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江苏省扬州中学2022-2023学年高二下学期3月月考试题 数学（Word版含解析）
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这是一份江苏省扬州中学2022-2023学年高二下学期3月月考试题 数学（Word版含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年度扬州中学高二下3月考试卷
数 学
一、单选题（每小题5分）
1．抛物线过点，则的准线方程为( )
A． B． C． D．
2．若平面内两条平行线：，：间的距离为，则实数（ ）
A． B．或 C． D．或
3．如图，在正方体，中，点是的中点，点在上，且，则（ ）
A． B．
C． D．
4．在等比数列中，已知，则等于（ ）
A．128 B．64 C．64或 D．128或
5．在下列条件中，一定能使空间中的四点共面的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数满足：，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
7.已知双曲线C：-=1（a>0,b>0）的左右焦点分别为F1、F2，O为坐标原点，点P为双曲线C在第一象限部分的一点，∠F1PF2的平分线与x轴交于点Q，若=，则双曲线的离心率的范围为（ ）
A.（1,2） B.（1,4） C.（,2） D.（,4）
8.恰有一个实数x满足x3-ax-1=0成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-∞，） B．（-∞，） C．（，+∞） D．（-∞，）
二、多选题（每小题满分5分，漏选得2分，错选得0分）
9．下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ）
A．若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则∥；
B．若非零向量，，满足，，则有∥；
C．若，，是空间的一组基底，且，则A，B，C，D四点共面；
D．若，，是空间的一组基底，则向量，，也是空间一组基底；
10．设是空间的一个基底，若，，．给出下列向量组可以作为空间的基底的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知公差为d的等差数列，其前n项和为，且，，则下列结论正确的为（ ）
A．为递增数列 B．为等差数列
C．当取得最大值时， D．当时，d的取值范围为
12．以下四个命题表述正确的是（ ）
A．圆与圆有且仅有两条公共切线，则实数的取值可以是3
B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1
C．具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为，若，椭圆与双曲线的离心率分别记作，则，
D．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过定点
三、填空题（每小题5分）
13．函数的单调减区间为__________．
14．已知，，，若三个向量共面，则实数等于__________.
15．已知抛物线，圆，点，若A，B分别是，上的动点，则的最小值为______．
16．已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．
四、解答题(10+12+12+12+12+12)
17．求满足下列条件的直线的一般式方程：
（1）经过直线的交点P，且经过点；
（2）与直线垂直，且点到直线l的距离为.
18．（1）已知函数，求；
（2）已知函数，若曲线在处的切线也与曲线相切，求a的值．
19．在数列中，．
(1)求证：是等差数列，并求数列的通项公式．
(2)设，求数列的前n项的和．
20．如图，在直三棱柱中，为的中点，建立适当的空间直角坐标系：
（1）证明：平面；
（2）证明：平面平面．
21．已知椭圆C：经过点，且离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）椭圆C上的两个动点M，N（M，N与点A不重合）直线AM，AN的斜率之和为4，作于H．问：是否存在定点P，使得为定值．若存在，求出定点P的坐标及的值；若不存在，请说明理由．
22．已知函数，是的导函数，且有两个零点.
（1）讨论的单调性；
（2）若，求证：.
2022-2023学年度扬州中学高二下3月考试卷
数 学
一、单选题（每小题5分）
1．抛物线过点，则的准线方程为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将点代入抛物线方程可得a，根据抛物线标准方程即可求其准线方程.
【详解】∵抛物线过点，
∴，∴，∴其准线方程为y＝－1.
故选：B.
2．若平面内两条平行线：，：间的距离为，则实数（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】C
【分析】根据平行关系得出或，再由距离公式得出满足条件.
【详解】∵，∴，解得或
当时，当时
故选：C
3．如图，在正方体，中，点是的中点，点在上，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据空间向量的加法和数乘运算，以及相等向量的转化，即可求解.
【详解】易知，，，，，，所以.
故选：D
4．在等比数列中，已知，则等于（ ）
A．128 B．64 C．64或 D．128或
【答案】D
【分析】由等比数列的性质可得，求出的值，再结合条件求出公比，进而即得.
【详解】由等比数列的性质可得，
∴或，
设数列的公比为，因为，
当时，，即，则；
当时，，即，则.
故选：D .
5．在下列条件中，一定能使空间中的四点共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据向量共面定理，，若A，B，C不共线，且A，B，C，M共面，则其充要条件是，由此可判断出答案.
【详解】根据向量共面定理，，若A，B，C不共线，且A，B，C，M共面，则其充要条件是，
由此可得A，B，D不正确，
选项C：，所以四点共面，
故选：C.
6．已知函数满足：，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】是减函数，由得：
故选A.
点睛：用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造；如构造；如构造；如构造等.
7.已知双曲线C：-=1（a>0,b>0）的左右焦点分别为F1、F2，O为坐标原点，点P为双曲线C在第一象限部分的一点，∠F1PF2的平分线与x轴交于点Q，若=，则双曲线的离心率的范围为（ ）
A.（1,2） B.（1,4） C.（,2） D.（,4）
8.恰有一个实数x满足x3-ax-1=0成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-∞，） B．（-∞，） C．（，+∞） D．（-∞，）
二、多选题（每小题满分5分，漏选得2分，错选得0分）
9．下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ）
A．若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则∥；
B．若非零向量，，满足，，则有∥；
C．若，，是空间的一组基底，且，则A，B，C，D四点共面；
D．若，，是空间的一组基底，则向量，，也是空间一组基底；
【答案】ACD
【分析】根据空间向量基本定理，能作为基底的向量一定是不共面的向量，由此分别分析判断即可
【详解】对于A，若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则可得向量，是共线向量，即∥，所以A正确，
对于B，若非零向量，，满足，，则向量与不能确定，可能平行，所以B错误，
对于C，若，，是空间的一组基底，且，则由空间向量基本定理可得，，，四点共面，所以C正确，
对于D，因为，，是空间的一组基底，所以对于空间中的任意一个向量，存在唯一的实数组，使，所以向量，，也是空间一组基底，所以D正确，
故选：ACD
10．设是空间的一个基底，若，，．给出下列向量组可以作为空间的基底的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】根据空间向量共面基本定理，逐项判断每组向量是否共面，即可得出结论.
【详解】，共面，故不能作空间基底，故A错误；
假设共面，则存在，使得，
，
所以，方程组无解，所以假设不成立，即不共面，
所以可以作为空间向量的一组基底，故B正确；
同理可得，均可作为空间向量的一组基底，故CD正确.
故选：BCD.
11．已知公差为d的等差数列，其前n项和为，且，，则下列结论正确的为（ ）
A．为递增数列 B．为等差数列
C．当取得最大值时， D．当时，d的取值范围为
【答案】BD
【分析】通过等差数列前项和公式和下标和性质即可得到，，，，则可判断AC，而则可判断B，而通过，，则可得到关于的不等式组，即可判断D.
【详解】对A，，即，，
即，，则，而，故，
故为递减数列，故A错误；
对B，设的首项为，则，
，故数列是以为首项，公差为的等差数列，故B正确；
对C，由A知，即，则，而，即，
则，而，当取得最大值时,，故C错误；
对D，当时，由A知，，即，
即，解得，故D正确.
故选：BD.
12．以下四个命题表述正确的是（ ）
A．圆与圆有且仅有两条公共切线，则实数的取值可以是3
B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1
C．具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为，若，椭圆与双曲线的离心率分别记作，则，
D．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过定点
【答案】BC
【分析】A选项，当时，求出两圆圆心距等于两圆半径之和，故两圆外切，有3条公共切线，A错误；
B选项，求出圆心到直线的距离为1，圆的半径为2，故有且仅有3个点到直线，B正确；
C选项，设椭圆：，双曲线：，，
由椭圆定义和双曲线定义得到，，求出，，由勾股定理得到，求出；
D选项，设，则，由题意得：四点共圆，且为直径，
求出圆心和半径，得到该圆的方程，求出切点弦方程，结合得到定点坐标.
【详解】对A，圆变形为，故圆心为，半径为，
圆圆心为，半径为，
当时，故圆心距，
此时两圆外切，故两圆有3条公共切线，A错误；
对B，圆的圆心到直线的距离为，
而圆的半径为2，故有且仅有3个点到直线的距离都等于1，B正确；
对C，设椭圆：，双曲线：，，
因为，所以，，
解得：，，
由勾股定理：，即，
化简得：，
则椭圆的离心率，双曲线的离心率，
则，C正确；
对D，设，则，由题意得：四点共圆，且为直径，
则此圆圆心为，半径为，
故圆的方程为，
，与相减得：，
因为，所以过定点，
即直线经过定点，D错误.
故选：BC
【点睛】过圆上一点的切线方程为：，
过圆外一点的切点弦方程为：.
三、填空题（每小题5分）
13．函数的单调减区间为__________．
【答案】
【分析】求导，利用导数求单调区间，注意原函数的定义域.
【详解】∵，则
令，则
∴函数的单调减区间为
故答案为：.
14．已知，，，若三个向量共面，则实数等于__________.
【答案】8
【分析】由题意可得存在实数使得成立，列出方程组求解即可.
【详解】解：因为共面，
所以存在实数使得成立，
即，解得.
所以.
故答案为：8.
15．已知抛物线，圆，点，若A，B分别是，上的动点，则的最小值为______．
【答案】2
【分析】由抛物线得焦点，准线为，，转化为求取得最小值，过点M作准线的垂线与抛物线相交，当点A为此交点时，取得最小值，由此可求得答案.
【详解】解：由抛物线得焦点，准线为，
由圆，得，所以圆是以为圆心，以为半径的圆，
所以，所以当取得最小值时，取得最小值，
又根据抛物线的定义得等于点A到准线的距离，
所以过点M作准线的垂线，垂足为N，且与抛物线相交，当点A为此交点时，取得最小值，最小值为，所以此时，
所以的最小值为2.
故答案为：2.
16．已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．
【答案】27
【分析】方法一：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值.
【详解】［方法一］：【通性通法】【最优解】
设，则
由得，化简得，
，解得：，即．
所以只需研究是否有满足条件的解，
此时，，为等差数列项数，且.
由即，解得，所以
得满足条件的最小值为.
故答案为：.
［方法二］：列举法＋二分法
与相比，B元素间隔大．因此利用列举法从中元素构成看，分别加了几个B中元素进行考虑．
1个：；
2个：；
3个：；
4个：；
5个：；
6个：．
发现当时，发生变号，以下用二分法查找：
，所以所求n应在22~29之间．
，所以所求n应在25~29之间．
，，不符合条件；，，符合条件．
因为，而，
故答案为：.
【整体点评】方法一：先由求和公式寻找不等式成立的充分条件，即当第项的值大于等于时，不等式成立，再寻找第项的值在与之间时是否也可以有满足题意的解，从而解出，是本题的通性通法，也是最优解；
方法二：根据两个集合的特征，一一列举集合中的元素，并研究集合中元素的和与的变化规律，从而找出可能满足不等式的解，再由二分法验证解出，该法计算较为麻烦．
四、解答题(10+12+12+12+12+12)
17．求满足下列条件的直线的一般式方程：
（1）经过直线的交点P，且经过点；
（2）与直线垂直，且点到直线l的距离为.
【答案】(1) (2)或
【分析】（1）联立直线方程，求交点，根据两点式，可得答案；
（2）根据垂直设出直线方程，由点到直线距离，可得答案.
【详解】（1）由，得，点的坐标为
所求直线又经过点，得直线的两点式：，
所求直线的一般式：.
（2）所求直线与垂直，可设直线的方程为.
又直线到点的距离为，，解得或，
所求的直线方程为或.
18．（1）已知函数，求；
（2）已知函数，若曲线在处的切线也与曲线相切，求a的值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）求导后，代入即可得到结果；
（2）根据导数几何意义可求得在处的切线斜率，进而得到切线方程；设该直线与相切于，求得在处的切线方程，根据两切线方程相同，可构造方程组求得结果.
【详解】（1），；
（2），，又，
在处的切线方程为：；
设与相切于点，
，，
切线方程为：，即，
，解得：.
19．在数列中，．
(1)求证：是等差数列，并求数列的通项公式．
(2)设，求数列的前n项的和．
【答案】(1)证明见解析，；
(2)
【分析】（1）根据递推关系式，由等差数列的定义、通项公式求解即可；
（2）根据裂项相消法求和即可得解.
【详解】（1）因为，所以，
否则与矛盾，故，
又，∴数列是以3为首项，2为公差的等差数列，
所以，
因此．
（2）由（1）知，
∴.
20．如图，在直三棱柱中，为的中点，建立适当的空间直角坐标系：
（1）证明：平面；
（2）证明：平面平面．
【分析】（1）利用向量法去证明平面；（2）利用向量法去证明平面平面．
【详解】（1）在直三棱柱中，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，，，
，，，
则，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
，且平面，则平面
（2），，
设平面的一个法向量，
则，取，得，
又平面的法向量，则，则
平面平面．
21．已知椭圆C：经过点，且离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）椭圆C上的两个动点M，N（M，N与点A不重合）直线AM，AN的斜率之和为4，作于H．问：是否存在定点P，使得为定值．若存在，求出定点P的坐标及的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)存在定点，使得为定值且定值为．
【分析】（1）由题意得，再由离心率，结合的关系求得得椭圆方程；
（2）假设存在定点满足题意，在的斜率存在，设直线的方程为，，直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得，同时注意，利用求得的关系，得直线过定点，的中点即为定点．再验证斜率不存在时也满足题意.
【详解】（1）由已知，，解得（负值舍去），
椭圆方程为；
（2）假设存在定点满足题意，
当的斜率存在，设直线的方程为，，
由得，
，．
，
，所以，
，，或，直线存在，
直线方程为，时，，
即直线过定点，，
取的中点，因为，所以为定值．
当直线斜率不存在时,设,,则，，此时直线也过定点，满足题意．
所以存在定点，使得为定值且定值为．
【点睛】本题考查求椭圆方程，考查椭圆中的定点、定值问题．解题方法是设出直线方程为，设动点，直线方程代入椭圆方程，应用韦达定理得，利用已知条件求得的关系，从而得出动直线过定点，由直角三角形的性质所求定点随之而定．本题对学生的逻辑思维能力，运算求解能力要求较高，属于困难题型．
22．已知函数，是的导函数，且有两个零点.
（1）讨论的单调性；
（2）若，求证：.
【答案】（1）在单调递减，在单调递增；（2）证明见解析.
【分析】（1）函数的定义域为，令，故，由于，进而得函数，的解集，进一步得函数的单调区间；
（2）由（1）得，进而，再结合不等式即可证得.
【详解】解：（1）函数的定义域为，，
设，，由于
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以在单调递减，在单调递增.
（2）证明：因为是函数有两个零点，
所以，所以，
所以
所以
下面先证：，
只需证：，只需证：，
设，故只需证：，只需证
故设，，
所以在上单调递增，故，
所以成立，故成立，
所以
因为，所以，所以，
所以.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调区间，证明不等式等，考查运算求解能力，是难题.本题第二问解题的关键在于利用不等式进行放缩求解.
2022-2023学年度扬州中学高二下3月考试卷
数 学
一、单选题（每小题5分）
1．抛物线过点，则的准线方程为( )
A． B． C． D．
2．若平面内两条平行线：，：间的距离为，则实数（ ）
A． B．或 C． D．或
3．如图，在正方体，中，点是的中点，点在上，且，则（ ）
A． B．
C． D．
4．在等比数列中，已知，则等于（ ）
A．128 B．64 C．64或 D．128或
5．在下列条件中，一定能使空间中的四点共面的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数满足：，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
7.已知双曲线C：-=1（a>0,b>0）的左右焦点分别为F1、F2，O为坐标原点，点P为双曲线C在第一象限部分的一点，∠F1PF2的平分线与x轴交于点Q，若=，则双曲线的离心率的范围为（ ）
A.（1,2） B.（1,4） C.（,2） D.（,4）
8.恰有一个实数x满足x3-ax-1=0成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-∞，） B．（-∞，） C．（，+∞） D．（-∞，）
二、多选题（每小题满分5分，漏选得2分，错选得0分）
9．下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ）
A．若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则∥；
B．若非零向量，，满足，，则有∥；
C．若，，是空间的一组基底，且，则A，B，C，D四点共面；
D．若，，是空间的一组基底，则向量，，也是空间一组基底；
10．设是空间的一个基底，若，，．给出下列向量组可以作为空间的基底的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知公差为d的等差数列，其前n项和为，且，，则下列结论正确的为（ ）
A．为递增数列 B．为等差数列
C．当取得最大值时， D．当时，d的取值范围为
12．以下四个命题表述正确的是（ ）
A．圆与圆有且仅有两条公共切线，则实数的取值可以是3
B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1
C．具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为，若，椭圆与双曲线的离心率分别记作，则，
D．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过定点
三、填空题（每小题5分）
13．函数的单调减区间为__________．
14．已知，，，若三个向量共面，则实数等于__________.
15．已知抛物线，圆，点，若A，B分别是，上的动点，则的最小值为______．
16．已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．
四、解答题(10+12+12+12+12+12)
17．求满足下列条件的直线的一般式方程：
（1）经过直线的交点P，且经过点；
（2）与直线垂直，且点到直线l的距离为.
18．（1）已知函数，求；
（2）已知函数，若曲线在处的切线也与曲线相切，求a的值．
19．在数列中，．
(1)求证：是等差数列，并求数列的通项公式．
(2)设，求数列的前n项的和．
20．如图，在直三棱柱中，为的中点，建立适当的空间直角坐标系：
（1）证明：平面；
（2）证明：平面平面．
21．已知椭圆C：经过点，且离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）椭圆C上的两个动点M，N（M，N与点A不重合）直线AM，AN的斜率之和为4，作于H．问：是否存在定点P，使得为定值．若存在，求出定点P的坐标及的值；若不存在，请说明理由．
22．已知函数，是的导函数，且有两个零点.
（1）讨论的单调性；
（2）若，求证：.
2022-2023学年度扬州中学高二下3月考试卷
数 学
一、单选题（每小题5分）
1．抛物线过点，则的准线方程为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将点代入抛物线方程可得a，根据抛物线标准方程即可求其准线方程.
【详解】∵抛物线过点，
∴，∴，∴其准线方程为y＝－1.
故选：B.
2．若平面内两条平行线：，：间的距离为，则实数（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】C
【分析】根据平行关系得出或，再由距离公式得出满足条件.
【详解】∵，∴，解得或
当时，当时
故选：C
3．如图，在正方体，中，点是的中点，点在上，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据空间向量的加法和数乘运算，以及相等向量的转化，即可求解.
【详解】易知，，，，，，所以.
故选：D
4．在等比数列中，已知，则等于（ ）
A．128 B．64 C．64或 D．128或
【答案】D
【分析】由等比数列的性质可得，求出的值，再结合条件求出公比，进而即得.
【详解】由等比数列的性质可得，
∴或，
设数列的公比为，因为，
当时，，即，则；
当时，，即，则.
故选：D .
5．在下列条件中，一定能使空间中的四点共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据向量共面定理，，若A，B，C不共线，且A，B，C，M共面，则其充要条件是，由此可判断出答案.
【详解】根据向量共面定理，，若A，B，C不共线，且A，B，C，M共面，则其充要条件是，
由此可得A，B，D不正确，
选项C：，所以四点共面，
故选：C.
6．已知函数满足：，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】是减函数，由得：
故选A.
点睛：用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造；如构造；如构造；如构造等.
7.已知双曲线C：-=1（a>0,b>0）的左右焦点分别为F1、F2，O为坐标原点，点P为双曲线C在第一象限部分的一点，∠F1PF2的平分线与x轴交于点Q，若=，则双曲线的离心率的范围为（ ）
A.（1,2） B.（1,4） C.（,2） D.（,4）
8.恰有一个实数x满足x3-ax-1=0成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-∞，） B．（-∞，） C．（，+∞） D．（-∞，）
二、多选题（每小题满分5分，漏选得2分，错选得0分）
9．下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ）
A．若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则∥；
B．若非零向量，，满足，，则有∥；
C．若，，是空间的一组基底，且，则A，B，C，D四点共面；
D．若，，是空间的一组基底，则向量，，也是空间一组基底；
【答案】ACD
【分析】根据空间向量基本定理，能作为基底的向量一定是不共面的向量，由此分别分析判断即可
【详解】对于A，若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则可得向量，是共线向量，即∥，所以A正确，
对于B，若非零向量，，满足，，则向量与不能确定，可能平行，所以B错误，
对于C，若，，是空间的一组基底，且，则由空间向量基本定理可得，，，四点共面，所以C正确，
对于D，因为，，是空间的一组基底，所以对于空间中的任意一个向量，存在唯一的实数组，使，所以向量，，也是空间一组基底，所以D正确，
故选：ACD
10．设是空间的一个基底，若，，．给出下列向量组可以作为空间的基底的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】根据空间向量共面基本定理，逐项判断每组向量是否共面，即可得出结论.
【详解】，共面，故不能作空间基底，故A错误；
假设共面，则存在，使得，
，
所以，方程组无解，所以假设不成立，即不共面，
所以可以作为空间向量的一组基底，故B正确；
同理可得，均可作为空间向量的一组基底，故CD正确.
故选：BCD.
11．已知公差为d的等差数列，其前n项和为，且，，则下列结论正确的为（ ）
A．为递增数列 B．为等差数列
C．当取得最大值时， D．当时，d的取值范围为
【答案】BD
【分析】通过等差数列前项和公式和下标和性质即可得到，，，，则可判断AC，而则可判断B，而通过，，则可得到关于的不等式组，即可判断D.
【详解】对A，，即，，
即，，则，而，故，
故为递减数列，故A错误；
对B，设的首项为，则，
，故数列是以为首项，公差为的等差数列，故B正确；
对C，由A知，即，则，而，即，
则，而，当取得最大值时,，故C错误；
对D，当时，由A知，，即，
即，解得，故D正确.
故选：BD.
12．以下四个命题表述正确的是（ ）
A．圆与圆有且仅有两条公共切线，则实数的取值可以是3
B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1
C．具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为，若，椭圆与双曲线的离心率分别记作，则，
D．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过定点
【答案】BC
【分析】A选项，当时，求出两圆圆心距等于两圆半径之和，故两圆外切，有3条公共切线，A错误；
B选项，求出圆心到直线的距离为1，圆的半径为2，故有且仅有3个点到直线，B正确；
C选项，设椭圆：，双曲线：，，
由椭圆定义和双曲线定义得到，，求出，，由勾股定理得到，求出；
D选项，设，则，由题意得：四点共圆，且为直径，
求出圆心和半径，得到该圆的方程，求出切点弦方程，结合得到定点坐标.
【详解】对A，圆变形为，故圆心为，半径为，
圆圆心为，半径为，
当时，故圆心距，
此时两圆外切，故两圆有3条公共切线，A错误；
对B，圆的圆心到直线的距离为，
而圆的半径为2，故有且仅有3个点到直线的距离都等于1，B正确；
对C，设椭圆：，双曲线：，，
因为，所以，，
解得：，，
由勾股定理：，即，
化简得：，
则椭圆的离心率，双曲线的离心率，
则，C正确；
对D，设，则，由题意得：四点共圆，且为直径，
则此圆圆心为，半径为，
故圆的方程为，
，与相减得：，
因为，所以过定点，
即直线经过定点，D错误.
故选：BC
【点睛】过圆上一点的切线方程为：，
过圆外一点的切点弦方程为：.
三、填空题（每小题5分）
13．函数的单调减区间为__________．
【答案】
【分析】求导，利用导数求单调区间，注意原函数的定义域.
【详解】∵，则
令，则
∴函数的单调减区间为
故答案为：.
14．已知，，，若三个向量共面，则实数等于__________.
【答案】8
【分析】由题意可得存在实数使得成立，列出方程组求解即可.
【详解】解：因为共面，
所以存在实数使得成立，
即，解得.
所以.
故答案为：8.
15．已知抛物线，圆，点，若A，B分别是，上的动点，则的最小值为______．
【答案】2
【分析】由抛物线得焦点，准线为，，转化为求取得最小值，过点M作准线的垂线与抛物线相交，当点A为此交点时，取得最小值，由此可求得答案.
【详解】解：由抛物线得焦点，准线为，
由圆，得，所以圆是以为圆心，以为半径的圆，
所以，所以当取得最小值时，取得最小值，
又根据抛物线的定义得等于点A到准线的距离，
所以过点M作准线的垂线，垂足为N，且与抛物线相交，当点A为此交点时，取得最小值，最小值为，所以此时，
所以的最小值为2.
故答案为：2.
16．已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．
【答案】27
【分析】方法一：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值.
【详解】［方法一］：【通性通法】【最优解】
设，则
由得，化简得，
，解得：，即．
所以只需研究是否有满足条件的解，
此时，，为等差数列项数，且.
由即，解得，所以
得满足条件的最小值为.
故答案为：.
［方法二］：列举法＋二分法
与相比，B元素间隔大．因此利用列举法从中元素构成看，分别加了几个B中元素进行考虑．
1个：；
2个：；
3个：；
4个：；
5个：；
6个：．
发现当时，发生变号，以下用二分法查找：
，所以所求n应在22~29之间．
，所以所求n应在25~29之间．
，，不符合条件；，，符合条件．
因为，而，
故答案为：.
【整体点评】方法一：先由求和公式寻找不等式成立的充分条件，即当第项的值大于等于时，不等式成立，再寻找第项的值在与之间时是否也可以有满足题意的解，从而解出，是本题的通性通法，也是最优解；
方法二：根据两个集合的特征，一一列举集合中的元素，并研究集合中元素的和与的变化规律，从而找出可能满足不等式的解，再由二分法验证解出，该法计算较为麻烦．
四、解答题(10+12+12+12+12+12)
17．求满足下列条件的直线的一般式方程：
（1）经过直线的交点P，且经过点；
（2）与直线垂直，且点到直线l的距离为.
【答案】(1) (2)或
【分析】（1）联立直线方程，求交点，根据两点式，可得答案；
（2）根据垂直设出直线方程，由点到直线距离，可得答案.
【详解】（1）由，得，点的坐标为
所求直线又经过点，得直线的两点式：，
所求直线的一般式：.
（2）所求直线与垂直，可设直线的方程为.
又直线到点的距离为，，解得或，
所求的直线方程为或.
18．（1）已知函数，求；
（2）已知函数，若曲线在处的切线也与曲线相切，求a的值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）求导后，代入即可得到结果；
（2）根据导数几何意义可求得在处的切线斜率，进而得到切线方程；设该直线与相切于，求得在处的切线方程，根据两切线方程相同，可构造方程组求得结果.
【详解】（1），；
（2），，又，
在处的切线方程为：；
设与相切于点，
，，
切线方程为：，即，
，解得：.
19．在数列中，．
(1)求证：是等差数列，并求数列的通项公式．
(2)设，求数列的前n项的和．
【答案】(1)证明见解析，；
(2)
【分析】（1）根据递推关系式，由等差数列的定义、通项公式求解即可；
（2）根据裂项相消法求和即可得解.
【详解】（1）因为，所以，
否则与矛盾，故，
又，∴数列是以3为首项，2为公差的等差数列，
所以，
因此．
（2）由（1）知，
∴.
20．如图，在直三棱柱中，为的中点，建立适当的空间直角坐标系：
（1）证明：平面；
（2）证明：平面平面．
【分析】（1）利用向量法去证明平面；（2）利用向量法去证明平面平面．
【详解】（1）在直三棱柱中，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，，，
，，，
则，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
，且平面，则平面
（2），，
设平面的一个法向量，
则，取，得，
又平面的法向量，则，则
平面平面．
21．已知椭圆C：经过点，且离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）椭圆C上的两个动点M，N（M，N与点A不重合）直线AM，AN的斜率之和为4，作于H．问：是否存在定点P，使得为定值．若存在，求出定点P的坐标及的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)存在定点，使得为定值且定值为．
【分析】（1）由题意得，再由离心率，结合的关系求得得椭圆方程；
（2）假设存在定点满足题意，在的斜率存在，设直线的方程为，，直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得，同时注意，利用求得的关系，得直线过定点，的中点即为定点．再验证斜率不存在时也满足题意.
【详解】（1）由已知，，解得（负值舍去），
椭圆方程为；
（2）假设存在定点满足题意，
当的斜率存在，设直线的方程为，，
由得，
，．
，
，所以，
，，或，直线存在，
直线方程为，时，，
即直线过定点，，
取的中点，因为，所以为定值．
当直线斜率不存在时,设,,则，，此时直线也过定点，满足题意．
所以存在定点，使得为定值且定值为．
【点睛】本题考查求椭圆方程，考查椭圆中的定点、定值问题．解题方法是设出直线方程为，设动点，直线方程代入椭圆方程，应用韦达定理得，利用已知条件求得的关系，从而得出动直线过定点，由直角三角形的性质所求定点随之而定．本题对学生的逻辑思维能力，运算求解能力要求较高，属于困难题型．
22．已知函数，是的导函数，且有两个零点.
（1）讨论的单调性；
（2）若，求证：.
【答案】（1）在单调递减，在单调递增；（2）证明见解析.
【分析】（1）函数的定义域为，令，故，由于，进而得函数，的解集，进一步得函数的单调区间；
（2）由（1）得，进而，再结合不等式即可证得.
【详解】解：（1）函数的定义域为，，
设，，由于
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以在单调递减，在单调递增.
（2）证明：因为是函数有两个零点，
所以，所以，
所以
所以
下面先证：，
只需证：，只需证：，
设，故只需证：，只需证
故设，，
所以在上单调递增，故，
所以成立，故成立，
所以
因为，所以，所以，
所以.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调区间，证明不等式等，考查运算求解能力，是难题.本题第二问解题的关键在于利用不等式进行放缩求解.
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