宁夏银川一中2021届高三第四次模拟考试数学理科试题 Word版含答案

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2021年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题卷

( 银川一中第四次模拟考试 )

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．集合，，则集合的真子集个数为

A．0 B．1 C．2 D．3

2．已知复数，则的虚部是

A． B． C．1 D．i

3．已知数列是首项为，公差为的等差数列，前项和为，满足，则

A．35 B．40 C．45 D．50

4．设直线l1：2x－my＝1，l2：(m－1)x－y＝1，则“m＝2”是“l1∥l2”的

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充分必要条件   D．既不充分也不必要条件

5．已知，，，记与夹角为，则cos为

A． B． C． D．

6．算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位…，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨3粒下珠，得到的数为质数（除了1和本身没有其它的约数）的概率是

A． B． C． D．

7．苏格兰数学家科林麦克劳林(Colin Maclaurin)研究出了著名的Maclaurin级数展开式，受到了世界上顶尖数学家的广泛认可，下面是麦克劳林建立的其中一个公式：，试根据此公式估计下面代数式的近似值为（    ）（可能用到数值）

A．3.23  B． 

C．1.881  D．1.23

8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A． 

B．

C． 

D．

9．若在上存在单调递增区间，则的取值范围是

A．， B． C．， D．

10．设，是椭圆长轴的两个端点，若上存在点满足，则的取值范围是

A． B． C． D．

11．关于函数有下列四个结论：①f（x）的值域为[﹣1，2]；

②f（x）在[0，]上单调递减；③f（x）的图象关于直线x＝对称；④f（x）的最小正周期为π.上述结论中，不正确命题的个数有

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

12．若函数有极值点，，且，则关于的方程的不同实根个数是

A．2   B．3    C．3或4   D．3或4或5

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．若实数x，y满足约束条件，则取得最大值的最优解为_________．

14．由围成封闭图形的面积为_________.

15．已知双曲线的左右焦点分别是，，点是的右支上的一点（不是顶点），过作的角平分线的垂线，垂足是，是原点，则______.

16．九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数，决定解开圆环的个数在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的最少移动次数，数列满足，且则解下n(n为奇数)个环所需的最少移动次数为_________.（用含n的式子表示）

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分)

17.（12分）

已知函数.

（1）求函数f（x）的单调递减区间；

（2）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且,

求acosB﹣bcosC的取值范围．

18．(12分)

有一款击鼓小游戏规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得50分，没有出现音乐则扣除150分（即获得一150分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．

（1）玩一盘游戏，至少出现一次音乐的概率是多少？

（2）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；许多玩过这款游戏的人都发现，玩的盘数越多，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析其中的道理．

19．(12分)

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，M是棱PB中点．

（1）求证：AM∥平面PCD；

（2）设点N是线段CD上一动点，且DN＝λDC，

当直线MN与平面PAB所成的角最大时，求λ的值．

20．(12分)

已知函数，.

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）若对于任意，都有成立，求实数m的取值范围.

21．(12分)

在直角坐标系xOy中，动圆P与圆Q：（x﹣2）2+y2＝1外切，且圆P与直线x＝﹣1相切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C．

（1）求曲线C的轨迹方程；

（2）设过定点S（﹣2，0）的动直线l与曲线C交于A，B两点，试问：在曲线C上是否存在点M（与A，B两点相异），当直线MA，MB的斜率存在时，直线MA，MB的斜率之和为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且长度单位相同．

（1）求圆C的极坐标方程；

（2）若过原点的直线l被圆C截得的弦长为2，求直线l的倾斜角．

23．[选修4-5：不等式选讲]

已知．

（1）若，解不等式；

银川一中2021届高三第四次模拟数学(理科)试卷参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.（-2，-5）  14.   15.4   16.

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17．【解答】解：（1）由题意可得f（x）＝sinxsin（x）+cos2（x）

sinx（sinxcosx）cos（2x）

sin2xcos2xsin2x

sin2x，

令2kπ≤2x2kπ，k∈Z，解得kπ≤xkπ，k∈Z，

故函数f（x）的单调递减区间为[kπ，kπ]，k∈Z．

（2）由（1）知f（）sinB，解得sinB，

因为B∈（0，），所以B，

由正弦定理可知2，则a＝2sinA，c＝2sinC，

所以acosB﹣bcosCcosC＝sinAcos（π﹣A）＝sinAcos（A）＝sinAcosAsinAcosAsinA＝cos（A），

在锐角△ABC中，可得可得A，

因此，则cos（A）∈（，），

故acosB﹣bcosC的取值范围为（，）．

18.【解答】解：（Ⅰ）每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．

∴玩一盘游戏，至少出现一次音乐的概率是：p＝1，

（Ⅱ）设每盘游戏获得的分数为X，则X可能取值为﹣150，10，20，50，

P（X＝﹣150），

P（X＝10），

P（X＝20），

P（X＝50），

∴X的分布列为：

∴E（X），

∴每盘游戏得分的平均数是，得负分，

∴由概率统计的相关知识可知：玩的盘数越多，分数没有增加反而减少了．

19．【解答】（Ⅰ）证明：以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（1，0，0），P（0，0，2），M（0，1，1），

∴（0，1，1），（1，0，﹣2），（﹣1，﹣2，0）

设平面PCD的法向量是（x，y，z），则

令z＝1，则x＝2，y＝﹣1，于是

∵，∴，∴AM∥平面PCD                          …（6分）

（Ⅱ）解：由点N是线段CD上的一点，可设

又面PAB的法向量为（1，0，0）

设MN与平面PAB所成的角为θ

则

∴ 时，即时，sinθ最大，

∴MN与平面PAB所成的角最大时        

20．【详解】（1），

，则

所以在点处的切线方程为 即

（3）因为对于任意，都有成立，所以，

即问题转化为对于恒成立，

即对于恒成立，

令，则，

令，，则，

所以在区间上单调递增，

故，进而，

所以在区间上单调递增，

函数，

要使对于恒成立，只要，

所以，即实数m的取值范围是.

21．【解答】解：（1）设P（x，y），圆P的半径为r，

因为动圆P与圆Q：（x﹣2）2+y2＝1外切，………………………………………（1分）

所以，①………………………………………………………（2分）

又动圆P与直线x＝﹣1相切，

所以r＝x+1，②………………………………………………………………………（3分）

由①②消去r得y2＝8x，

所以曲线C的轨迹方程为y2＝8x．…………………………………………………（5分）

（2）假设存在曲线C上的点M满足题设条件，不妨设M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），

则，，，，，…（6分）

所以，③…………（7分）

显然动直线l的斜率存在且非零，设l：x＝ty﹣2，

联立方程组，消去x得y2﹣8ty+16＝0，

由△＞0得t＞1或t＜﹣1，所以y1+y2＝8t，y1y2＝16，且y1≠y2．…………………（8分）

代入③式得，令（m为常数），

整理得，④………………………（9分）

因为④式对任意t∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）恒成立，

所以，…………………………………………………（10分）

所以或，即M（2，4）或M（2，﹣4），

即存在曲线C上的点M（2，4）或M（2，﹣4）满足题意．…………………（12分）

22．【解析】（1）圆C的参数方程为（α为参数），转换为普通方程为：，即，

进一步利用，得到圆C的极坐标方程为；

（2）由l：或，由圆C的圆心，r=2，又弦长为2，

∴圆心C到l的距离，解得k，所以直线的倾斜角为150°，

当直线经过原点，且斜率不存在时，所截得的弦长也为2，故直线的倾斜角为90°．

∴l的倾斜角φ=90°或φ=150°．

23．【解析】       (2)

【详解】解：（1）∵，∴解不等式就是解不等式．

当时，原不等式可化为，∴．

当时，原不等式可化为，∴．

当时，原不等式可化为，∴．

所以，原不等式解集为．

（2），∴

当时，，∴原不等式无解成立．

当时，，要原不等式无解，∴，，

∴．当时，，∴原不等式一定有解．