2022-2023学年河南省郑州重点中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年河南省郑州外国语中学八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A. 斐波那契螺旋线 B. 笛卡尔心形线
C. 赵爽弦图 D. 科克曲线

2.  不等式组的解集，在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子的游戏，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的(    )

A. 三条角平分线的交点 B. 三边中线的交点
C. 三边上高所在直线的交点 D. 三边的垂直平分线的交点

4.  如图，在中，，，平分，交于点，若，则的长度等于(    )

A.
B.
C.
D.

5.  中，，，的对边分别记为，，，由下列条件不能判定为直角三角形的是(    )

A.  B. ：：：：
C.  D. ：：：：

6.  牛顿曾说过：反证法是数学家最精良的武器之一，我们用反证法证明命题：“三角形中至少有一个角大于或等于”，应先假设(    )

A. 三角形中三个内角都大于 B. 三角形中有一个内角小于
C. 三角形中有一个内角等于 D. 三角形中三个内角都小于

7.  的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点，若，则(    )

A.
B.
C.
D.

8.  不等式组的解集为，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，一位同学拿了两块的三角尺、做了一个探究活动：将的直角顶点放在的斜边的中点处，设，猜想此时重叠部分四边形的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，面积为的等腰，，点、点在轴上，且、，规定把“先沿轴翻折，再向下平移个单位”为一次变换，这样连续经过次变换后，顶点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11.  “的倍与的差是负数”用不等式表示为______ ．

12.  若实数，满足，则以，的值为边长的等腰三角形的周长为______ ．

13.  如图，在中，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于，两点，作直线，分别交线段，于点，，若，的周长为，则的周长为______ ．

14.  对于任意实数、，定义一种运算：，例如，，请根据上述的定义解决问题：若不等式，则不等式的所有正整数解的和是______ ．

15.  如图，正方形的边长是，点在边上，，点是边上不与点，重合的一个动点，把沿折叠，点落在处．若恰为等腰三角形，则的长为______．
 

三、解答题（本大题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
下面是小英解不等式的过程：
去分母，得，
移项、合并同类项，得，
两边都除以，得．
先阅读以上解题过程，然后解答下列问题．
小英的解题过程从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号______ ；
错误的原因是______ ；
第步的依据是______ ；
该不等式的解集应该是______ ．

17.  本小题分
如图，的三个顶点的坐标分别为、、．
将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；
平移，若对应点的坐标为，画出平移后对应的；
若将绕某一点旋转得到，请直接写出旋转中心的坐标为
______ ．

18.  本小题分
如图，在中，，点在上运动，点在上运动，始终保持与相等，的垂直平分线交于点，交于点，连接．
判断与的位置关系，并说明理由；
若，，，求线段的长．

19.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为．
求，的值；
请直接写出不等式的解集；
为射线上一点，过点作轴的平行线，交于点，当时，求点的坐标．

20.  本小题分
年，教育部印发义务教育课程方案和课程标准年版，将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来，并发布义务教育劳动课程标准年版通过劳动教育，不仅可以培养学生的生存技能，还可以锻炼他们的意志品质，引导学生树立劳动意识，培养最基本的劳动习惯，最终形成正确的新时代劳动价值观郑州市二七区某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要去某菜苗基地采购，两种菜苗开展种植活动，若购买捆种菜苗和捆种菜苗共需元；若购买捆种菜苗和捆种菜苗共需元．
求菜苗基地种菜苗和种菜苗每捆的单价；
学校决定用元去菜苗基地购买，两种菜苗共捆，菜苗基地为支持该校活动，对，两种菜苗均提供九折优惠，求本次购买最多可购买多少捆种菜苗？

21.  本小题分
新定义：如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．
在方程；；中，不等式组的关联方程是______ 填序号．
若不等式组的某个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是______ 写出一个即可
若方程，都是关于的不等式组的关联方程，直接写出的取值范围．

22.  本小题分
阅读下列材料，解答问题：
材料：从等腰三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个三角形都是等腰三角形，我们把这条线段叫做三角形的完美分割线例如：线段把等腰分成与如图，如果与均为等腰三角形，那么线段叫做的完美分割线．
解答下列问题：
如图，已知中，，，为的完美分割线，且，则 ______ ， ______ ；
如图，已知中，，，，求证：为的完美分割线；
如图，已知是一等腰三角形纸片，，是它的一条完美分割线，且，将沿直线折叠后，点落在点处，交于点，求证：

答案和解析

1.【答案】 

解：不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：．
根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原来的图形重合．
 

2.【答案】 

解：由，得，又，
则不等式组的解集为．
选项代表；
选项代表；
选项代表或；
选项代表．
故选：．
先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．
解不等式组得：，再分别表示在数轴上即可得解．
本题考查了在数轴上表示不等式的解集．把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
 

3.【答案】 

解：三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等，
为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的三边的垂直平分线的交点，
故选：．
根据三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等可得答案．
本题主要考查游戏公平性，判断游戏公平性需要考虑每个事件的概率是否相等，概率相等就公平，否则就不公平，并熟练掌握线段垂直平分线的性质．
 

4.【答案】 

解：如图所示，过作于，

，，平分，
，，
，
，
中，，
，
，
故选：．
过作于，依据是等腰直角三角形，即可得到的长，进而得到的长，可得答案．
本题主要考查了角平分线的的性质以及等腰直角三角形，等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．
 

5.【答案】 

解：、，又，则，是直角三角形；
B、：：：：，又，则，是直角三角形；
C、由，得，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
D、，设，，，，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．
故选：．
由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可．
本题考查了直角三角形的判定，注意在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
 

6.【答案】 

解：用反证法证明：“三角形中至少有一个角大于或等于”时，
第一步先假设三角形中三个内角都小于，
故选：．
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：假设结论不成立；从假设出发推出矛盾；假设不成立，则结论成立．
 

7.【答案】 

解：把代入，得，
解得，
所以当时，，
即的解集为．
故选：．
先利用正比例函数解析式确定点坐标，然后利用函数图象，写出一次函数的图象在正比例函数图象上方所对应的自变量的范围．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查解一元一次不等式组，解此题的关键是能根据不等式的解集和已知得出关于的不等式，难度适中．
求出每个不等式的解集，根据已知得出关于的不等式解出即可．
【解答】
解：解不等式组，
得．
不等式组的解集为，
，
解得．
故选：．  

9.【答案】 

解：连接，如图所示：
在等腰直角中，，，
是的中点，
，，，
在等腰直角中，，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形的面积，
故选：．
连接，根据等腰直角三角形的性质，易证≌，根据全等三角形的性质可得，再根据四边形的面积求解即可．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

10.【答案】 

解：面积为的等腰，，、，
点到轴的距离为，横坐标为，
，
第次变换后，点的坐标为，
第次变换后，点的坐标为，
第次变换后，点的坐标为，
第次变换后，点的坐标为，
第次变换后，点的坐标为，，
以此可发现规律：当经过次变换后，为奇数时，点的横坐标为，纵坐标为；当经过次变换后，为偶数时，点的横坐标为，纵坐标为．
第次变换后，点的坐标为．
故选：．
根据题意可得点，第次变换后，点的坐标为，第次变换后，点的坐标为，第次变换后，点的坐标为，第次变换后，点的坐标为，第次变换后，点的坐标为，，以此可发现规律：当经过次变换后，为奇数时，点的横坐标为，纵坐标为；当经过次变换后，为偶数时，点的横坐标为，纵坐标为以此即可解答．
本题考查了翻折变换、规律型：点的坐标、等腰三角形的性质、坐标与图形变化，根据对称和平移的性质总结出点坐标变化的规律是解题关键．
 

11.【答案】 

解：根据题意得：．
故答案为：．
根据“的倍与的差是负数”，可得出关于的一元一次不等式，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
 

12.【答案】 

解：根据题意得，，，
解得，，
是腰长时，三角形的三边分别为、、，
，
不能组成三角形；
是底边时，三角形的三边分别为、、，
能组成三角形，周长．
所以，三角形的周长为．
故答案为：．
先根据非负数的性质列式求出、的值，再分是腰长与底边两种情况讨论求解．
本题考查了等腰三角形的性质，绝对值与算术平方根的非负数的性质，根据几个非负数的和等于，则每一个算式都等于求出、的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．
 

13.【答案】 

解：由作法得垂直平分，
，，
的周长为，
，
即，
，
的周长．
故答案为：．
先利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，，再利用等线段代换得到，然后利用的周长进行计算．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．
 

14.【答案】 

解：不等式，
，
，
，
，
该不等式的所有正整数解为：，，
不等式的所有正整数解的和是，
故答案为：．
根据定义的新运算可得，然后按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了一元一次不等式的整数解，实数的运算，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】

【分析】
本题考查了翻折变换，利用了翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，根据翻折的性质，可得的长，根据勾股定理，等腰三角形的判定，可得答案．
【解答】
解：当时，
过点作，交于，交于，如图，

则，
当时，，
由，，得．
由翻折的性质，得．
，
，
，
；
当时，则易知点在上且不与点、重合；
当时，则，
由翻折的性质，得，
点、在的垂直平分线上，
垂直平分，由折叠，得也是线段的垂直平分线，
点与点重合，这与已知“点是边上不与点，重合的一个动点”不符，
故此种情况不存在，应舍去．
综上所述，的长为或．
故答案为或．  

16.【答案】  去分母时，不等式左边第二项没有乘  不等式的基本性质   

解：小明的解题过程从第步出现错误；
故答案为：；
错误的原因是：去分母时，不等式左边第二项没有乘；
故答案为：去分母时，不等式左边第二项没有乘；
第步的依据是不等式的基本性质；
故答案为：不等式的基本性质；
正确解答为：
去分母得：，
移项、合并得：，
系数化为得：．
故答案为：．
观察小明解题过程，找出错误的步骤即可；
分析错误的原因即可；
利用不等式的基本性质判断即可；
写出正确的解答即可．
此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
 

17.【答案】 

解：如图所示，


如图所示；


如图，旋转中心为；
故答案为：．
根据网格结构找出点、、旋转后的对应点、、的位置，然后顺次连接即可；
找出平移后的对应点、、的位置，然后顺次连接即可；
根据旋转的定义结合图形，连接两对对应点，交点即为旋转中心．
本题考查了作图旋转变换、作图平移变换，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
 

18.【答案】解：，理由如下：
，
，
垂直平分，
，
，
在中，，
，
，
，
；
连接，如图所示：
，，，
，，
设，
则，
在中，根据勾股定理，得，
在中，根据勾股定理，得，
，
解得，
． 

【解析】根据等腰三角形的性质可得，根据线段垂直平分线的性质可得，，进一步可得，即可得证；
连接，在中，根据勾股定理，得，在中，根据勾股定理，得，列方程求解即可．
本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握这些性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：在中，令得，
，
把，代入得：
，
解得，
的值是，的值是；
由图象可得，当时，直线在直线上方，
的解集为，
不等式的解集为；
由知，直线的解析式为，
令得，
，
，
设，则，
，
，
解得，
的坐标为． 

【解析】求出，再用待定系数法可得的值是，的值是；
观察图象不等式的解集为；
由，得，，设，则，有，即可解得答案．
本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，一次函数图象上点坐标的特征，解题的关键是用含的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
 

20.【答案】解：设菜苗基地种菜苗每捆的单价为元，种菜苗每捆的单价为元，
根据题意得：，
解得：．
答：菜苗基地种菜苗每捆的单价为元，种菜苗每捆的单价为元；
设本次可购买捆种菜苗，则可购买捆种菜苗，
根据题意得：，
解得：，
的最大值为．
答：本次购买最多可购买捆种菜苗． 

【解析】设菜苗基地种菜苗每捆的单价为元，种菜苗每捆的单价为元，根据“购买捆种菜苗和捆种菜苗共需元；购买捆种菜苗和捆种菜苗共需元”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设本次可购买捆种菜苗，则可购买捆种菜苗，利用总价单价数量，结合总价不超过元，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

21.【答案】   

解：解方程得；
解方程得；
解方程得，
解不等式组得：，
所以是不等式组的关联方程，
故答案为：；

解不等式组得：，
不等式组的整数解是、，
不等式组的某个关联方程的根是整数，
不等式组的一个“关联方程”为；
故答案为：；

解方程得：，
解方程得：，
不等式组的解集为，
方程，都是关于的不等式组的关联方程，
，
解得：，
即的取值范围是．
先求出一元一次方程的解和一元一次不等式组的解集，得出答案即可；
先求出不等式组的解集，再求出不等式的整数解，即可求得“关联方程”；
先求出不等式组的解集和一元一次方程的解，再得出关于的不等式组，求出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次方程和解一元一次不等式组，能理解不等式组的关联方程的含义是解此题的关键．
 

22.【答案】   

【解析】解：如图中，，，
，
为的完美分割线，且，
，
，
．
故答案为：，；

证明：如图中，，
，
，
，
，
，
，
是的完美分割线；

证明：是的完美分割线，，
，，
，，
由翻折变换的性质可知，
，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
≌．
根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理求解即可；
想办法证明，可得结论；
证明≌，可得结论．
本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，新定义，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．