2023届湖北省圆梦杯高三下学期统一模拟（二）数学试题Word版含答案
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2023年普通高等学校招生“圆梦杯”统一模拟考试（二）
数学试卷
本试卷共4页，22题.全卷满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.答题前，请务必将自己的姓名､准考证号用黑色字迹的签字笔分别填写在试题卷和答题卡规定的位置上.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2.已知向量的夹角为，若，则（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
3.已知等差数列的前项和为，命题“”，命题“”，则命题是命题的（ ）
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
4.若正数满足，则的最小值为（ ）
A. B. C.2 D.
5.已知函数图像的对称轴为，则图像的对称轴为（ ）
A. B.
C. D.
6.已知直三棱柱存在内切球，若，则该三棱柱外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
7.用组成没有重复数字的四位数，其中能被15整除的有（ ）
A.38个 B.40个 C.42个 D.44个
8.在农业生产中，自动化控制技术的应用有效提高了农业生产效率.如图所示，在某矩形试验田中，为中点，为中点，三角形区域种植小麦，梯形区域种植玉米.为提高劳动效率，节约用水，现采用自动浇水机器人（忽略机器人的面积）对试验田进行灌溉.已知该机器人沿着以为焦点，为准线的抛物线运动，且向以自身为圆心，半径为的圆形区域内浇水.记小麦田能够被机器人灌溉的面积为，则（ ）（若直线与抛物线相切于点，平行于的直线与交于两点，记与围成的图形面积为的面积为，则）
A. B.
C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.若复数，则（ ）
A. B.
C. D.
10.已知随机事件的概率分别为，且，则（ ）
A.事件与事件相互独立 B.事件与事件相互对立
C. D.
11.已知函数在区间内存在两个极值点，则（ ）
A. B.
C. D.
12.已知，定义：表示不超过的最大整数，例如.若函数，其中，则（ ）
A.当时，存在零点
B.若，则
C.若，则
D.若，则
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.二项式的展开式中，常数项为__________（用数字作答）
14.若，则__________.
15.曲线围成的封闭图形的面积为__________，若直线与恰有两个公共点，则的取值范围为__________.（第一空2分，第二空3分）
16.在矩形中，，点是线段上的一点，且满足.现将与分别沿进行翻折，使点落到边上，得到与，若线段上存在一点（含端点），满足，则的取值范围为__________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（10分）
记的内角的对边分别为，设的外接圆半径为，且.
（1）求；
（2）若，求的面积.
18.（12分）
已知数列的前项和为，若.
（1）求；
（2）记，求数列的前项和.
19.（12分）
如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，内接于为的一条弦，且平面.
（1）求的最小值；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
20.（12分）
五一小长假到来，多地迎来旅游高峰期，各大旅游景点都推出了种种新奇活动以吸引游客，小明去成都某熊猫基地游玩时，发现了一个趣味游戏，游戏规则为：在一个足够长的直线轨道的中心处有一个会走路的机器人，游客可以设定机器人总共行走的步数，机器人每一步会随机选择向前行走或向后行走，且每一步的距离均相等，若机器人走完这些步数后，恰好回到初始位置，则视为胜利.
（1）若小明设定机器人一共行走4步，记机器人的最终位置与初始位置的距离为步，求的分布列和期望；
（2）记为设定机器人一共行走步时游戏胜利的概率，求，并判断当为何值时，游戏胜利的概率最大；
（3）该基地临时修改了游戏规则，要求机器人走完设定的步数后，恰好第一次回到初始位置，才视为胜利.小明发现，利用现有的知识无法推断设定多少步时获得胜利的概率最大，于是求助正在读大学的哥哥，哥哥告诉他，“卡特兰数”可以帮助他解决上面的疑惑：将个0和个1排成一排，若对任意的，在前个数中，0的个数都不少于1的个数，则满足条件的排列方式共有种，其中，的结果被称为卡特兰数.若记为设定机器人行走步时恰好第一次回到初始位置的概率，证明：对（2）中的，有
21.（12分）
已知抛物线，双曲线，点在的左支上，过作轴的平行线交于点，过作的切线，过作直线交于点，交于点，且.
（1）证明：与相切；
（2）过作轴的平行线交的左支于点，过的直线平分，记的斜率为，若，证明：恒为定值.
22.（12分）
已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若，求的取值范围.
2023 年普通高等学校招生“圆梦杯”高三统一模拟考试数学试卷： 这是一份2023 年普通高等学校招生“圆梦杯”高三统一模拟考试数学试卷，共4页。
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