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宁夏银川一中2021届高三第四次模拟考试数学理科试题 Word版含答案
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2021年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题卷
( 银川一中第四次模拟考试 )
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.作答时,务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.集合,,则集合的真子集个数为
A.0 B.1 C.2 D.3
2.已知复数,则的虚部是
A. B. C.1 D.i
3.已知数列是首项为,公差为的等差数列,前项和为,满足,则
A.35 B.40 C.45 D.50
4.设直线l1:2x-my=1,l2:(m-1)x-y=1,则“m=2”是“l1∥l2”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知,,,记与夹角为,则cos为
A. B. C. D.
6.算盘是中国传统的计算工具,是中国人在长期使用算筹的基础上发明的,“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》,其中有云:“珠算控带四时,经纬三才.”北周甄鸾为此作注,大意是:把木板刻为3部分,上、下两部分是停游珠用的,中间一部分是作定位用的.下图是一把算盘的初始状态,自右向左,分别是个位、十位、百位…,上面一粒珠(简称上珠)代表5,下面一粒珠(简称下珠)是1,即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠,往上拨3粒下珠,得到的数为质数(除了1和本身没有其它的约数)的概率是
A. B. C. D.
7.苏格兰数学家科林麦克劳林(Colin Maclaurin)研究出了著名的Maclaurin级数展开式,受到了世界上顶尖数学家的广泛认可,下面是麦克劳林建立的其中一个公式:,试根据此公式估计下面代数式的近似值为( )(可能用到数值)
A.3.23 B.
C.1.881 D.1.23
8.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
A.
B.
C.
D.
9.若在上存在单调递增区间,则的取值范围是
A., B. C., D.
10.设,是椭圆长轴的两个端点,若上存在点满足,则的取值范围是
A. B. C. D.
11.关于函数有下列四个结论:①f(x)的值域为[﹣1,2];
②f(x)在[0,]上单调递减;③f(x)的图象关于直线x=对称;④f(x)的最小正周期为π.上述结论中,不正确命题的个数有
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
12.若函数有极值点,,且,则关于的方程的不同实根个数是
A.2 B.3 C.3或4 D.3或4或5
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.若实数x,y满足约束条件,则取得最大值的最优解为_________.
14.由围成封闭图形的面积为_________.
15.已知双曲线的左右焦点分别是,,点是的右支上的一点(不是顶点),过作的角平分线的垂线,垂足是,是原点,则______.
16.九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏,它由九个铁丝圆环相连成串,按一定规则移动圆环的次数,决定解开圆环的个数在某种玩法中,用表示解下个圆环所需的最少移动次数,数列满足,且则解下n(n为奇数)个环所需的最少移动次数为_________.(用含n的式子表示)
三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分)
17.(12分)
已知函数.
(1)求函数f(x)的单调递减区间;
(2)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,
求acosB﹣bcosC的取值范围.
18.(12分)
有一款击鼓小游戏规则如下:每盘游戏都需要击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得50分,没有出现音乐则扣除150分(即获得一150分).设每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓出现音乐相互独立.
(1)玩一盘游戏,至少出现一次音乐的概率是多少?
(2)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列;许多玩过这款游戏的人都发现,玩的盘数越多,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析其中的道理.
19.(12分)
如图,在四棱锥P﹣ABCD中,侧棱PA⊥底面ABCD,AD∥BC,∠ABC=90°,PA=AB=BC=2,AD=1,M是棱PB中点.
(1)求证:AM∥平面PCD;
(2)设点N是线段CD上一动点,且DN=λDC,
当直线MN与平面PAB所成的角最大时,求λ的值.
20.(12分)
已知函数,.
(1)若,求曲线在点处的切线方程;
(2)若对于任意,都有成立,求实数m的取值范围.
21.(12分)
在直角坐标系xOy中,动圆P与圆Q:(x﹣2)2+y2=1外切,且圆P与直线x=﹣1相切,记动圆圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的轨迹方程;
(2)设过定点S(﹣2,0)的动直线l与曲线C交于A,B两点,试问:在曲线C上是否存在点M(与A,B两点相异),当直线MA,MB的斜率存在时,直线MA,MB的斜率之和为定值?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.[选修4-4:坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中,圆C的参数方程为(α为参数),以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,且长度单位相同.
(1)求圆C的极坐标方程;
(2)若过原点的直线l被圆C截得的弦长为2,求直线l的倾斜角.
23.[选修4-5:不等式选讲]
已知.
(1)若,解不等式;
银川一中2021届高三第四次模拟数学(理科)试卷参考答案
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
D | C | C | A | D | B | B | D | D | C | A | B |
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(-2,-5) 14. 15.4 16.
三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
17.【解答】解:(1)由题意可得f(x)=sinxsin(x)+cos2(x)
sinx(sinxcosx)cos(2x)
sin2xcos2xsin2x
sin2x,
令2kπ≤2x2kπ,k∈Z,解得kπ≤xkπ,k∈Z,
故函数f(x)的单调递减区间为[kπ,kπ],k∈Z.
(2)由(1)知f()sinB,解得sinB,
因为B∈(0,),所以B,
由正弦定理可知2,则a=2sinA,c=2sinC,
所以acosB﹣bcosCcosC=sinAcos(π﹣A)=sinAcos(A)=sinAcosAsinAcosAsinA=cos(A),
在锐角△ABC中,可得可得A,
因此,则cos(A)∈(,),
故acosB﹣bcosC的取值范围为(,).
18.【解答】解:(Ⅰ)每盘游戏都需要击鼓三次,每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓出现音乐相互独立.
∴玩一盘游戏,至少出现一次音乐的概率是:p=1,
(Ⅱ)设每盘游戏获得的分数为X,则X可能取值为﹣150,10,20,50,
P(X=﹣150),
P(X=10),
P(X=20),
P(X=50),
∴X的分布列为:
X | ﹣150 | 10 | 20 | 50 |
P |
|
|
|
|
∴E(X),
∴每盘游戏得分的平均数是,得负分,
∴由概率统计的相关知识可知:玩的盘数越多,分数没有增加反而减少了.
19.【解答】(Ⅰ)证明:以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),D(1,0,0),P(0,0,2),M(0,1,1),
∴(0,1,1),(1,0,﹣2),(﹣1,﹣2,0)
设平面PCD的法向量是(x,y,z),则
令z=1,则x=2,y=﹣1,于是
∵,∴,∴AM∥平面PCD …(6分)
(Ⅱ)解:由点N是线段CD上的一点,可设
又面PAB的法向量为(1,0,0)
设MN与平面PAB所成的角为θ
则
∴ 时,即时,sinθ最大,
∴MN与平面PAB所成的角最大时
20.【详解】(1),
,则
所以在点处的切线方程为 即
(3)因为对于任意,都有成立,所以,
即问题转化为对于恒成立,
即对于恒成立,
令,则,
令,,则,
所以在区间上单调递增,
故,进而,
所以在区间上单调递增,
函数,
要使对于恒成立,只要,
所以,即实数m的取值范围是.
21.【解答】解:(1)设P(x,y),圆P的半径为r,
因为动圆P与圆Q:(x﹣2)2+y2=1外切,………………………………………(1分)
所以,①………………………………………………………(2分)
又动圆P与直线x=﹣1相切,
所以r=x+1,②………………………………………………………………………(3分)
由①②消去r得y2=8x,
所以曲线C的轨迹方程为y2=8x.…………………………………………………(5分)
(2)假设存在曲线C上的点M满足题设条件,不妨设M(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),
则,,,,,…(6分)
所以,③…………(7分)
显然动直线l的斜率存在且非零,设l:x=ty﹣2,
联立方程组,消去x得y2﹣8ty+16=0,
由△>0得t>1或t<﹣1,所以y1+y2=8t,y1y2=16,且y1≠y2.…………………(8分)
代入③式得,令(m为常数),
整理得,④………………………(9分)
因为④式对任意t∈(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)恒成立,
所以,…………………………………………………(10分)
所以或,即M(2,4)或M(2,﹣4),
即存在曲线C上的点M(2,4)或M(2,﹣4)满足题意.…………………(12分)
22.【解析】(1)圆C的参数方程为(α为参数),转换为普通方程为:,即,
进一步利用,得到圆C的极坐标方程为;
(2)由l:或,由圆C的圆心,r=2,又弦长为2,
∴圆心C到l的距离,解得k,所以直线的倾斜角为150°,
当直线经过原点,且斜率不存在时,所截得的弦长也为2,故直线的倾斜角为90°.
∴l的倾斜角φ=90°或φ=150°.
23.【解析】 (2)
【详解】解:(1)∵,∴解不等式就是解不等式.
当时,原不等式可化为,∴.
当时,原不等式可化为,∴.
当时,原不等式可化为,∴.
所以,原不等式解集为.
(2),∴
当时,,∴原不等式无解成立.
当时,,要原不等式无解,∴,,
∴.当时,,∴原不等式一定有解.
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