2023年广西壮族自治区桂林市中考二模数学试题

2023年广西壮族自治区桂林市中考二模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．如图，数轴上点表示的实数是（    ）

A．2 B．1.5 C． D．

2．剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟．下列四个剪纸图形中，属于中心对称图形的个数有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3．要判断甲、乙两队舞蹈队的身高哪队比较整齐，通常需要比较这两队舞蹈队身高的（　　）

A．方差 B．中位数 C．众数 D．平均数

4．二元一次方程组的解是（    ）

A． B． C． D．

5．我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（    ）

A． B． C． D．

6．对估算正确的是（    ）

A． B． C． D．

7．在数轴上表示不等式x－3≥0的解集，正确的是（   ）

A． B．

C． D．

8．下列说法中，正确的是（    ）

A．调查某班45名学生的身高情况宜采用全面调查

B．“太阳东升西落”是不可能事件

C．为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是条形统计图

D．任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的次数一定是13次

9．一元二次方程的根的情况为（    ）

A．无实数根 B．只有一个实数根

C．有两个相等的实数根 D．有两个不等的实数根

10．如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（    ）

A． B． C． D．

11．如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点的坐标为，，，当顶点A落在轴上时，反比例函数的图象恰好经过顶点，则的值为（    ）

A． B． C． D．

12．如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，，第二次将沿着折叠，恰好落在边上．则该矩形纸片的长宽比的值为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．

14．若与是同类项，则的值为______．

15．小明参加“强国有我”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项的成绩分别是分、分、分．若将三项得分依次按的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为______分．

16．在平面直角坐标系中，将点沿轴方向向右平移1个单位，得到点的坐标为______．

17．如图，在中，，，，半径为1的在内移动，当与的两边都相切时，圆心到点的距离为______．

18．如图，在中，，从左到右依次摆放三个正方形：，，，已知顶点，，在边上，顶点，，在边上，，，则的长为______．

三、解答题

19．计算：．

20．先化简，再求值：，其中．

21．《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解七年级学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读了几部”的问题在七年级学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图：

请根据以上信息，解答下列问题：

(1)请将条形统计图补充完整；

(2)求扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角度数；

(3)没有读过四大古典名著的两名学生准备从四大古典名著中各自随机选择一部来阅读，请用列表法或树状图法求他们恰好选中同一名著的概率．

22．某学校要在甲、乙两家印刷厂中选择一家印制一批《学生手册》，甲印刷厂提出：每本收元印刷费，另收元制版费；乙印刷厂提出：每本收元印刷费，不收制版费．

(1)分别写出在甲、乙两厂印制《学生手册》的费用（元），（元）与印制数量（本）之间的关系式；

(2)问该学校如何选择印刷厂印制《学生手册》比较合算？请通过计算说明理由．

23．某水库大坝的横截面是如图所示的四边形，坝顶与坝底平行，已知坝高24米，背水坡的坡度，为提高大坝防洪能力，现需要在大坝的背水坡填筑土石方加固，加固后坝顶加宽6米（即米），背水坡的坡度变为．

(1)求坝底加宽的宽度是多少？

(2)据相关部门估计，该工程需填筑土石方立方米，某施工队承包了这项工程，施工12天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，求施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？

24．如图，点在以为直径的上，平分交于点，连接．

(1)求证：；

(2)过点作的切线交的延长线于点，若，，求．

25．探索与发现

小张同学在用作图软件探索图形性质的数学活动中，进行如下操作：如图，在边长为6的正方形的边上取定点，使，在边上设置动点，连接，以为边在的上方作正方形，连接，．

(1)小张同学通过观察发现图中，请给出证明；

(2)探索过程中发现，在点的运动过程中，的面积是个定值，请证明并求出这个定值；

(3)进一步探索后发现，随着点的运动，的周长会随着点位置的变化而变化，但存在一个最小值，请你求出周长的最小值．

26．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，，与轴交于点．

(1)直接写出该抛物线的表达式；

(2)设抛物线的顶点为，连接，，，求的面积；

(3)如图2，抛物线的对称轴交轴于点，若点为轴上方、对称轴右侧抛物线上的一动点，过点作直线，分别交对称轴于点，，当时，求点的坐标．

参考答案：

1．D

【分析】根据点在数轴上的位置可直接得出结果．

【详解】解：由数轴可得：点E为和的中点，

∴数轴上点表示的实数是，

故选：D．

【点睛】题目主要考查实数与数轴，结合图形求解是解题关键．

2．C

【分析】根据中心对称图形的概念得出答案即可．

【详解】解：图中第一个、第二个、第三个图形，绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，是中心对称图形，

第四个图形旋转后不能重合，不是中心对称图形，

故选：C．

【点睛】本题考查了中心对称图形的概念． 中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，掌握此概念是解题关键．

3．A

【详解】由于方差是用来衡量一组数据波动大小的量，故判断两队舞蹈队的身高较整齐通常需要比较两个队身高的方差．

故选A

4．B

【分析】根据加减消元法解二元一次方程组即可求解．

【详解】解：

得，

解得：，

得，

解得：，

∴原方程组的解为：

故选：B．

【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．

5．A

【分析】绝对值较小的数的科学记数法的一般形式为：a×10-n，在本题中a应为3，10的指数为-7．

【详解】解：0.0000003

故选A

【点睛】本题考查的是用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数决定．

6．C

【分析】根据，可得答案．

【详解】解：，

，

故选：C．

【点睛】此题考查了估算无理数的大小，解题的关键是掌握首先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．

7．C

【分析】先解不等式，然后在数轴表示不等式的解集，要注意“两定”：一是定界点，定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．

【详解】解：∵x－3≥0，

．

在数轴上表示不等式的解集为：

故选C．

【点睛】本题考查了解不等式，在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式的解集表示方法是解题的关键．

8．A

【分析】根据全面调查与普查，随机事件，必然事件，统计图的选择，逐项分析判断即可求解．

【详解】解：A. 调查某班45名学生的身高情况宜采用全面调查，故该选项正确，符合题意；

B. “太阳东升西落”是必然事件，故该选项不正确，不符合题意；

C. 为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是扇形统计图，故该选项不正确，不符合题意；

D. 任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的次数可能是13次,故该选项不正确，不符合题意；

故选A

【点睛】本题考查了全面调查与普查，随机事件，必然事件，统计图的选择，掌握以上知识是解题的关键．根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，由此根据情况选择即可．

9．A

【分析】由一元二次方程根的判别式可得，从而可得答案．

【详解】解：，

，

原方程没有实数根．

故选A．

【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．

10．B

【分析】根据圆内接四边形对角互补即可求解．

【详解】解：∵四边形是的内接四边形，，

∴，

故选：B．

【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键．

11．B

【分析】过点C作轴，根据含30度角的直角三角形的性质及勾股定理得出，，再利用相似三角形的判定和性质得出，结合图形确定点，即可求解．

【详解】解：过点C作轴，如图所示：

∵，，

∴，，

∵的坐标为，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴点，

∵反比例函数的图象恰好经过顶点，

∴，

故选：B．

【点睛】题目主要考查反比例函数解析式的确定，相似三角形的判定和性质及勾股定理解三角形，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．

12．D

【分析】根据矩形的性质得出，再由折叠的性质及勾股定理得出，再由第二次折叠得出，，利用三角形等面积法确定，即可得出结果．

【详解】解：∵矩形，

∴，

第一次将边折叠到边上得到，

则，，

∴四边形是正方形，

∴，

∴，

第二次将沿着折叠，恰好落在边上，

则，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴该矩形纸片的长宽比的值为，

故选：D．

【点睛】题目主要考查矩形的折叠问题，勾股定理解三角形，理解题意，准确掌握运用折叠的性质是解题关键．

13．

【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，

要使在实数范围内有意义，必须，

∴．

故答案为：

14．

【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的两个单项式是同类项，即可求解．

【详解】解：∵与是同类项，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了同类项，掌握同类项的定义是关键．

15．

【分析】根据加权平均数的公式计算，即可求解．

【详解】解：小明的最终比赛成绩为分．

故答案为：

【点睛】本题主要考查了求加权平均数，熟练掌握加权平均数的公式是解题的关键．

16．

【分析】点平移坐标变化的规律：左减右加横坐标，上加下减纵坐标，依此计算即可．

【详解】解：点沿轴方向向右平移1个单位，得到点的坐标为，即，

故答案为：．

【点睛】本题考查了平移与坐标，掌握点平移中坐标变化的规律是解题的关键．

17．

【分析】与的两边相切于点D、F，连接，延长并延长交于点G，过点G作，根据切线的性质及角平分线的判定定理得出平分，利用角平分线的性质得出，再由勾股定理及解三角形得出，利用相似三角形的判定和性质求解即可．

【详解】解：如图所示，与的两边相切于点D、F，连接，延长并延长交于点G，过点G作，

∴，

∴平分，

∵，，

∴，

∵，，，

∴，

∴，，

∴，

∴，

解得：，，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，，

∴，

故答案为：．

【点睛】题目主要考查切线的性质、角平分线的判定和性质，解三角形，相似三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．

18．6

【分析】根据正方形的性质及相似三角形的判定和性质得出，设正方形的边长为x，则，代入求解即可．

【详解】解：∵四边形，，为正方形，，，

∴，，

∴，

∴，

设正方形的边长为x，则，

∴，

解得：（负值舍去），

∴的长为6，

故答案为：6．

【点睛】题目主要考查正方形的性质及相似三角形的判定和性质，理解题意，数量掌握运用相似三角形的判定和性质是解题关键．

19．2

【分析】根据算术平方根、绝对值、零指数幂、负指数幂的性质计算即可．

【详解】解：

．

【点睛】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是结合算术平方根、零指数幂、负指数幂和绝对值的性质计算．

20．；

【分析】利用平方差公式和单项式乘多项式的法则先去掉括号，然后合并同类项，最后代值计算即可．

【详解】解：原式

 ，  

当时，原式=．

【点睛】此题主要考查了整式的化简求值，熟练利用公式去括号并进行合并同类项是解题关键．

21．(1)见解析

(2)

(3)

【分析】（1）先求出被调查的总人数，继而求出“2部”对应的人数，进而补全统计图；

（2）先求出“4部”人数所占比例，用360°乘以“4部”人数所占比例即可；

（3）利用列表法或树状图法得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．

【详解】（1）解：被调查的总人数为（人），

∴“2部”对应的人数为（人）

补全统计图如图所示，

（2）解：由题意可得：扇形统计图中“4部”所占的比例为，则扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为，

（3）解：《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》分别用字母A、B、C、D表示，

树状图如下图所示：

一共有16种等可能性，其中他们恰好选中同一名著的可能性有4种，

故他们恰好选中同一名著的概率是，

即他们恰好选中同一名著的概率是．

【点睛】本题主要考查了扇形统计图以及条形统计图的运用、利用树状图求概率等知识点，读懂统计图、从统计图中得到必要的信息是解题的关键．

22．(1)，；

(2)该学校印制学生手册数量小于本时应选择乙厂合算，当印制学生手册数量大于本时应选择甲厂合算，当印制学生手册数量等于本时选择两厂费用都一样

【分析】（1）利用题目中提供的收费方式列出函数关系式即可；

（2）求出当两种收费方式费用相同的值，并以此为界作出正确的方案即可

【详解】（1）解：依题意，，；

（2）当时，即，则，

当时，即，则，

当时，即 ，则，

该学校印制学生手册数量小于本时应选择乙厂合算，当印制学生手册数量大于本时应选择甲厂合算，当印制学生手册数量等于本时选择两厂费用都一样．

【点睛】本题考查了一次函数的应用，弄清题意，正确列出函数解析式，合理进行分类讨论是解题的关键

23．(1)坝底加宽的宽度是12米；

(2)原计划平均每天填筑土石方立方米

【分析】（1）过点F作交于点H，作于点G，则四边形为平行四边形，且，结合平行四边形的性质及正切函数求解即可；

（2）设原计划平均每天填x立方米，根据题意列出方程求解即可得．

【详解】（1）解：过点F作交于点H，作于点G，则四边形为平行四边形，且，

∴，，

由题意得，，，

在中，，

在中，，

∴，，

∴坝底加宽的宽度是米；

（2）设原计划平均每天填x立方米，由题意得，

，,

解得，，

经检验是原分式方程的解．

答：原计划平均每天填筑土石方立方米．

【点睛】本题考查的是解直角三角形和分式方程的应用，掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的一般步骤、根据题意正确列出分式方程是解题的关键，注意分式方程解出未知数后要验根．

24．(1)见解析

(2)

【分析】（1）根据圆周角定理得出，再由角平分线的性质及圆周角定理即可证明；

（2）由切线的性质得出，过C作于M，根据勾股定理及三角形等面积法得出，，，再由相似三角形的判定和性质求解即可．

【详解】（1）证明：∵点在以为直径的上，

∴，

∵平分，

∴，

∴，

∴；

（2）∵是的切线，

∴

∴，

∴．

过C作于M，如图，

∴．

∴，

即，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

又∵，

∴，  

∴，

即，

∴．

【点睛】本题考查了圆的圆心角、弦、弧关系定理、圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握这些定理，灵活运用相似三角形的性质求解．

25．(1)见解析

(2)证明见解析，面积为6

(3)

【分析】（1）根据正方形的性质及同角的余角相等即可证明；

（2）过点F作于点H，则，根据全等三角形的判定和性质得出，然后计算三角形面积即可；

（3）过点F作交于点N，作点B关于的对称点M，连接，由题意得出当点P运动时，点F在直线上运动，利用矩形的判定和性质及三角形三边关系求解即可．

【详解】（1）证明：∵四边形和四边形都是正方形，

∴，

∴， ，

∴（同角的余角相等）；

（2）如图，过点F作于点H，则，

∵四边形都是正方形，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，  

∴；

（3）如图，过点F作交于点N，作点B关于的对称点M，连接，

由（2）得，

∴当点P运动时，点F在直线上运动，

∵四边形是边长为6的正方形，  

∴， ，

∴四边形是矩形，

∴，，

∵点B与点M关于对称，

∴，点M在上，，

∴，

∴，

∵(当且仅当点F在上时等号成立)，

∴，

∴的最小值为，

∴周长的最小值为．

【点睛】题目主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质及三角形三边关系的应用，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．

26．(1)

(2)

(3)

【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；

（2）先求得直线的解析式，过点作轴交于点，进而求得点的坐标，然后根据三角形面积公式进行计算即可求解；

（3）过点作轴于点，设，则，则，根据相似三角形的性质，列出比例式，解方程即可求解．

【详解】（1）解：抛物线经过点，，

解得：，

∴抛物线解析式为

（2）解：∵

∴,

由，当时，，

∴，

设直线的解析式为：，

将点代入得，

，解得：，

∴；

当时，

如图所示，过点作轴交于点，

∴

∴

（3）解：如图所示，过点作轴于点，

设，则，

∴，，

∵，，，

∴，

∵，

设，则，

∵，

∴

∴，，

∴，

解得：

当时， ，

∴．

【点睛】本题考查了二次函数的应用，面积问题，相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．