结果有2种，再由概率公式求解即可；
（2）由概率公式得出方程，解方程即可．
解：（1）画树状图如下：
共有6种等可能的结果，两次摸出的球恰好都是红球的结果有2种，
∴两次摸出的球恰好都是红球的概率为＝；
（2）根据题意得：＝，
解得：n＝5，
经检验：n＝5是原分式方程的解，
∴n＝5．
【点评】此题考查了树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．已知，如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，E是AC上的点，分别连结BE，DE并延长交CD于点F，交BC于点G．
（1）求证：BE＝DE；
（2）若DG⊥BF，∠BAD＝60°，AB＝2，求CE的长．
【分析】（1）由菱形的性质得出CB＝CD，∠BCE＝∠DCE，结合CE＝CE，证明△BCE≌△DCE，得出∠CBE＝∠CDE，再证明△CBG≌△CDF，即可得出DF＝BG；
（2）连接BD交AC于点O，由菱形的性质得出AB＝AD，AO＝OC，OB＝OD＝BD，AC⊥BD，结合∠BAD＝60°，证明△ABD是等边三角形，继而得出BD＝2，OB＝OD＝1，OC＝，由直角三角形斜边上中线的性质得出OE＝OB＝OD＝1，即可求出CE的长度．
【解答】（1）证明：如图1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CB＝CD，∠BCE＝∠DCE，
∵CE＝CE，
∴△BCE≌△DCE（SAS），
∴∠CBE＝∠CDE，
在△CBG和△CDF中，
，
∴△CBG≌△CDF（ASA），
∴DF＝BG；
（2）解：如图2，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是菱形，AB＝2，
∴AB＝AD，AO＝OC，OB＝OD＝BD，AC⊥BD，
∵∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝2，OB＝OD＝1，OC＝OA＝＝，
∵BG⊥DF，
∴OE＝OB＝OD＝1，
∴CE＝OC﹣OE＝﹣1．
【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，掌握菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识是解决问题的关键．
21．十三中为了创建城市文明单位，准备在操场的墙（线段MN所示，不考虑墙体长度）外开辟一处长方形的土地进行绿化美化，除墙体外三面要用栅栏围起来，计划用栅栏40米（正好用完）．
（1）长方形的各边的长为多少米时，长方形的面积最大？
（2）若9≤AB≤12，试求长方形面积S的取值范围．
【分析】（1）设AB，CD长为x，则BC＝40﹣2x，通过矩形面积公式列出S与x的关系，通过配方求解．
（2）根据AB的取值范围结合函数的性质求S的取值范围．
解：（1）设AB，CD长为x，则BC＝40﹣2x，
∵0＜40﹣2x＜40，
∴0＜x＜20．
由题意得S＝AB•BC＝（40﹣2x）x＝﹣2（x﹣10）2+200（0＜x＜20），
∴x＝10时，40﹣2x＝20，S有最大值为200，
即BC长20米，AB＝CD＝10米时，长方形面积最大值为200平方米；
（2）∵9≤AB≤12，
∴9≤x≤12，
∵S＝﹣2（x﹣10）2+200，
∴x＝10时，S有最大值，最大值为200，
当x＝9时，S＝﹣2×（9﹣10）2+200＝198，
当x＝12时，S＝﹣2×（12﹣10）2+200＝192，
∴192≤S≤200．
∴长方形面积S的取值范围为192≤S≤200．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题关键是根据题干正确得出函数关系式．
22．已知二次函数y＝mx2﹣2mx+3，其中m≠0．
（1）若二次函数的图象经过（1，4），求二次函数表达式；
（2）若该二次函数图象开口向上，当﹣1≤x≤2时，二次函数图象的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为6，求点M和点N的坐标；
（3）在二次函数图象上任取两点（x1，y1），（x2，y2），当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2，求a的取值范围．
【分析】（1）把（1，4）点的坐标代入函数解析式中求出m即可；
（2）根据抛物线开口向上得m＞0，根据函数图象的性质确定最高点和最低点，从而得出m的值，即可求出M点和N点的坐标；
（3）分开口方向向上和开口方向向下两种情况，根据图象的增减性讨论a的取值范围．
解：（1）把（1，4）代入函数解析式得，m﹣2m+3＝4，
∴m＝﹣1，
∴函数解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵抛物线开口方向向上，
∴m＞0，
∵y＝mx2﹣2mx+3＝m（x﹣1）2+3﹣m，
∴抛物线的顶点为（1，3﹣m），
∴当x＜1时y随x增大而减小，
当x≥1时，y随x增大而增大，
∴最低点N（1，3﹣m），
∵当x＝﹣1时，y＝3m+3，
当x＝2时，y＝3，
且m＞0，
∴3m+3＞3，
∴最高点M（﹣1，3m+3），
∴3m+3＝6，
∴m＝1，
代入M点和N点坐标得：M（﹣1，6），N（1，2）；
（3）①当m＞0时，
则有当x≤1时y随x增大而减小，
当x≥1时，y随x增大而增大，
又∵当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2，
此时a+2≤1，
∴a≤﹣1，
②当m＜0时，
则有当x≤1时y随x增大而增大，
当x≥1时，y随x增大而减小，
又∵当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2，
此时a≥1，
综上，当m＞0时a≤﹣1；当m＜0时，a≥1．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质是解题的关键．
23．如图①，已知正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点（点E，F不与端点重合），且AE＝DF，BE，AF交于点P，过点C作CH⊥BE交BE于点H．
（1）求证：AF⊥BE；
（2）若AB＝2，AE＝2，试求线段PH的长；
（3）如图②，连接CP并延长交AD于点Q，若点H是BP的中点，试求的值．
【分析】（1）证明△ABE≌△DAF（SAS），得出∠ABE＝∠DAF，得出∠APB＝90°，可得出结论；
（2）根据三角形ABE的面积可求出AP＝，证明△ABP≌△BCH（AAS），由全等三角形的性质得出BH＝AP＝，则PH＝BP﹣BH＝BP﹣AP，可求出答案；
（3）证得∠CBP＝∠CPB，∠QPE＝∠QEP，可得出QE＝QP＝QA，在四边形QABC中，设QP＝a，CP＝b，则AB＝BC＝b，AQ＝a，QC＝a+b，由b2+（b﹣a）2＝（a+b）2可得出a，b的关系式，则可求出答案．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝DA，∠EAB＝∠D＝90°，
又∵AE＝DF，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，
又∵∠DAF+∠FAB＝∠EAB＝90°，
∴∠ABE+∠FAB＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴AF⊥BE；
（2）解：在正方形ABCD中，∠EAB＝90°，AB＝2，AE＝2，
∴BE＝＝＝4，
∵S△ABE＝AB•AE＝BE•AP，
∴AP＝
在Rt△ABP中，BP＝＝3，
∵∠APB＝∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠HBC＝90°，∠HCB+∠HBC＝90°，
∴∠ABP＝∠HCB，
∵CH⊥BE，
∴∠HCB＝90°，
又∵AB＝BC，
∴△ABP≌△BCH（AAS），
∴BH＝AP＝，
∴PH＝BP﹣BH＝BP﹣AP＝3﹣．
（3）解：在正方形ABCD中，AB＝BC，AD∥BC，
∵CH⊥BP，PH＝BH，
∴CP＝BC，
∴∠CBP＝∠CPB，
∵∠CPB＝∠QPE，∠CBP＝∠QEP，
∴∠QPE＝∠QEP，
在Rt△APE中，∠QAP＝∠QPA，
∴QE＝QP＝QA，
在四边形QABC中，设QP＝a，CP＝b，
则AB＝BC＝b，AQ＝a，QC＝a+b，
∵DC2+DQ2＝CQ2，
∴b2+（b﹣a）2＝（a+b）2，
∴b2＝4ab，
即b＝4a，
∴．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，平行线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想解决问题，学会用方程的思想方法解决问题．
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