2023届安徽省定远中学高三下学期高考诊断（一）数学试卷含答案

2023年高考数学一诊试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  设全集且，，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知为正整数，则“是的倍数”是“的二项展开式中存在常数项”的条件．(    )

A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要

3.  空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为、、、、和六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“严重污染”六个等级如图是某市月日至日连续天的空气质量指数趋势图，则下面说法中正确的是(    )

A. 这天中有天空气质量为“中度污染”
B. 从日到日空气质量越来越好
C. 这天中空气质量指数的中位数是
D. 连续三天中空气质量指数方差最小是日到日

4.  已知数列的前项和为，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  等额分付资本回收是指起初投资，在利率，回收周期数为定值的情况下，每期期末取出的资金为多少时，才能在第期期末把全部本利取出，即全部本利回收，其计算公式为：某农业种植公司投资万元购买一大型农机设备，期望投资收益年利率为，若每年年底回笼资金万元，则该公司将至少在年内能全部收回本利和．(    )

A.  B.  C.  D.

6.  在中，点在边上，且，，记，中点分别为，，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知定义在上的可导函数的导函数为，满足且为偶函数，，则不等式的解集为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知是定义在上的偶函数，且在为减函数，则(    )

A.  B.
C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  下列关于复数的四个命题正确的是(    )

A. 若，则
B. 若，则的共轭复数的虚部为
C. 若，则的最大值为
D. 若复数，满足，，，则

10.  已知定义在的函数在上单调递增，，且图象关于点对称，则下列结论中正确的是(    )

A.  B. 在单调递减
C.  D. 在上可能有个零点

11.  如图，已知圆锥顶点为，其轴截面是边长为的为正三角形，为底面的圆心，为圆的一条直径，球内切于圆锥与圆锥底面和侧面均相切，点是球与圆锥侧面的交线上一动点，则 (    )
 

A. 圆锥的表面积是
B. 球的体积是
C. 四棱锥体积的最大值为
D. 的最大值为

12.  对于定义域为的函数，若存在区间使得同时满足：在上是单调函数，当的定义域为时，的值域也为，则称区间为该函数的一个“和谐区间”(    )

A. 函数有个“和谐区间”
B. 函数，存在“和谐区间”
C. 若定义在上的函数有“和谐区间”，实数的取值范围为
D. 若函数“和谐区间”，则实数的取值范围为

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13.  盲盒常指装有不同公仔手办，但消费者不能提前得知款式的盒装玩具，一般按系列贩售它的随机性和一些隐藏款吸引着很多年轻人重复购买小明购买了个冰墩墩单只盲盒，拆开后发现有个相同的“竹林春熙”以及个相同的“冰雪派对”、“青云出岫”、“如意东方”各个小明想将这个摆件排成一排，要求相同的摆件相邻若相同摆件视为相同元素，则一共有______ 种摆放方法．

14.  设，分别为椭圆：的左、右焦点，为短轴一个端点，直线交椭圆于另一点，且，则椭圆的离心率是        ．

15.  已知，，则        ．

16.  将横坐标与纵坐标均为整数的点称为格点已知，将约束条件表示的平面区域内格点的个数记作，若，则 ______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分

设数列是等差数列，已知．

求数列的通项公式；

设，求．

18.  本小题分
已知在中，角，，的对边分别是，，，面积为，且_____．
在，，这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并根据这个条件解决下面的问题．
求；
若，点是边的中点，求线段长的取值范围．
 

19.  本小题分
学生的学习除了在课堂上认真听讲，还有一个重要环节就是课后的“自主学习”，包括预习，复习，归纳整理等等，现在人们普遍认为课后花的时间越多越好，某研究机构抽查了部分高中学生，对学生花在课后的学习时间设为分钟和他们的数学平均成绩设为做出了以下统计数据，请根据表格回答问题：

请根据所给数据绘制散点图，并且从以下三个函数从；：三个函数中选择一个作为学习时间和平均的回归类型，判断哪个类型更加符合，不必说明理由；
根据中选择的回归类型，求出与的回归方程；
请根据此回归方程，阐述你对学习时长和成绩之间关系的看法．
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．
参考数据：

20.  本小题分
已知抛物线：的焦点为，为抛物线上一点，，且的面积为，其中为坐标原点．
求抛物线的方程；
已知点，不垂直于轴的直线与抛物线交于，两点，若直线，关于轴对称，求证：直线过定点并写出定点坐标．

21.  本小题分
如图，在四棱锥中，，，，平面，为的中点．
证明：平面；
求直线与平面所成角的余弦值．

22.  本小题分
已知函数．
若函数存在零点，求实数的最大值；
当时，函数恒成立，求实数的取值范围．

答案和解析

1.答案： 

解析：全集且，，
则，
．
故选：．
2.答案： 

解析：的二项展开式的通项公式为，
令，解得，，
所以，若的二项展开式中存在常数项，则是的倍数，反之，亦成立．
故“是的倍数”是“的二项展开式中存在常数项”的充要条件．
故选：．
3.答案： 

解析：根据题意，依次分析选项：
对于，这天中有天空气质量指数在之间，则有天为“中度污染”，A错误；
对于，从日到日空气质量逐渐下降，即空气质量越来越好，B正确；
对于，将组数据从小到大排列：，，，，，，，，，，，，，，其中位数为，C错误；
对于，日到日的三天，数据相差比较大，则连续三天中空气质量指数方差最小不是日到日，D错误．故选：．
4.答案： 

解析：已知数列的前项和为，，，
可得

．
故选：．
5.答案： 

解析：由题意，知万元，万元，，
由公式可得，整理得，
等式两边取对数，得，
故选：．
6.答案： 

解析：如图所示：，
，，
，
，
，
，
，
，，
又，且，分别为，的中点，
，
，
，
，，
又，，，
，
故选：．
7.答案： 

解析：为偶函数，
的图象关于对称，
，
设，
则，
又，
，
，
单调递减，
，
，即，
又，
，
，
即不等式的解集是

8.答案： 

解析：因为是定义在上的偶函数，
所以，
，
因为，，
所以，
又在为减函数，
所以，
即故答案选C．

9.答案： 

解析：，设，，，，A正确，
，，，
的共轭复数为，虚部为，B错误，
，若，则复数对应的点在以为圆心，以为半径的圆上，
则表示点到的距离，故的最大值为，C正确，
，，，设，，
则，
，两式平方相加得，，
，
，D正确，
故选：．
10.答案： 

解析：因为，
所以的图象关于对称，且有，
又因为的图象关于点对称，
所以，
所以，
即有，
所以，
所以的周期为，故A正确；对于：由选项A可知：函数的周期为，且函数的图象关于点对称，
故函数的图象关于点对称，
所以，
则，
且函数的周期为，则
即，
由选项A可知：，则，
可得，即函数为偶函数，
函数在上单调递增，则函数在上单调递减，
且函数的图象关于点对称，
故函数在上单调递减，
但不能确定在上是否连续不断，
故无法判断在上的单调性，B错误；
对于：函数的周期为，则，，
，则，
故，C错误；
对于：，
令，则，解得，
则，
故在一个周期内至少有个零点，
可得在上至少有个零点，
且，
故在上至少有个零点，
例如，，符合题意，但在内无零点，
由函数的性质可知：在，内均无零点，
故在一个周期内只有个零点，
可知在上有个零点，
故在上可能有个零点，D正确．故选：．
11.答案： 

解析：依题意，动点的轨迹是圆，所在平面与圆锥底面平行，令其圆心为，连接，如图，

正内切圆即为球的截面大圆，球心、截面圆圆心都在线段上，
连接，，，
则球的半径，
显然，，，，，，
对于，圆锥的表面积是，所以A错误；
对于，球的体积是，所以B正确；
对于，因为到平面的距离与截面圆圆心到平面的距离相等，均为，
因此当与垂直时，体积最大，
其最大值为，所以C正确；
对于，，
所以，
所以，所以，
由基本不等式可知，
即，当且仅当时取等号，所以D正确．

12.答案： 

解析：对于，，均在上单调递增，
函数在上单调递增，
，，是的两个根，
解得的可能取值为，，，
函数有个和谐区间：，，，故A正确；
对于，，，解得，只有一个解，
不存在和谐区间，故B错误；
对于，在区间上有和谐区间，
存在区间，使函数的值域为，
的两个实根，
方程在上有两个不等的实根，
即在上有两个不等的实根，
令与，
问题转化为函数与的图象在存在两个不同的交点．
，，
令，解得，
由对勾函数的性质得函数在单调递减，在单调递增，
，且，，
要想在上有两个不等的实根，
则需，解得，故C正确；
对于，函数在定义域单调递减，
当的定义域为时，的值域为，
，，，
两式相减得，
即，
将代入，，
令，得，
，，
，，
，实数的取值范围为，故D正确．
故选：．
13.答案： 

解析：将个相同的“竹林春熙”看成一个整体，则个相同的“林春熙”没有顺序，
个相同的“冰雪派对”也看成一个整体，则个相同的“冰雪派对”没有顺序，
所以相同的摆件相邻时，一共有种摆放方法．
故答案为：．
14.答案： 

解析：由已知可得，
设，则，
，，
，解得，
在中，由余弦定理可得，
，
，
化简整理得，，
故答案为：．
15.答案： 

解析：，
，
，
解得，
故答案为：．
16.答案： 

解析：作出的可行域，如右图所示，
考虑到，都是整数，则，，，，
所以在直线上，考虑到为整数，则为的倍数，为的倍数．
取，代入，有，
即在直线上一共有个格点．
则可行域中，共有，
故，又，
，，即，
故答案为：．
实数的取值范围是． 

17.答案：设等差数列公差为，由题意得，所以，
；
，
所以． 

18.答案：若选，因为，
所以，可得，
又因为，
所以．
若选，因为，
所以，整理可得，
解得或，
又因为，可得，
所以，
所以．
若选，因为，
所以由正弦定理可得，
又因为为三角形内角，，
所以，可得，
又因为，，
所以，可得．
因为，所以，
因为是的中点，所以，
平方得，
所以，
因为，所以时，，可得，
所以，可得，
故线段长的取值范田为 

19.答案：根据表格数据，作出散点图，如图所示：

由图象得最合适；
由得最合适，则对两边取以为底的对数得，
设，，则，
，，，
故，即，
；
由得，此回归方程为关于时间的增函数，说明随着学习时间的增加，学习成绩是提高的，但是函数的增速先快后慢，说明如果原来成绩较低，通过增加学习时间可以有效提高成绩，但是当成绩提高到分左右时，想要通过延长学习时间来提高学习成绩就比较困难了，需要想别的办法． 

20.答案：根据题意可得抛物线的焦点，
因为，
所以点在线段的垂直平分线上，
所以点的横坐标为，
将代入抛物线的方程可得，
所以的面积为，，
所以，
所以抛物线的方程为．
证明：设直线的方程为，，，
由，得，
所以，，
因为直线，的关于轴对称，
所以，
即，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以直线的方程为，
所以直线过定点． 

21.答案：证明：连接，由题意知底面为直角梯形，
因为为中点，所以，，
故四边形为正方形，所以，
又因为平面，所以，
故B平面，
而，，所以，
即平面；
如图建立空间直角坐标系，则，，，，
，
设平面的法向量为，
则有，取，
设直线与平面所成角为，，
，． 

22.答案：函数，．
函数存在零点方程存在实数解函数与有交点，
，，
时，，此时函数单调递增；时，，此时函数单调递减．
时，函数取得极大值即最大值，，
，
实数的最大值为．
当时，函数恒成立，
令，
，
令，，
，
可得时，函数取得极小值即最小值，，
，
时，，此时函数单调递增；时，，此时函数单调递减．
时，函数取得极大值即最大值，．
．