湖南省郴州市2023届高三下学期5月适应性模拟考试数学试题

这是一份湖南省郴州市2023届高三下学期5月适应性模拟考试数学试题，共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
湖南省郴州市2023届高三下学期5月适应性模拟考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知集合，若，则实数a的取值范围是（    ）A． B．C． D．2．设复数z在复平面内对应的点位于第一象限，且，则的值为（    ）A． B．C． D．3．已知A，B是：上的两个动点，P是线段的中点，若，则点P的轨迹方程为（    ）A． B．C． D．4．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长等于表高与太阳天顶距的正切值的乘积，即．若对同一“表高”两次测量，“晷影长”分别是“表高”的和，相应的太阳天顶距为和，则的值为（    ）A． B． C． D．15．已知圆台的上、下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为1，则圆台的体积为（    ）A． B． C． D．6．已知颜色分别是红、绿、黄的三个大小相同的口袋，红色口袋内装有两个红球，一个绿球和一个黄球；绿色口袋内装有两个红球，一个黄球；黄色口袋内装有三个红球，两个绿球（球的大小质地相同）．若第一次先从红色口袋内随机抽取1个球，然后将取出的球放入与球同颜色的口袋内，第二次从该口袋内任取一个球，则第二次取到黄球的概率为（    ）A． B． C． D．7．已知双曲线的离心率为，以坐标原点为圆心，双曲线的虚半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，若四边形的面积为，则双曲线的方程为（    ）A． B．C． D．8．定义：若直线l与函数，的图象都相切，则称直线l为函数和的公切线．若函数和有且仅有一条公切线，则实数a的值为（    ）A．e B． C． D． 二、多选题9．函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）A．B．C．的图象关于点对称D．在区间上单调递增10．如图，在直四棱柱中，底面是边长为2的菱形，且，侧棱，E，F分别为的中点，则下列结论正确的是（    ）A．异面直线与所成角的大小为B．三棱锥的体积为C．二面角的正切值为D．三棱锥的外接球的表面积为11．已知正项数列满足，则下列结论正确的是（    ）A．数列中的最小项为B．当时，C．当时，D．对任意且12．已知抛物线C：的焦点为F，过点F的两条互相垂直的直线分别与抛物线C交于点A，B和D，E，其中点A，D在第一象限，过抛物线C上一点分别作的垂线，垂足分别为M，N，O为坐标原点，若，则下列结论正确的是（    ）A．B．若，则直线的倾斜角为C．四边形的周长的最大值为D．四边形的面积的最小值为32 三、填空题13．已知定义在R上的函数的周期为2，当时，，则________．14．2023年国家公务员考试笔试于1月7-8日结束，公共科目包括行政职业能力测验和申论两科，满分均为100分，行政职业能力测验中，考生成绩X服从正态分布．若，则从参加这次考试的考生中任意选取3名考生，至少有2名考生的成绩高于90的概率为________．15．在中，，且，若，则________． 四、双空题16．已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围为________；若，则的最大值为________． 五、解答题17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求角A的大小；(2)若D是BC上一点，且，求面积的最大值．18．如图，在四边形中，，以为折痕将折起，使点D到达点P的位置，且．(1)证明：平面；(2)若M为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．19．已知正项等比数列的前n项和为，且满足，数列满足．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．20．中华传统文化的主要内容，从学术流派的角度，主要包括儒家、道家、佛家、诸子百家；从文化载体的角度，主要包括经、史、子、集；从日常生活的角度，主要包括传统民俗文化．为了弘扬中华传统文化，某市初中课后服务开设了中华传统文化专题兴趣小组，该市每学期均组织举办中华传统文化知识竞赛．竞赛规则是：该市属初中均组队参加，每队6人，平均分为3组参加“学术流派”、“文化载体”、“民俗文化”3类专项赛，专项赛的比赛赛制为：每所学校的两人为一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答3道题，若答对题目不少于5道题，则获得一个积分．已知红心初级中学的张华与刘中两名同学一组，张华与刘中每道题答对的概率分别是和，且每道题答对与否互不影响．(1)若，记张华在一轮竞赛中答对题的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)若，且每轮比赛互不影响，若张华与刘中组想至少获得5个积分，那么理论上至少要进行多少轮竞赛？21．已知椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆C上异于左、右顶点的动点，的最小值为2，且椭圆C的离心率为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l过与椭圆C相交于A，B两点，A，B两点异于左、右顶点，直线过交椭圆C于M，N两点，，求四边形面积的最小值．22．已知函数．(1)若函数在上有且仅有2个零点，求a的取值范围；(2)若恒成立，求a的取值范围．
参考答案：1．B【分析】根据得可得答案.【详解】因为，所以，所以.故选：B．2．A【分析】根据复数的定义和共轭以及模的求法即可求解.【详解】由题意设，由，得，因为，所以，解得，所以，所以．故选:A．3．C【分析】由圆的垂径定理得，利用勾股关系求得，结合圆的定义即可求出点P的轨迹方程.【详解】因为中点为P，所以，又，所以，所以点P在以C为圆心，4为半径的圆上，其轨迹方程为.故选：C.4．D【分析】依题意可得，，利用两角和的正切公式计算可得.【详解】由题设，“晷影长”分别是“表高”的倍和倍时，，，所以.故选：D．5．C【分析】求出圆台的高后，根据圆台的体积公式可求出结果.【详解】设圆台的上底面的圆心为，下底面的圆心为O，点A为上底面圆周上任意一点，则，设圆台的高为h，上底面的又球的半径为，则，所以圆台的体积．故选：C．6．D【分析】根据条件概率公式和概率的乘法公式以及全概率公式即可求解.【详解】记第一次抽到红、绿、黄球的事件分别为，则，记第二次在红、绿、黄色口袋内抽到黄球的事件分别为，而两两互斥，其和为，所以，记第二次抽到黄球的事件为B，则，故选:D．7．B【分析】根据离心率求出，得渐近线方程为，设直线的倾斜角为，则，求出，利用面积求出即可得解.【详解】因为双曲线的离心率为，所以，得，所以双曲线的渐近线方程为，设直线的倾斜角为，则，由对称性不妨令点A，B分别在第一、四象限，坐标原点为O，则，于是得，而双曲线的虚半轴长为b，即，显然四边形为矩形，其面积，得，所以，所以双曲线的方程为．故选：B．8．C【分析】设直线与的切点为，然后根据导数的几何意义可推得切线方程为，.两条切线重合，即可得出有唯一实根.构造，根据导函数得出函数的性质，作出函数的图象，结合图象，即可得出答案.【详解】设直线与的切点为，因为，根据导数的几何意义可知该直线的斜率为，即该直线的方程为，即.设直线与的切点为，因为，根据导数的几何意义可知该直线的斜率为，即该直线的方程为，即.因为函数和有且只有一条公切线，所以有，即有唯一实根.令，则.解，可得.当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减.所以在处取得最大值.当时，，，函数图象如图所示，因为，有唯一实根，所以只有.故选：C9．BD【分析】根据图象，求出函数的周期，即可得出，判断A项；根据“五点法”，结合函数过点，即可得出的值；写出，代入即可检验C项；求出整体的范围，结合正弦函数的单调性，即可得出D项.【详解】对于A项，由已知图象可得，所以，，故A项错误；对于B项，由已知图象过点，由“五点法”可得，，所以，.因为，所以，故B项正确；对于C项，由A、B可知，，因为，所以点不是函数的对称中心，故C项错误；对于D项，因为，所以.又函数在上单调递增，所以在区间上单调递增，故D项正确.故选：BD．10．BCD【分析】根据异面直线夹角的几何求法三棱锥的体积公式，二面角的定义和外接球的表面积公式即可求解.【详解】连接交于O点，连接，因为四边形为菱形，且，所以O为的中点，因为F为的中点，所以，且，在直四棱柱中，，且，∵E为的中点，则，且，∴，且，所以四边形为平行四边形，所以，所以为异面直线与所成的角或其补角，由已知底面是边长为2的菱形，且，可知．故选项A错误；由已知，所以平面，所以三棱锥的体积，故选项B正确；由已知在直四棱柱中，可得平面，又，所以，所以为二面角的平面角，，故选项C正确；由已知平面，设三棱锥的外接球球心为，外接球半径为R，正三角形的外心为点，则平面，易得因为，所以，所以，所以三棱锥的外接球表面积，故选项D正确，故选:BCD．11．ABD【分析】构造函数，判断函数的的单调性，得到是最小的项，且当时，，即可判断A，B；令，利用导数可得在区间内单调递减，从而判断C；根据，利用，，，，可得，判断D.【详解】令，由，得，又，则当时，单调递增；当时，单调递减，且，∴当时，；当时，，∵，，∴，∴是最小的项，且当时，，所以A，B正确；由B正确可知，当时，，所以令，则，又，所以在区间内单调递减，∴，又因为当时，，所以，即，，所以C错误；因为当时，且，在区间内单调递减，所以，因为，，所以，又因为，，所以，所以，所以D正确.故选：ABD．【点睛】关键点点睛：构造函数，，利用导数判断两个函数的单调性，利用单调性求解是解题关键.12．ACD【分析】根据直线和抛物线的位置关系结合韦达定理，结合向量判断A,B选项，根据基本不等式判断C选项，根据弦长公式结合抛物线焦半径性质判断D选项. 【详解】A选项，由题意得，准线方程为，设直线，与联立得，设，故，则，所以，解得，A正确；B选项，由A选项可知，因为，所以，代入得，即，因为点A在第一象限，所以，解得，故直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，解得，B错误；C选项：抛物线的焦点F的坐标为．因为，所以，由，得，即，当且仅当时，等号成立．所以四边形周长的最大值为，故C正确；D选项：由A选项，得，则，同理得，，所以，当且仅当时，等号成立，此时，故D正确，故选：ACD．13．1【分析】利用函数周期性、奇偶性可得答案.【详解】由题设是周期为2的偶函数，所以．故答案为：1.14．【分析】根据正态分布的概率公式和二项分布的概率公式即可求解.【详解】因考生成绩服从正态分布，所以，故任意选取3名考生，至少有2名考生的成绩高于90的概率为．故答案为：.15．或【分析】根据平面向量的基本定理和向量的数量积定义以及运算律即可求解.【详解】因为，所以，又，在中，，则所以，即，所以或．故答案为：或.16．          【分析】由有两个极值点，得有两个变号零点，构造函数，利用导数研究函数的性质，得函数的草图，利用草图列式可求出的取值范围；设，将化为，再构造函数，利用导数可求出其最大值.【详解】的定义域为，，由已知得是的两个变号零点，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以函数在上单调递减，在上单调递增，当时，，，，当时，，，，如图：由图可知，只需即可，所以，即实数a的取值范围是；若，又，则令，由已知，则，则，则，，所以，令，则，令，则，所以函数在上递增，又因为，所以当时，，即，所以函数在上递增，所以，所以的最大值为．【点睛】方法点睛：一般地，若时，涉及到双变量的不等式的证明，函数的最值问题可以使用比值换元，令，将问题转化为关于的函数，利用导数进行求解.17．(1)；(2). 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再结合辅助角公式求解作答.（2）在与中利用余弦定理求出b，c的关系等式，再借助均值不等式求解作答.【详解】（1）在中，由及正弦定理得，因为，则有，即，由，得，所以.（2）依题意，，在与中，分别由余弦定理得，，又，于是，则有，整理得，即，当且仅当时取等号，所以面积的最大值为．18．(1)证明见解析(2)． 【分析】（1）先推出，，据此推出平面，，再根据线面垂直的判定推出平面；（2）以O为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用线面角的向量公式可求出结果.【详解】（1）因为，又，所以，所以，由，可知，因为平面，所以平面，因为平面，所以，又平面，所以平面；（2）取的中点O，连接，由（1）知，平面，为的中位线，，所以平面，又平面，所以，即两两垂直，如图，以O为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，，则，所以，设平面的一个法向量为，则由令，得，，得，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为．19．(1)，；(2)． 【分析】（1）根据等比数列定义和数列的作差求通项，以及累乘法即可求解；（2）根据等比数列的求和和分组求和即可求解.【详解】（1）设数列的公比为q，由已知得，因为，所以，得，又．所以，所以，对于数列，因为  ①当时，，则，当时，  ②，由①②得，即，又，也适合上式，故，当时，又，所以；（2）由（1）可得：，则，则数列的前项和为：，所以：．20．(1)分布列见解析，2(2)15轮 【分析】（1）根据题意分析可知，根据二项分布的概率公式求出概率可得分布列，根据二项分布的期望公式可求出数学期望；（2）根据二项分布的概率公式求出张华与刘中组获得一个积分的概率，设张华与刘中两同学在n轮比赛中获得的积分数为，则，【详解】（1）由题设随机变量X的可能取值为0，1，2，3，且，所以，.随机变量X的分布列为：X0123P；（2）设刘中在一轮竞赛中答对题的个数为随机变量，由题意得，，则张华与刘中组获得一个积分的概率为，因为，且，所以，所以，当且仅当时等号成立，即，令，则，所以，则，当时，，在上单调递增，则当时，，即，设张华与刘中两同学在n轮比赛中获得一个积分的次数为，则n轮比赛中获得的积分数为，则，, ，在理论上张华与刘中组在n轮比赛中获得的积分数为，所以由，得，因为n为正整数，所以n至少为15.所以若张华与刘中同学这一组想至少获得5个积分，那么理论上至少要进行15轮竞赛．21．(1)(2)． 【分析】（1）设，由的最小值求得的关系式，根据离心率列方程组，求得，从而求得椭圆的标准方程.（2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，求得四边形面积的表达式，利用基本不等式求得其最小值.【详解】（1）设．由对称性，不妨设，则，所以．因为，所以，所以当时，取得最小值，所以．由，解得，所以椭圆C的标准方程为；（2）由题设直线l斜率存在，设，由得，∴，所以，因为，所以，则，所以四边形面积：，，当且仅当时取等号，即时，，当直线l的斜率不存在时，，四边形的面积为，又由，所以四边形面积的最小值为．22．(1)(2)． 【分析】（1）由题设可得，令，转化为直线与函数的图象在上有两个交点，再利用导数判断单调性结合图象可得答案； （2）转化为在时恒成立，当时，，只需证明对任意的恒成立，令，致力于导数判断的单调性可得答案.【详解】（1）由已知，令，又，得．由题设可得，令，其中，则直线与函数的图象在上有两个交点，因为，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减．所以函数的极大值为，且，当时，直线与函数在上的图象有两个交点，所以函数在上有且仅有2个零点，故实数a的取值范围是；（2）当时，由已知函数的定义域为，又恒成立，即在时恒成立，当时，恒成立，即，又，则，下面证明：当时，在时恒成立.由（1）得当时，，要证明，只需证明对任意的恒成立，令，则，由，得，①当，即时在上恒成立，则在上单调递增，于是；②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，于是，令，则，则在上单调递增．于是，所以恒成立，所以时，不等式恒成立，因此a的取值范围是．【点睛】利用导数研究含参函数零点问题主要有两中方法：（1）利用导数研究函数的最（极）值，转化为函数图象与轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想，其本质就是在含参函数单调性的基础上再判断函数零点个数问题；（2）分离参变量，即由分离参变量，得，研究与图象交点问题.