2023届江西省新余市分宜县中学高三下学期4月第一次模拟数学（理）试题含解析

这是一份2023届江西省新余市分宜县中学高三下学期4月第一次模拟数学（理）试题含解析，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

分宜县中学2023届高三下学期4月第一次模拟
数学（理）试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．集合，，则（    ）
A． B． C． D．
1．设集合，，则（    ）
A． B．
C． 或 D．或
2．设是虚数单位，是复数z的共轭复数，若，则的虚部为（    ）
A． B． C． D．
3．已知等差数列中，、是的两根，则（    ）
A． B． C． D．
4．函数的图象大致为（    ）
A． B．
C． D．
5．从分别写有1，3，5，7，9的五张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第二张卡片上的数字小于第一张卡片上的数字的概率为（    ）
A． B． C． D．
6．已知直角梯形中，，P是边上一点(不包括B､C两点).若，，且，则的最小值为（    ）
A．0 B．2 C．3 D．4
7．已知实数x，y满足不等式组,则z＝2x＋y的最大值为(　　)
A．7 B．3 C．2 D．－1
8．随机变量X的分布列如表所示，若，则（    ）
X

0
1
P

a
b

A．9 B．7 C．5 D．3
9．五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽.如果把这五个音阶全用上，排成一个5个音阶的音序，从所有的这些音序中随机抽出一个音序，则这个音序中宫、羽不相邻的概率为（    ）
A． B． C． D．
10．已知函数（）的部分图象与坐标轴交于点，如图，其中，，且，则的值为

A． B． C． D．
11．如图，此形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…．设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（    ）．

A． B．
C． D．
12．已知函数y=f（x），若给定非零实数a，对于任意实数x∈M，总存在非零常数T，使得af（x）=f（x+T）恒成立，则称函数y=f（x）是M上的a级T类周期函数，若函数y=f（x）是[0，+∞）上的2级2类周期函数，且当x∈[0，2）时，f（x）=，又函数g（x）=﹣2lnx+x2+x+m．若∃x1∈[6，8]，∃x2∈（0，+∞），使g（x2）﹣f（x1）≤0成立，则实数m的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，] B．（﹣∞，] C．[） D．[）
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分。)
13．对于任意的两个向量，，规定运算“”为，运算“”为．设，若，则_______．
14．在的二项展开式中，按的降幂排列，只有第项的系数最大，则各项的二项式系数之和为________（答案用数值表示）.
15．已知，，P是圆O：上的一个动点，则的最大值为_________.
16．已知直线y=—x+1与椭圆：（）相交于两点，且线段的中点在直线：上，椭圆的右焦点关于直线的对称点在圆上，则椭圆的方程是_______.
三、解答题(本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程。)
17．已知函数满足，且的最小值为．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若，，求的值．
18．2018年8月8日是我国第十个全民健身日，其主题是：新时代全民健身动起来.某市为了解全民健身情况，随机从某小区居民中抽取了40人，将他们的年龄分成7段：[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]后得到如图所示的频率分布直方图.

（1）试求这40人年龄的平均数的估计值；
（2）（i）若从样本中年龄在[50，70）的居民中任取2人赠送健身卡，求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率；
（ⅱ）已知该小区年龄在[10，80]内的总人数为2000，若18岁以上（含18岁）为成年人，试估计该小区年龄不超过80岁的成年人人数.
19．在正三角形ABC中，E､F､P分别是AB､AC､BC边上的点，满足(如图1)．将沿EF折起到的位置，使二面角成直二面角，连接A1B､A1P(如图2)

(1)求证：平面BEP；
(2)求直线A1E与平面A1BP所成角的大小．
20．已知点，点为平面上动点，过点作直线的垂线，垂足为，且.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)过点的直线与轨迹交于两点，在处分别作轨迹的切线交于点，设直线的斜率分别为，，求证：为定值.
21．已知函数.
（1）时，求函数的单调区间；
（2）若在上恒成立，求整数的最大值.

请从下面所给的 22、23 两题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）设曲线的极坐标方程是，曲线的极坐标方程是，与的一个交点为点异于点，与的交点为，求．

23．选修4-5： 不等式选讲
设函数．
（1）当时，求函数的最小值；
（2）若对任意实数恒成立，求实数的取值范围．
1．C
【解析】先利用对数函数的定义域的求法结合一元二次不等式的解法化简集合B，再利用并集的运算求解.
【详解】因为或，，
所以或，
故选：C.
2．A
【分析】根据复数代数形式的乘方与除法运算化简复数，即可得到其共轭复数，即可判断；
【详解】解：因为

所以，则的虚部为；
故选：A
3．B
【分析】利用韦达定理结合等差中项的性质可求得的值，再结合等差中项的性质可求得结果.
【详解】对于方程，，
由韦达定理可得，故，则，
所以，.
故选：B.
4．D
【分析】利用的奇偶性和特殊值，，即得解
【详解】由题意，的定义域为，
，故为奇函数，排除C；
，排除A，，排除B.
故选：
5．C
【分析】首先根据题意得到全部基本事件个数，列出符合的基本事件，再根据古典概型即可得到答案.
【详解】两次抽取共有结果，
抽得的第张卡片上的数字小于第一张卡片上的数字的有
，，，，，，，，
，，共有种，所以概率为.
故选：C
【点睛】本题主要考查古典概型，利用列举法列出基本事件为解题的关键，属于简单题.
6．C
【分析】令有，利用几何图形中各线段位置关系及其对应向量的线性关系，得，结合已知即可求其最小值.
【详解】
由题意，，，若，则，
∴，又，，
∴，
∴当时，的最小值为3.
故选：C.
7．A
【详解】根据题意画出不等式组表示的平面区域如图，当过点C(2,3)时，z取最大值zmax＝2×2＋3＝7.

点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.
8．C
【解析】由，利用随机变量的分布列列出方程组，求出，，由此能求出，再由，能求出结果．
【详解】，
由随机变量的分布列得：
，解得，，
．
．
故选：．
【点睛】本题考查方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是常考题．
9．C
【分析】把这五个音阶全用上，排成一个5个音阶的音序，基本事件总数，其中宫、羽不相邻的基本事件有，由此可求出所求概率.
【详解】解：中国古乐中的五声音阶依次为：官、商、角、微、羽，把这五个音阶全用上，排成一个5个音阶的音序，基本事件总数，
其中宫、羽不相邻的基本事件有，
则从所有的这些音序中随机抽出一个音序，这个音序中宫、羽不相邻的概率为
，
故选：C
【点睛】此题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等知识，考查运算求解能力，属于基础题.
10．C
【详解】由得，又，可得函数的最小正周期为3，所以，可知，把点代入，结合图象，易得，所以，把点代入，可得，故选C.
11．C
【分析】根据的值可得，由递推公式即可判断B；利用累加法可得，再计算前4项的和即可判断A；由即可判断C；利用裂项相消求和法即可判断D.
【详解】因为，
，
，
……，
，
以上个式子累加可得：，
所以，故选项A错误；
由递推关系可知：，所以B错误；
由，可得，C正确；
因为，
所以，
D错误；
故选：C.
12．B
【分析】根据题意，由函数f（x）在[0，2）上的解析式，分析可得函数f（x）在[0，2）上的最值，结合a级类周期函数的含义，分析可得f（x）在[6，8]上的最大值，对于函数g（x），对其求导分析可得g（x）在区间（0，+∞）上的最小值，将原问题转化为
的问题求解．
【详解】根据题意，对于函数f（x），当x∈[0，2）时，，
可得：当0≤x≤1时，f（x）=1-x2，有最大值f（0）=1，最小值f（1）=0，
当1＜x＜2时，f（x）=f（2-x），函数f（x）的图象关于直线x=1对称，则此时有0＜f（x）＜1，
又由函数y=f（x）是定义在区间[0，+∞）内的2级类周期函数，且T=2；
则在x∈[6，8）上，f（x）=23•f（x-6），则有0≤f（x）≤4，
则f（8）=2f（6）=4f（4）=8f（2）=16f（0）=8，
则函数f（x）在区间[6，8]上的最大值为8，最小值为0；
对于函数，
有 ，
得在（0，1）上，g′（x）＜0，函数g（x）为减函数，
在（1，+∞）上，g′（x）＞0，函数g（x）为增函数，
则函数g（x）在（0，+∞）上，由最小值
若∃x1∈[6，8]，∃x2∈（0，+∞），使g（x2）-f（x1）≤0成立，
必有g（x）min≤f（x）max，即
解可得 ，即m的取值范围为
故选B．
【点睛】本题考查函数的最值问题，考查数学转化思想方法，训练了利用导数求最值，是中档题．
13．
【解析】设，根据所给运算的定义计算可得.
【详解】解：设
由，
可得解得
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查新定义运算，关键是掌握向量的坐标运算，属于基础题.
14．256
【详解】试题分析：由的二项展开式中，项的系数与二项式系数相等，因为只有第项的系数最大.即第五项的二项式系数最大.所展开式中共有9项，即.各项的二项式系数之和为.
考点：1.二项式定理展开式公式.2.二项式系数与二次项系数的关系.3.二项式系数的大小分布.
15．
【分析】设外接圆半径为R，由正弦定理可得，当外接圆半径最小，即外接圆与圆O相内切时，最大.
【详解】设外接圆半径为R，由正弦定理，，当外接圆半径最小，即外接圆与圆O相内切时，最大.
设外接圆圆心为M，由题可得其在AB中垂线上，可设其坐标为：.
则，，又圆M与圆O相内切，则圆心距等于半径之差，则，
等式两边平方并化简后可得：.
即外接圆半径为R的最小值为.
则此时最大，最大值为.
故答案为：

16．；
【分析】将直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理及中点坐标，求得椭圆的离心率，根据对称关系求得椭圆的右焦点关于直线的对称点，代入圆的方程，即可求得和的值，求得椭圆方程.
【详解】设两点的坐标分别为，
则由整理得：，
由根与系数的关系，得，，
且判别式，即  （），
所以线段的中点坐标为，
由已知得，
所以，
故椭圆的离心率为，从而椭圆的右焦点坐标为，
设关于直线的对称点为，
则，且，
解得，且，
由已知得，即，
所以，满足（），则，
所以所求的椭圆方程为，
故答案为：.
【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点的求法，椭圆方程的求解，属于常考题型.
17．（1）；（2）.
【分析】（1）化简，再利用条件求得的值，进而求出函数的单调区间；
（2）求出，再进行配角得，利用两角差的正弦公式，即可得答案；
【详解】（1）
因为，且的最小值为，所以，
因此
由得
即递增区间为
（2），

.
【点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数的单调区间、已知三角函数值求值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意角的配凑.
18．（1）37；（2）（ⅰ）；（ⅱ）1760.
【解析】（1）用每组数据中间点值乘以频率相加即得；
（2）（i）年龄在[50，70）的人有6人，其中年龄在[50，60）的有4人，6人分别编号后用列举法写出任选2人的所有基本事件，同时得出至少有1人年龄不低于60岁的基本事件，计数后可得概率；（ⅱ）求出18岁以上的居民所占频率即可得．
【详解】解：（1）平均数．
（2）（ⅰ）样本中，年龄在[50，70）的人共有40×0.15＝6人，其中年龄在[50，60）的有4人，设为a，b，c，d，年龄在[60，70）的有2人，设为x，y．
则从中任选2人共有如下15个基本事件：（a，b），（a，c），（a，d），（a，x），（a，y），（b，c），（b，d），（b，x），（b，y），（c，d），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（x，y）．
至少有1人年龄不低于60岁的共有如下9个基本事件：
（a，x），（a，y），（b，x），（b，y），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（x，y）．
记“这2人中至少有1人年龄不低于60岁”为事件A，
故所求概率．
（ⅱ）样本中年龄在18岁以上的居民所占频率为1－（18－10）×0.015＝0.88，
故可以估计，该小区年龄不超过80岁的成年人人数约为2000×0.88＝1760．
【点睛】本题考查频率分布直方图，考查古典概型，考查频率分布直方图的应用，考查了学生的数据处理能力，运算求解能力，属于中档题．
19．(1)证明见解析；
(2)﹒

【分析】(1)设正三角形的边长为3．在图1中，取的中点，连接．由已知条件推导出是正三角形，从而得到．在图2中，推导出为二面角的平面角，且．由此能证明平面．
(2)建立分别以、、为轴、轴、轴的空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成的角的大小．
【详解】（1）不妨设正三角形ABC的边长为3．

在图1中，取BE的中点D，连接DF．
由|AE|：|EB|＝|CF|：|FA|＝1：2，则|AF|＝|AD|＝2，而，
又是正三角形，又|AE|＝|DE|＝1，∴EFAD．
在图2中，A1EEF，BEEF，∴A1EB为二面角A1﹣EF﹣B的平面角．
由题设条件知此二面角为直二面角，则A1EBE．
又BE∩EF＝E，∴A1E平面BEF，即A1E平面BEP；
（2）建立分别以EB､EF､为x轴､y轴､z轴的空间直角坐标系，

则E(0，0，0)，，，，，
则，，．
设平面ABP的法向量为，
由平面ABP知，，，即，
令，得，，即，
设直线A1E与平面A1BP所成角，
则，
∴故直线A1E与平面A1BP所成的角为．
20．(1)
(2)

【分析】（1）设，则，通过向量的数量积求出动点的轨迹的方程；
（2）设点为轨迹C上一点，直线为轨迹的切线，与椭圆方程联立，利用判别式求出，设，直线与抛物线方程联立，利用韦达定理求解斜率乘积即可．
【详解】（1）设，则，有，，，，
从而由题意，得，
所以动点的轨迹的方程；
（2）设点且为轨迹上一点，直线为轨迹的切线，
有，消去得，
其判别式，解得，有，
设，
联立得，所以，
可得，解得，
所以为定值.
21．（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）.
【分析】（1）求得函数的定义域为，求得，分别解不等式、可得出函数的单调递减区间和递增区间；
（2）分析可知不等式在时恒成立，利用导数求出函数在时的最小值，即可得出整数的最大值.
【详解】（1）当时，，该函数的定义域为，.
由，可得；由，可得.
所以，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2），可得，
因为，可得，所以，不等式在时恒成立，
令，其中，所以，，
令，其中，则，
所以，函数在上单调递增，且，，
所以，存在使得.
且当时，，即，此时函数单调递减，
当时，，即，此时函数单调地增，
所以，当时，，
因为，因此，整数的最大值为.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
22．（1）； （2）3.
【解析】（1）根据曲线C的参数方程，先转化为直角坐标方程，再将直角坐标方程转化为极坐标即可.
（2）根据曲线、曲线与曲线C的极坐标方程，可分别求得曲线与曲线的极径，结合极坐标的几何意义即可求得.
【详解】1曲线C的参数方程是为参数，
转换为直角坐标方程为，
转换为极坐标方程为．
2曲线的极坐标方程是，
曲线的极坐标方程是，
与C的一个交点为点M异于点，则，解得，
与的交点为N，则解得，
所以．
【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的转化，直角坐标方程与极坐标的转化，极坐标几何意义的应用，属于中档题.
23．（1）4（2）
【详解】试题分析：（1）当时，利用绝对值不等式的性质即可求得最小值；（2）将不等式恒成立中求解参数的范围的问题转化为求函数的最值问题，其中求解函数最值时可结合绝对值不等式的性质得以实现.
（1）时，，
所以函数的最小值为4．
（2）恒成立，即恒成立，
当时，显然成立；
当时，．
综上，的取值范围是．