2023届湖南省永州市高三高考第三次适应性考试数学试题PDF版含答案

  永州市2023年高考第三次适应性考试试卷

数学参考答案及评分标准

一、单项选择题

二、多项选择题

三、填空题

13．4或16   14．0.0315   15．   16．

部分小题答案:

7.  解析：

  令，则可得，故，

  将两边倒数得，所以为递减数列. 

  所以.

  可得，

  所以，

  所以，

  所以，

  根据等比数列求和公式得，

  综上，

8.  解析：

    两边同时除以a得，

    令t=x+a,原不等式等价于：，

  设，，对求导并画出函数图像，

  当直线与曲线相切时，解得，选D

11. 解析：

A选项，因为，

所以三点共线，即直线经过抛物线焦点.

当直线的斜率为0时，此时，直线l与C只有1个交点，不合题意，

故设直线，与联立得：，

    故，因为，所以，

代入中，得到，  即，

    因为点A在第一象限，所以，故，

    即，，

    解得：故直线l的斜率为，设直线l的倾斜角为，

    则，解得：，A正确；

    B选项，当直线l不经过焦点时，设，，

由三角形三边关系可知：，

由抛物线定义可知：，

即，B不正确；

    C选项，由题意得：，准线方程为，

    当直线的斜率为0时，此时，直线l与C只有1个交点，不合题意，

    故设直线，与联立得：，

    故，

    则，所以 ，

    解得：，C正确；

D选项，设，

过点作⊥准线于点，过点作⊥准线于点P，

因为以AB为直径的圆M经过焦点F，所以⊥，

则，由抛物线定义可知：

，

由基本不等式得：，

则，

当且仅当时，等号成立，

故，即，D正确；

故选：ACD

12. 解析：

由题设，

所以，

故，

A选项由的最小正周期为，知的最小正周期为，

同理的最小正周期为，则的最小正周期为，A不正确；

对于，令，则对称轴方程为且，B正确；

由可转化为与交点横坐标，而上图象如下：

函数有奇数个零点，由图知：，此时共有9个零点，

、、、、

、、、、

,,，

，所以C正确.

对任意有，，且满足且，而的图象如下：

所以，

即，D错误；

故选：BC

16. 解析：

设，连接，，且，

所以平面，设正方体的棱长为1，

则可知为棱长为的正四面体，

所以为等边三角形的中心，

由题可得，得，

所以，

又与平面所成角为，则，

可求得，即在以为圆心，半径的圆上，且圆在平面内，

由平面，又平面，平面平面，且两个平面的交线为AO，把两个平面抽象出来，如图：

作于点，过点作交AD于N点，连接，

平面平面，平面，平面平面，

平面，平面，  ，

又，MN与PM为平面PMN中两相交直线，

故平面PMN，平面PMN，

，为二面角的平面角，即为角，

设，当M与点不重合时，在中，可得

，

若M与点重合时，即当时，可求得，也符合上式，

故，，，，

解得：，

再取的中点，连接,在Rt三角形PFM和Rt三角形中

利用勾股定理得

    所以PQ的最大值为

四、解答题

17．（本题满分10分）

解：

（1）证明：由题意得，            …………………1分

     因为，         

     所以，         …………………2分

     即，                              …………………3分

     所以．

     当时，，所以，解得，    …………………4分

     故是以5为首项，4为公差的等差数列．      …………………5分

（2）由（1）可知，，           …………………6分

 所以

       …………………8分

           …………………10分

18．（本题满分12分）

解：

（1）由正弦定理得：

            …………………1分

 在三角形中，

       …………………2分

    …………………3分

        …………………4分

            …………………5分

           …………………6分

（2）

 由余弦定理得

   则①    …………………7分

 又

 由于

 则②         …………………8分

 ①=②即

     亦即    

 则或            …………………9分

 当时，代入①得    

 周长          …………………10分

 当时，代入①得      …………………11分

 周长         …………………12分

19．（本题满分12分）

解：

（1）连接交于点O,连接OM

  四边形为菱形   

              …………………1分

  为中点         

               …………………2分

  四边形为正方形     

            …………………3分

  平面           …………………4分

  平面       

                             …………………5分

（2）以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，过O且垂直于平面ABCD                的直线为z轴，得，．                                                …………………6分

      ，

      由（1）知，平面

 平面，，是等边三角形……………7分

  点M作NH垂直OC于点H，在中，，，

  可得CM边上的高为，由等面积法可得OC边上的高，

  由勾股定理可得，         …………………8分

  故，，

  ，，   …………………9分

      设平面的法向量为，则，

  即，       

  取，平面的一个法向量为．    ……………………10分

  设直线与平面所成角为，

  则，    ……………………11分

  直线与平面所成角的余弦值    ……………………12分

20．（本题满分12分）

解：

（1）当=0时，

用分层抽样的方法抽取购买传统燃油车的6人中，男性有2人，女性有4人.                                                                                                                                                                                                                                                                                     ……………1分

由题意可知，X的可能取值为1，2，3.

   ……………3分

X的分布列如下表

 ……………4分

          ……………5分

（2）（i）零假设为：

性别与是否购买新能源汽车独立，即性别与是否购买新能源汽车无关联.

当=0时，

，

…………6分

      …………7分

                 …………8分

 的独立性检验，我们推断不成立，即认为性别与是否购

   买新能源汽车有关联，此推断犯错误的概率不超过0.005.           …………9分

（ii）

                 …………10分

     由题意可知              …………11分

     整理得

     ，

     所以的最大值为4，

     又，

     至少有76名男性购买新能源汽车                              …………12分

21．（本题满分12分）

解：

（1）证明：如图所示，

设.       

由.          ……………1分

又点在椭圆上，故       ………… …2分

整理得          ……………3分

由同理可得          ……………4分

由于不重合，即

因此的两个根，所以为定值。 …………5分

（2）直线的方程为即               …………6分

     将代入

     得           …………7分

     于是，          …………8分

     从而       …………9分

                   …………10分

 若点不在椭圆的内部，则，

 所以的最小值为，            …………11分

 故面积的最小值为.              …………12分

22．（本题满分12分）

解：

（1）由题意得：，

     因为为函数的极值点，

     所以，，

     知：，，

     ，          ……………1分

（i）当时，

     由，，，，得，

     所以在上单调递减，，

     所以在区间上不存在零点；       ……………2分

（ii）当时，设，

     则.

 ①若，令，

       则，

       所以在上单调递减，

       因为，，      ……………3分

       所以存在，满足，

       当时，，在上单调递增；

       当时，，在上单调递减；    …………4分

 ②若，令，，

       则，所以在区间上单调递减，   ………5分

       所以，

       又因为，

       所以，在上单调递减；   ………6分

 ③若，则，在上单调递减.

       由（a）（b）（c）得，在上单调递增，在单调递减，

       因为，，

       所以存在使得，

       所以，当时，，在上单调递增，，

       当时，，在上单调递减，

       因为，，

       所以在区间上有且只有一个零点.

       综上，在区间上的零点个数为个；     ………7分

（2）因为，（*）

     对，      

     两边求导得：，    ………9分

     ，

     所以，（**）     

     比较（*）（**）式中的系数，得   ……11分

     所以.         ………12分