2023年四川省成都市金牛区中考数学二诊试卷（含解析）

这是一份2023年四川省成都市金牛区中考数学二诊试卷（含解析），共54页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年四川省成都市金牛区中考数学二诊试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共18小题，共72分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各数中，比小的数是(    )
A. B. C. D.
2. 年世界杯在卡塔尔举办，为了办好这届世界杯，人口仅有万的卡塔尔投资亿美元修建各项设施数据亿用科学记数法表示为(    )
A. B. C. D.
3. 下列正面摆放的几何体中，左视图是三角形的是(    )
A. B. C. D.
4. 下列计算正确的是(    )
A. B. C. D.
5. 已知，如图，点是以为直径的半圆上一点，过点作的切线，于点，若，则的度数是(    )
A.
B.
C.
D.
6. 合肥市某校九年级、班共有名女生和名男生分别被评为“智慧之星”，要从这位学生中随机抽取一男一女两位学生做获奖感言，女同学杨玲和男同学张军恰好来自同一班级，则他俩同时被抽中的概率为(    )
A. B. C. D.
7. 如图，在中，，点和点分别是和上的点，已知，，，，则的长为(    )
A.
B.
C.
D.
8. 已知，，若，则下列等式成立的是(    )
A. B. C. D.
9. 如图，在中，，，平分，交于点，则(    )
A.
B.
C.
D.
10. 在等边中，、是中线，点是上点不与、重合，点是上一点，连接交于点，，以下结论错误的是(    )
A. 当时， B. 当时，
C. D. 点不可能是的中点
11. 在，，，四个数中，最大的数是(    )
A. B. C. D.
12. 如图所示的几何体是由个完全相同的小正方体搭成，其主视图大致是(    )
A.
B.
C.
D.


13. 年，成都新改扩建幼儿园、中小学所，新增学位个，新建人才公寓套、保障性租赁住房套，一批医疗卫生、公共服务等重大项目超额完成目标任务将数据用科学记数法表示为(    )
A. B. C. D.
14. 下列计算正确的是(    )
A. B.
C. D.
15. 如图，是内的一条射线，、、分别是射线、射线、射线上的点，、、都不与点重合，连接、，添加下列条件，能判定≌的是(    )

A. ，
B. ，，
C. ，
D. ，
16. 若关于的分式方程有增根，则的值是(    )
A. B. C. D.
17. 如图，正五边形内接于，连结、，则的大小是(    )
A.
B.
C.
D.
18. 二次函数的图象开口向上，与轴的交点坐标为和，下列说法正确的是(    )
A. B. 时，的值随值增大而减小
C. 对称轴是直线 D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共14小题，共60分）
19. 的立方根是______．
20. 因式分解：______．
21. 如图，点是双曲线是常数上一点，点，是双曲线是常数上一点，轴，轴，若四边形的面积为，则 ______ ．


22. 和的位置如图，，，连接，且，则：
若，则 ______ 用含的代数式来表示；
若，则的长为______ ．


23. 在一个不透明的箱子中有黄球和红球共个，它们除颜色外都相同，若任意摸出一个球，摸到红球的概率为，则这个箱子中红球的个数为______ 个
24. 不等式组的解集是______
25. 如图，以点为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的周长为，则四边形的周长为______ ．

26. 方程的解是______ ．
27. 如图，矩形的对角线、，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，再分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交点为，作射线与交点为，若，则 ______


28. 已知，，则 ______ ．
29. 关于的方程有两个不同的实数根，则的取值范围是______ ．
30. 正方形的顶点分别在正方形各边上，且，沿正方形各边将其周围的直角三角形向内翻折，得到四边形，现可在正方形区域随机取点，则点落在正方形区域的概率为______ ．


31. 在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，若，则 ______ ；若，则的取值范围是______ ．
32. 在菱形中，，点是对角线上一动点，点是边上一动点，与始终相等，连结、，交点为，连结，则的最小值是______ ．


三、计算题（本大题共1小题，共10分）
33. 随着我国数字化阅读方式的接触率和人群持续增多，数字阅读凭借独有的便利性成为了更快获得优质内容的重要途径，目前，数字阅读已经成为当下更环保、更年轻的阅读方式，年中国数字阅读市场规模为亿元，年为亿元．
求到年中国数字阅读市场规模的年平均增长率；
预计年中国数字阅读市场规模是否可以达到亿元？
四、解答题（本大题共16小题，共158分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
34. 本小题分
．
35. 本小题分
某人利用网络直播销售甲、乙两种商品，预计用替#换#一#换#替#元购进一批商品，其中乙种商品的个数是甲种商品的倍少个，甲、乙两种商品的单价分别为元个、元个求这一批商品中甲、乙两种商品各有多少个？#
36. 本小题分
观察以下等式：
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；

按照以上规律，解答下列问题：
写出第个等式：______；
写出你猜想的第个等式：______用含的等式表示，并证明．
37. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点为原点，，，．
以原点为位似中心，相似比为，作的位似图形，得到，请在图中作出点，，分别为点，，的对应点；
若将绕原点逆时针旋转，得到，请在图中作出点，，分别为点，，的对应点；旋转过程中，点经过的路径长为______ ．

38. 本小题分
如图，内接于，为直径，射线于点，交于点，过点作的切线交射线于点．
当时，求的度数；
当，时，求的长．

39. 本小题分
教育部办公厅在关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知中明确要求保障学生每天校内、校外各小时体育活动时间，某校为了解本校九年级学生每天参加体育活动的情况，随机抽取了名学生，对某一天的体育活动时间进行了调查，根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图．
调查结果的频数分布表
组别
时间分钟
频数















根据上述信息，解答下列问题：
频数分布表中的 ______ ，扇形统计图中组所在的扇形的圆心角为______ 度；
被抽取的名学生这一天的体育活动时间数据的中位数在哪一组直接写出组别即可；
若该校九年级共有名学生，试估计该校九年级学生平均每天体育活动时间不低于分钟的学生人数．

40. 本小题分
某公园要在小广场建造一个喷泉景观在小广场中央处垂直于地面安装一个高为米的花形柱子，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为米时达到最大高度，此时离地面米．

以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为米，水流喷出的高度为米，求出在第一象限内的抛物线解析式不要求写出自变量的取值范围；
张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为米，求的取值范围；
为了美观，在离花形柱子米处的地面、处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图所示，光线交汇点在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离．
41. 本小题分
如图，在中，，点为延长线上一点，．
求证：；
作，，垂足分别为点，，交于点．
如图，当平分时，求的值；
如图，连接交于点，当，时，求的长．

42. 本小题分
计算：；
先化简，再求值：，其中．
43. 本小题分
成都市近年大力推进老旧院落改造，将过去那些陈旧的、不便的设备设施进行更换和整改，为广大市民打造了宜居的环境如图，某小区原有一段米长的坡道，已知坡道与水平地面的夹角等于，为满足无障碍通道的设计要求，改造后的坡道与同一水平地面的夹角等于，求改造后的坡道在水平方向上延伸的距离结果精确到参考数据：，，，

44. 本小题分
为了落实国家教育数字化战略行动有关要求，提升师生数字素养，我区决定组织开展年度学生信息素养提升实践活动某校九年级名学生在“信息素养提升”培训后参加了一次水平测试，按评比标准将测试成绩全部折算成“分”、“分”、“分”、“分”和“分”个成绩为了解培训效果，学校用抽样调查的方式从中选取了部分学生的测试成绩，绘制成下面两幅不完整的统计图：
本次抽样调查的学生人数是______ ；本次抽样调查的测试成绩众数是______ ；
若测试成绩为分、分和分是“优秀”，试估计本校九年级学生测试成绩为“优秀”的人数；
在本次抽样调查中，有名男生和名女生的测试成绩都为分，现从他们中随机选取人代表学校参加比赛，求选中的人恰好是名男生和名女生的概率．

45. 本小题分
为直径，，点为的一点，过点作的切线与的延长线交于点，，点是上一点，连结、，过点作的垂线，交于点，垂足为点．
求和的长；
延长、交于点，若，求的长．

46. 本小题分
一次函数与反比例函数为常数的图象交点为和点，点是反比例函数为常数在第三象限内的图象上一点．
求反比例函数的解析式和点的坐标；
若点为直线与反比例函数的另一个交点，求的面积；
我们将对角线相等且互相垂直的四边形称为“等直四边形”如图，在平面内一点，，且四边形为“等直四边形”，求点的坐标．

47. 本小题分
成都市“十四五”世界赛事名城建设规划提出到年将每年举办国际和全国赛事达到项以上，让体育运动深度融入人们日常生活现需建造一处的多功能场馆，由甲、乙两个工程队合作完成已知甲队比乙队每天多建造，甲队建造与乙队建造所需天数相同，甲队施工每天费用为元，乙队施工每天费用为元．
求甲、乙两队每天建造的面积；
该场馆先由乙队施工，然后由甲队完成剩余的施工，若甲队建造的面积不少于乙队建造面积的倍，那么该场馆的建设费用至少需要多少元？
48. 本小题分
如图，的顶点，，直角顶点在轴的正半轴上，抛物线经过、、三点．
求抛物线的解析式；
动点从点出发以个单位的速度沿向点运动，动点从点出发以个单位的速度沿向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，连接、，当的面积最大时，求点的坐标及最大面积；
如图，过原点的直线与抛物线交于点、点在点的左侧，点，设直线的解析式为，直线的解析式为，试探究：是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．

49. 本小题分
在中，，，．
点在边上，，垂足为，如图，已知，求的长；
将中的绕点顺时针旋转，连结，交直线于点，在上方作，的边与交点为．
如图，当点落在上时，求的长；
如图，连结，延长交于点，在旋转的过程中，若点落在的垂直平分线上，求此时的长．

答案和解析

1.【答案】 
解：，，，
，
，
，
比小的数是，
故选：．
根据实数的大小比较法则：正数大于，负数小于，正数总大于负数，负数绝对值大的反而小即可得答案．
本题考查了实数的大小比较法则，熟记比较法则是解题关键．

2.【答案】 
解：亿．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．

3.【答案】 
解：、左视图是等腰梯形，不符合题意；
B、左视图是长方形，不符合题意；
C、左视图是三角形，符合题意；
D、左视图是长方形，不符合题意；
故选：．
根据几何体的特点及三视图的确定方法依次判断即可．
此题考查了几何体的三视图，正确掌握三视图的确定方法及几何体的特点是解题的关键．

4.【答案】 
解：与不是同类项，不能合并，故本选项不合题意；
B.，故本选项符合题意；
C.，故本选项不合题意；
D.，故本选项不合题意．
故选：．
利用合并同类项法则、同底数幂的乘除法以及幂的乘方的性质求解即可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用．
此题考查了合并同类项、同底数幂的乘除法以及幂的乘方的性质．此题比较简单，注意掌握指数的变化是解此题的关键．

5.【答案】 
解：连接，如图，

是的切线，
，
．
，
，
，
．
故选：．
连接，利用圆的半径相等和切线的性质解答即可．
本题主要考查了圆周角定理，圆的有关性质，切线的性质定理，连接过切点的半径是常添加的辅助线．

6.【答案】 
解：列表图如下：
　
杨玲
女
男
男
张军
杨玲
　
杨玲、女
杨玲、男
　
杨玲、张军
女
女、杨玲
　
女、男
　
女、张军
男
男、杨玲
男、女

男、男
男、张军
男
男
男、女
男、男
　
男、张军
张军
张军、杨玲
张军、女
张军、男
张军、男
　
由表可知：共有种等可能的结果，其中女同学杨玲和男同学张军恰好同时被抽中的结果有种，
故女同学杨玲和男同学张军恰好同时被抽中的概率为：，
故选：．
首先列出表格，再根据表格的情况，利用概率公式即可求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．

7.【答案】 
解：在中，，，
，即，
解得，
，
，
，
，
，即，
解得．
故选：．
先在中根据正弦的定义和勾股定理可得、，进而得到，最后根据运用正弦的定义即可解答．
本题主要考查了正弦的定义、勾股定理等知识点，灵活运用正弦的定义成为解答本题的关键．

8.【答案】 
解：，，
，，
、相当于是关于的一元二次方程的两个实数根，
．
故选：．
先推出，，进而得到、相当于是关于的一元二次方程的两个实数根，由根与系数的关系即可得到．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握在一元二次方程中，若，是该方程的两个实数根，则，是关键．

9.【答案】 
解：如图，过作于，
设，
，，
，
平分交于点，
，
，
，，
∽，
：：，
即，
，，
，
，
点是线段的黄金分割点，
，
，
，
，，
，
，
，
故选：．
过作于，设，证∽，得：：，再证，然后证点是线段的黄金分割点，求出，即可解决问题．
本题考查了黄金分割、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明点为线段的黄金分割点是解题的关键．

10.【答案】 
解：、如图中，

是等边三角形，
，，
，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，故选项A正确，不符合题意．

B、如图中，

，
，
，
，
，
，
，故选项B正确，不符合题意；
C、如图中，过点作于点．

在中，，
，
，
，
，，
，
，
，
，故选项C错误，本选项符合题意．
D、正确，若点是的中点，
，
四边形是平行四边形，显然不可能，故选项D正确，不符合题意．
故选：．
A、正确，证明是等边三角形，可得结论；
B、正确．证明，可得结论；
C、错误，如图中，过点作于点证明，可以推出；
D、正确．利用反证法证明即可．
本题考查等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握特殊三角形的性质，属于中考常考题型．

11.【答案】 
解：，，，，
且，即，
，
即最大的数是．
故选：．
根据负数比较大小的法则比较即可．
本题考查有理数大小比较中的几个负数比较，解题的关键是掌握负数比较大小的方法，本题还可将所给的几个负数在数轴上表示出来，再确定答案．

12.【答案】 
解：如图所示的几何体的主视图是：
．
故选：．
从正面看：共有列，从左往右分别有，，个小正方形；据此可画出图形．
此题主要考查了简单组合体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．

13.【答案】 
解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．

14.【答案】 
解：，故选项A错误，不符合题意；
，故选项B错误，不符合题意；
，故选项C正确，符合题意；
，故选项D错误，不符合题意；
故选：．
计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

15.【答案】 
解：、由，，，能判定≌，故A不符合题意；
B、由，得到和是直角三角形，又，，由“”判定≌，故B符合题意；
C、由，，，不能判定≌，故C不符合题意；
D、，，，不能判定≌，故D不符合题意；
故选：．
由全等三角形的判定方法，即可判断．
本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法．

16.【答案】 
解：关于的分式方程，
去分母可化为，
又因为关于的分式方程，即有增根，
所以是方程的根，
所以，
故选：．
根据增根的定义，代入分式方程去分母后所得到的整式方程即可．
本题考查分式方程的增根，理解增根的定义和产生过程是正确解答的关键．

17.【答案】 
解：如图，连接、，
五边形是的内接正五边形，
，
，
，
，
故选：．
根据正多边形和圆的性质求出中心角的度数，再根据等腰三角形的性质以及内角和定理进行计算即可．
本题考查正多边形和圆，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握正多边形中心角的计算方法，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理是正确解答的前提．

18.【答案】 
解：选项，由题意可知，二次函数与轴有个交点，所以，故A选项不符合题意．
选项，是，的值随值增大而增大，故B选项不符合题意．
选项，根据对称轴方程得到，，所以选项不符合题意．
选项，当时，，即，则选项符合题意．
故选：．
二次函数图象与系数的关系，决定与轴交点情况，对称轴，取特殊值，进一步确定的范围．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，涉及到二次函数的对称轴方程，二次函数的增减性，二次函数与一元二次方程解的情况．

19.【答案】 
【解析】
【分析】
本题考查了立方根与算术平方根的定义，是易错题，熟记概念是解题的关键．
先根据算术平方根的定义求出，再利用立方根的定义解答．
【解答】
解：，
，
，
，
的立方根是．
故答案为：．  
20.【答案】 
解：
--提取公因式
．
故答案为：．
先提取公因式，再根据平方差公式进行二次分解．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．

21.【答案】 
解：如图所示，延长交轴于点，延长交轴于，
 点是双曲线是常数上一点，设，
图象在第四象限，
，．
点，是双曲线是常数上一点，轴，轴，
，，则，，，
点的纵坐标为，则，点的横坐标为，则，
四边形的面积为，
，
，
．
故答案为：．
根据题意，延长交轴于点，延长交轴于点，设，点的纵坐标为，则，点的横坐标为，则，根据面积计算公式即可求解．
本题主要考查反比例函数与几何图形的面积，掌握反比例函数图象的性质，几何图形面积的计算公式，不规则图形面积的计算方法是解题的关键．

22.【答案】  
解：，
，
，
∽，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
故答案为：；
，
在和中，
，
≌，
，，
是等腰三角形，
，
，即，
，
，，
设，，
在中，利用勾股定理得，
即，
解得，
．
故答案为：．
由，证明∽，得到，再根据是等腰直角三角形可得，即可得出结果；
证明≌，可得，，从而证明是等腰三角形，得出，利用，，求出，，设，，在中利用勾股定理即可求解．
本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质证明三角形相似或全等是解题的关键．

23.【答案】 
解：设这个箱子中红球的个数为个．
根据题意，得，
解得．
答：这个箱子中红球的个数为个．
故答案为：．
设这个箱子中红球的个数为个，再根据概率公式求出的值即可．
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

24.【答案】 
解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组的能力，熟练掌握不等式的基本性质以准确求出每个不等式的解集是解答此题的关键．

25.【答案】 
解：，
：：，
四边形与四边形是位似图形，
四边形∽四边形，，
∽，
，
四边形的周长：四边形的周长：，
四边形的周长是，
四边形的周长为，
故答案为：．
根据位似图形的概念得到四边形∽四边形，，得到∽，根据相似三角形的性质得到，再根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可．
此题主要考查了位似变换，正确得出位似比是解题关键．

26.【答案】， 
解：，
，
，
或，
所以，．
故答案为：，．
先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．

27.【答案】 
解：由作法得垂直平分，
，
，
设与相交于点，如图，
四边形为矩形，
，
，
．
故答案为：．
利用基本作图得到由垂直平分，所以，则利用互余可计算出，设与相交于点，如图，根据矩形的性质得到，所以，然后计算即可．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了矩形的性质．

28.【答案】 
解：两边平方得：，
将代入得：．
故答案为：．
把两边平方，利用完全平方公式展开后将的值代入即可求出所求式子的值．
此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．

29.【答案】 
解：根据题意知，且．
解得，
故答案为：．
由列出不等式并求得的值即可．
本题考查了一元二次方程为常数根的判别式当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．同时考查了二次根式有意义的条件．

30.【答案】 
解：，
，
，
，
，，
≌，
，
，
同理，，
，
，
，
同理，，
在正方形区域随机取点，点落在正方形区域的概率为．
故答案为：．
先证明≌，可得，根据折叠的性质得，所以，同理，，根据概率公式即可求出答案．
本题考查了几何概率，全等三角形的判定与性质，正方形的性质以及折叠的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质和折叠的性质是解题的关键．

31.【答案】 或 
解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，点，关于对称轴对称，
，
解得，
将代入得，
抛物线经过，
由抛物线的对称性可得抛物线经过，
当时，且，
解得，
当时，，且，
解得，
或．
故答案为：；或．
由二次函数解析式可得抛物线的开口方向及对称轴，当时，点，关于对称轴对称，当时，先求出时的值，再分类讨论对称轴的位置求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．

32.【答案】 
解：四边形是菱形，
，，
，
是等边三角形，
，
，
≌，
，
，
，
作的外接圆，圆心为，连接，，，，交于点．

当与相切时，的值最大，此时的值最小．
设，则菱形边长为，，，
，，
∽，
，
即，
解法，
．
故答案为：．
证明，作的外接圆，圆心为，连接，，，，交于点当与相切时，的值最大，此时的值最小．设，则菱形边长为，，，想办法求出，可得结论．
本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，切线的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用辅助圆解决问题，属于中考常考题型．

33.【答案】解：设到年中国数字阅读市场规模的年平均增长率为．
根据题意可得．
解得，舍．
所以．
答：到年中国数字阅读市场规模的年平均增长率为．
由题意得：亿元．
，
年中国数字阅读市场规模不可以达到亿元．
答：年中国数字阅读市场规模不可以达到亿元． 
【解析】设到年中国数字阅读市场规模的年平均增长率为根据题意列出一元二次方程并求解即可．
根据题意求出年中国数字阅读市场规模，再进行判断即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

34.【答案】解：


． 
【解析】直接利用二次根式的性质、零指数幂、绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负指数幂分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算、零指数幂、绝对值的性质、负指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．

35.【答案】解：设甲种商品有个，则乙种商品有个，
根据题意得：，
解得，
则，
答：这批商品中甲种商品有个，乙种商品有个． 
【解析】设甲种商品有个，则乙种商品有个，根据“总价值为元”列出方程，解方程即可求解．
本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．

36.【答案】  
解：第个等式为：，
故答案为：；
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；

第个等式为：，
证明：左边右边，
故猜想成立．
故答案为：．
根据所给的等式进行求解即可；
分析所给的等式不难得出：，再把等式左边进行整理即可求证．
本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律．

37.【答案】 
解：如图，即为所求．
如图，即为所求．
由勾股定理得，，
旋转过程中，点经过的路径长为．
故答案为：．

根据位似的性质作图即可．
根据旋转的性质作图即可；由勾股定理求出的长，再利用弧长公式计算即可．
本题考查作图位似变换、旋转变换、勾股定理、弧长公式，熟练掌握位似和旋转的性质、勾股定理、弧长公式是解答本题的关键．

38.【答案】解：连接，如图，
为直径，
．
，
为的切线，
，
，
，
．
，
，
．
，
．
；
，
设，则，
．
，
．
，
为的中位线，
，
，
．
，．
，，
∽，
，
，
．
． 
【解析】连接，利用圆周角定理得到，利用圆的切线的性质定理得到，再利用直角三角形的性质和等腰三角形的性质得到，则；
设，则，，利用垂径定理和三角形的中位线定理得到，求得值；再利用相似三角形的判定与性质求得，则．
本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．

39.【答案】   
解：由题意可得，，
扇形统计图中组所在的扇形的圆心角为，
故答案为：，；
由题意可知，被抽取的名学生这一天的体育活动时间数据的中位数在组；
名，
答：估计该校九年级学生平均每天体育活动时间不低于分钟的有名学生．
根据组的频数和百分比求出抽取总数，用总数乘以组所占比例可得求出的值，求出组所占百分比，乘以即可求解；
根据中位数的定义即可求解；
用样本估计总体即可．
本题考查频数分布表、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是求出样本容量，利用数形结合的思想解答．

40.【答案】解：根据题意第一象限内的抛物线的顶点坐标为，，
设第一象限内的抛物线解析式为，
将点代入物线解析式，
，
解得，
第一象限内的抛物线解析式为；
根据题意，令，
即，
解得，，
，抛物线开口向下，
当时，，
的取值范围为；
作直线的平行线，使它与抛物线相切于点，分别交轴，轴于点，，过点，作，垂足为，如图所示，

，
设直线的解析式为，
联立直线与抛物线解析式，
，
整理得，
直线与抛物线相切，
方程只有一个根，
，
解得，
直线的解析式为，
令，则，
，
，
即，
射灯射出的光线与地面成角，
，
，
，
，
光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为米． 
【解析】根据题意得到第一象限内的抛物线的顶点坐标，将抛物线设成顶点式，再将点坐标代入即可求出第一象限内的抛物线解析式；
直接令，解方程求出的值，再根据函数的图象和性质，求出时的取值范围即可；
先作辅助线，作出直线的平行线，使它与抛物线相切于点，然后设出直线的解析式，联立直线与抛物线解析式，利用相切，方程只有一个解，解出直线的解析式，从而得到直线与轴交点，最后利用锐角三角函数求出直线与直线之间的距离．
本题考查二次函数的应用，直线的平移，直线和抛物线相切等知识，关键是求抛物线解析式．

41.【答案】证明：如图中，，
，
，，
又，
，
；
解：平分，
，
设，，
，
∽，
，
，
，
，
，
负值已经舍去，
，
，，
，
；
连接，，设交于点．

，
，
，
，，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
设，
，，
，
，，
，

，
，，
∽，
，
，
，
解得，
，
． 
【解析】欲证明，只要证明即可；
设，，证明∽，推出，可知，即，可得负值已经舍去，即可解决问题；
连接，，设交于点证明是等腰直角三角形，再证明，设，则，，利用相似三角形的性质求出，可得结论．
本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．

42.【答案】解：

；



，
当时，原式． 
【解析】先化简，然后计算加减法即可；
先将括号内的式子通分，然后计算括号外的除法，再将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值、实数的运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答本题的关键．

43.【答案】解：过点作于点，
，，
，
，
，
，
解得：，
故DC，
答：改造后的坡道在水平方向上延伸的距离为米． 
【解析】直接利用锐角三角函数关系得出，的长，进而得出的长，即可得出答案．
此题主要考查了锐角三角函数关系的应用，正确得出的长是解题关键．

44.【答案】人  分 
解：本次抽样调查的学生人数为：人；
本次抽样调查中，分的学生人数为：人，分的学生人数为：人，
即分的学生人数最多，
本次抽样调查的测试成绩众数是分，
故答案为：人，分；
人，
答：估计本校九年级学生测试成绩为“优秀”的人数为人；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中选中的人恰好是名男生和名女生的结果有种，
选中的人恰好是名男生和名女生的概率为．
由分的学生人数除以所占百分比得出本次抽样调查的学生人数，即可解决问题；
由九年级学生人数乘以测试成绩为“优秀”的人数所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中选中的人恰好是名男生和名女生的结果有种，再由概率公式即可得出结论．
此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

45.【答案】解：连接，如图，
为的切线，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
即的长为，的长为；
连接、，如图，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
在中，，
，
在中，，
． 
【解析】连接，如图，先根据切线的性质得到，再利用勾股定理计算出，则计算得到的长，由于，根据垂径定理得到，然后利用面积法求出，从而得到的长；
连接、，如图，先根据垂径定理得到，则利用圆周角定理得到，再利用圆内接四边形的性质得到，，于是可判断
∽，利用相似三角形的性质得到，接着利用勾股定理计算出，从而得到的长，然后计算出的长，从而可求出的长．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、垂径定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．

46.【答案】解：将点的坐标代入一次函数表达式得：，则，即点，
将点的坐标代入反比例函数表达式得：，
则反比例函数的表达式为：，
联立，
解得：，
即点；

根据点的对称性，点和点关于原点对称，则点，

由题意得，直线的表达式为：，
过点作轴于点，则点，则，
则的面积；

设和交于点，
根据“等直四边形”的定义，，则，且，
根据图象的对称性，为等腰直角三角形，且，
如图，将左侧图部分放大，设点，

过点作轴，交过点和轴的平行线于点，交过点与轴的平行线于点，
，，
，
，，
≌，
则，，
即且，
解得：，
则点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
联立得：，
解得：舍去或，
即点． 
【解析】用待定系数法即可求解；
由的面积，即可求解；
证明≌，得到，，进而求解．
本题为反比例函数综合运用题，涉及到新定义、面积的计算、一次函数的性质等，正确理解新定义是本题解题的关键．

47.【答案】解：设乙队每天建造，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原分式方程的根，且符合题意，
，
答：甲队每天建造，乙队每天建造；
设乙队施工天，该场馆的建设费用为元，
根据题意，得，
解得，
，
，
随着的增大而减小，
当取得时，取得最小值，最小值为元，
答：该场馆的建设费用最少需要元． 
【解析】设乙队每天建造，根据甲队建造与乙队建造所需天数相同，列分式方程，求解即可；
设乙队施工天，该场馆的建设费为元，根据甲队建造的面积不少于乙队建造面积的倍，列一元一次不等式，求出的取值范围，再表示出与的一次函数，根据一次函数的性质即可确定该场馆的建设费用最小值．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意并根据题意建立相应的关系式是解题的关键．

48.【答案】解：如图：

，，
，，
，
，
，
∽，
，即，
，
，
把，，代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
过作于，如图：

由，得直线解析式为，，
设运动时间为 ，则，，
，，
，，
∽，
，即，
，
设的面积为，
，
，
当时，取最大值，最大值为，
此时，
，
；
的最大面积是，的坐标为；
为定值，理由如下：
设直线解析式为，
由得：，
设，，则，是的两个实数解，
，，
在直线上，在直线上，
，，
，，
，
，
由得，
由得：，
，
化简整理得，
的值是定值． 
【解析】证明∽，可得，，再用待定系数法可得抛物线的解析式为；
过作于，由，得直线解析式为，，设运动时间为 ，证明∽，可得，设的面积为，则，根据二次函数性质即可得的最大面积是，的坐标为；
设直线解析式为，由得：，设，，则，是的两个实数解，有，，又，，可得，，故，，化简整理得，即可得到答案．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．

49.【答案】解：，，
∽，
，
设，则，
，，，
，
，
，
解得，
；
延长交于点，

，，
，
，
，
∽，
，
在中，，，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
，
；
过点作的垂线，与的延长线交于点，连接，，

，，
∽，
，
，
∽，
，，
，
，
，
，
又，
，即，
，，
四边形是平行四边形，
，
在中，是斜边的中线，
，
若点在的垂直平分线上，则，
，
为直角三角形，即，
又，
若点在的垂直平分线上时，，，三点共线，
当点在延长线上时，，
，
当点在上时，，


综上所述，当点在的垂直平分线上时，的长为或． 
【解析】证明∽，由相似三角形的性质得出，设，则，，得出，解得，则可得出答案；
延长交于点，证明∽，由相似三角形的性质得出，求出和的长，则可得出答案；
过点作的垂线，与的延长线交于点，连接，，证明∽，得出，当点在延长线上时，当点在上时，由勾股定理求出的长，则可得出答案．
本题是几何变换综合题，考查了旋转变换、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用熟悉的模型，添加辅助线解决问题