四川省泸州市2023届高三三摸文科数学试题

四川省泸州市2023届高三三摸文科数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知向量，满足，，则（    ）

A． B． C．0 D．4

3．工业生产者出厂价格指数（PPI）反映工业企业产品第一次出售时的出厂价格的变化趋势和变动幅度，对企业的生产发展和国家宏观调控有着重要的影响．下图是我国2022年各月PPI涨跌幅折线图．（注：下图中，月度同比是将上年同月作为基期相比较的增长率；月度环比是将上月作为基期相比较的增长率）

下列说法中，最贴切的一项为（    ）

A．2021年PPI逐月减小

B．2022年PPI逐月减小

C．2022年各月PPI同比涨跌幅的方差小于环比涨跌幅的方差

D．2022年上半年各月PPI同比涨跌幅的方差小于下半年各月PPI同比涨跌幅的方差

4．一个旋转体的正视图如图所示，上面部分是一个直径为2的半圆，下面部分是一个下底边长为4，上底边长和高均为2的等腰梯形，则该旋转体的表面积为（    ）

A． B．

C． D．

5．已知，为实数，则“，”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

6．已知数列满足，，则此数列的通项公式为（    ）

A． B．

C． D．

7．执行下图所示的程序框图，若输入N的值为8，则输出S的值为（    ）

A． B． C．0 D．

8．将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数（    ）

A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递减

C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递增

9．已知抛物线C：y²=8x的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于P，Q两点，于H，若，O为坐标原点，则与的面积之比为（    ）

A．8 B．4 C．3 D．2

10．记为等差数列的前n项和，已知，，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

11．已知函数有两个零点，，函数有两个零点，，给出下列三个结论：；；．其中所有正确结论的序号是（    ）

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③

12．设为坐标原点，，是双曲线：的左、右焦点．过作圆：的一条切线，切点为，线段交于点，若，的面积为，则的方程为（    ）

A． B．

C． D．

二、填空题

13．计算：______．

14．已知x，y满足约束条件则的最小值为______．

15．已知函数及其导函数定义域均为R，且，，则关于x的不等式的解集为______．

16．在正三棱柱中，，空间中的点P满足，其中．下列命题中，真命题有______（填所有真命题的序号）．

①当m=0时，；②当时，平面平面；③当m=1时，直线AP与直线BC所成角的余弦值为；④对，三棱锥的体积是定值．

三、解答题

17．某地区为深入贯彻二十大精神，全面推进乡村振兴，进一步优化农产品结构，准备引进一条农产品加工生产线．现对某条生产线进行考察，在该条生产线中随机抽取了200件产品，并对每件产品进行评分，得分均在［75，100］内，制成如图所示的频率分布直方图，其中得分不低于90产品为“优质品”．

(1)求在该生产线所抽取200件产品的评分的均值（同一区间用区间中点值作代表）；

(2)在这200件产品的“优质品”中，采用分层抽样的方法共抽取了6件．若在这6件产品中随机抽取2件进行质量分析，求“抽取的两件产品中至少有一件产品的得分在［95，100］”的概率．

18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，．

(1)求c的值；

(2)求的值；

(3)求的值．

19．如图，正方形ABCD的边长为4，平面ABCD，平面ABCD，，M为棱PD上一点．

(1)是否存在点M，使得直线平面BPQ？若存在，请指出点M的位置并说明理由；若不存在，请说明理由；

(2)当时，求多面体PABQM的体积．

20．已知椭圆的右焦点为，并且经过点．

(1)求C的方程；

(2)过F的直线交C于，交直线于点N，记的斜率分别为，，，探索三个数，，是否成等差数列，并证明你的结论．

21．已知函数．

(1)若单调递增，求a的取值范围；

(2)若，，求a的取值范围．

22．在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求曲线的极坐标方程；

(2)设射线和射线分别与曲线交于、两点，求面积的最大值.

23．已知函数．

(1)画出f（x）的图象，并写出的解集；

(2)令f（x）的最小值为T，正数a，b满足，证明：．

参考答案：

1．D

【分析】先求集合A，再根据交集运算求解.

【详解】因为集合，，

所以．

故选：D.

2．A

【分析】由数量积的运算律计算．

【详解】由已知，．

故选：A．

3．D

【分析】由折线图数据，结合同比与环比概念、方差大小与数据波动情况的关系进行辨析即可.

【详解】对于A，由2022年10月，PPI同比为负可知，2021年10月PPI大于2022年10月PPI，

由2022年10月，PPI环比为正可知，2022年10月PPI大于2022年9月PPI，

由2022年9月，PPI同比为正可知，2022年9月PPI大于2021年9月PPI，

故2021年10月PPI大于2021年9月PPI，PPI逐月减小说法不正确，故选项A错误；

对于B，2022年2月、3月等月份，PPI环比均为正，相对于上月有增长，PPI逐月减小说法不正确，故选项B错误；

对于C，2022年PPI同比涨跌幅的数据波动幅度明显比环比涨跌幅的数据波动幅度要大，

因此2022年各月PPI同比涨跌幅的方差大于环比涨跌幅的方差，故选项C错误；

对于D，2022年上半年各月PPI同比涨跌幅的数据波动幅度明显比下半年各月PPI同比涨跌幅的数据波动幅度要小，

因此2022年上半年各月PPI同比涨跌幅的方差小于下半年各月PPI同比涨跌幅的方差，故选项D正确.

故选：D.

4．B

【分析】先根据正视图确定几何体是半球加圆台，再应用表面积公式计算求解即得.

【详解】由题知，该旋转体的下面部分是下底面半径为2，上底面半径为1，高为2的圆台，上面部分是半径为1的半球，

故该旋转体的表面积为.

故选：B．

5．A

【分析】根据对数的性质和充分必要条件的定义求解.

【详解】根据对数运算性质知，当，时，成立；

对于，有，或，，

故“，”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

6．C

【分析】根据数列递推式，可推得，即说明为等比数列，由此可求得的通项公式，即得答案.

【详解】由，有，所以，

又，所以是以3为首项，2为公比的等比数列，

所以，即，，故C正确，

则，验证以及和，

均不成立，A，B，D错误，

故选：C

7．C

【分析】模拟程序运行，确定程序功能可得结论．

【详解】模拟程序运行可得：，

故选：C．

8．B

【分析】结合函数的周期性可直接判断AC，求出平移后相应函数的解析式并化简，结合余弦函数性质判断BD．

【详解】函数的最小正周期是，选项AC中区间长度是一个周期，因此不可能单调，图象左右平移后也不可能单调，AC错；

函数的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为，

选项B，时，，在此区间上是减函数，B正确；

选项D，时，，在此区间上不是单调函数，D错误．

故选：B．

9．C

【分析】根据抛物线的定义分析可得为正三角形，进而可求直线的方程，与抛物线的方程联立求交点纵坐标，即可得结果.

【详解】由题意得：抛物线C：y²=8x的焦点为，准线为，

设准线l与x轴的交点为，

由抛物线定义知，而，故为正三角形，可得，

不妨令直线，设，

联立方程，消去x得，解得或，

即，可得，

所以．

故选：C.

10．A

【分析】由已知求得公差，得等差数列前项和，结合二次函数知识得最小值．

【详解】设公差为，

则，，

，

所以时，取得最小值．

故选：A．

11．D

【分析】在同一坐标系作出与的图象，根据切线方程，得到有两个零点时，，由反函数得到有两个零点时，同样需要，由对称性得到，，且，得到答案.

【详解】在同一坐标系作出与的图象，

设在处的切线方程过原点，，

则在处的切线方程为，

将原点代入，解得，故在处的切线方程为，

有两个零点，则，

由于与，与互为反函数，

故有两个零点，则，

设函数与图象交点坐标分别为，；

与图象交点坐标分别为，．

其中点A，C关于直线对称，B，D关于直线对称，

则，，且，

故结论①②③均正确．

故选：D

【点睛】互为反函数的两个函数的性质：①反函数的定义域和值域分别为原函数的值域与定义域；

②严格单调的函数存在反函数，但有反函数的函数不一定是单调的（比如反比例函数）；

③互为反函数的两个函数关于对称，

④奇函数不一定有反函数，若有反函数，则反函数也时奇函数；

⑤如果一个函数图象关于对称，那么这个函数一定存在反函数，并且其反函数就是它本身.

12．D

【分析】由双曲线定义，的面积，直角中的锐角三角函数和中的正弦定理、余弦定理建立，，之间的关系方程，再求解即可.

【详解】

由圆的方程知，，

又∵，∴在直角中，，

且.

在中，，的面积，

∴.

在中，，

由正弦定理，，

∴，

∴由双曲线定义，，

又∵，，∴，

∴，即.

∵为直角，∴易知为钝角，∴由知，，

在中，由余弦定理，，

∴，

∴，整理得，

∴.

又∵，将代入，解得.

∴双曲线的方程为：.

故选：D.

【点睛】本题的解题关键，是建立起，，之间的关系，通过方程组进行求解.作为选择题，可以适当运用解题技巧：当得到，之间的第一个关系时，可以通过将选项中的，依次代入检验，快速选出正确选项.

13．1－i

【分析】由复数的除法运算计算即可.

【详解】．

故答案为：1－i

14．

【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．

【详解】作出可行域，如图，内部（含边界），

作直线，

在直线即中，为直线的纵截距，因此直线向上平移时，减小，

由得，即，

平移直线，当它过点时，取得最小值．

故答案为：．

15．．

【分析】构造函数，求导得到其单调性，对不等式变形得到，由函数单调性解不等式即可.

【详解】由题得．设，则，

则函数为增函数，且，

则不等式即为，所以.

故答案为：

16．②③④．

【分析】由的值结合平面向量基本定理找到点P 位置，再根据面面垂直的判定，异面直线所成角的定义，向量共线的结论，以及棱锥体积的计算逐一判断各选项.

【详解】如下图，

对于①，点P在的延长线上，记为，，，，故，故①错误；

对于②，当时，点P为的中点，记为，此时，又平面，

平面，所以，又，平面，

所以平面，所以平面平面，即平面平面；故②正确；

对于③，当时，点P为的中点，记为，取的中点为M，则或其补角为所求，

，，，得.

直线AP与直线BC所成角的余弦值为,故③正确；

对于④，设，则根据三点共线系数的结论得，，由于，平面，平面，故平面，P到平面的距离为定值，从而三棱锥的体积为定值，④正确．

综上，答案为②③④．

故答案为：②③④.

17．(1)91.75

(2)

【分析】（1）用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积（频率）的乘积之和求均值即可；

（2）列出随机试验的样本空间，确定随机事件所包含的样本点，利用古典概型概率公式求概率.

【详解】（1）在生产线抽取200件产品中，评分在，，，，

的频率分别为0.05，0.05，0.15，0.5，0.25．

则评分均值为．

所以，该生产线抽取200件产品的评分的均值为91.75分．

（2）记这6件产品得分在有2件，记为，；

得分在有4件，记为，，，．

从这6件产品中随机抽取2件的所有基本事件有：（，），（，），（，），（，），

（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），

（，），（，），（，），（，），共15个．

其中，至少有一件产品的得分在的基本事件有9个．

故抽取的两件产品中至少有一件产品的得分在的概率为，即．

18．(1)

(2)

(3)

【分析】（1）利用正弦定理化角为边即可得解；

（2）直接利用余弦定理即可得解；

（3）利用两角差的正弦公式计算即可.

【详解】（1）在中，，

由正弦定理，得，

因为，所以；

（2）由（1），得，

再由余弦定理有；

（3）由（2）可得，

所以

．

19．(1)存在，M为PD的中点，证明见解析

(2)

【分析】（1）设O为AC，BD的交点，先证明平面平面BPQ，通过面面平行来说明线面平行即可；

（2）将多面体PABQM分为三棱锥和三棱锥的组合，依次求体积即可.

【详解】（1）

当M为PD的中点时满足条件．证明如下：

连接AC、BD，设O为AC，BD的交点，连接OM、CM．

因为四边形ABCD为正方形，所以O为BD的中点．

故在中，OM为的中位线，即．

又因为平面ABCD，平面ABCD，

所以，即A，C，P，Q四点共面．

又因为，所以四边形ACQP为平行四边形，所以，

而，，且面ACM，面BPQ，

所以平面平面BPQ．

因为平面ACM，所以∥平面BPQ；

（2）

连接AQ，因为，，，

所以，，．

于是

．

又因为，

所以多面体PABQM的体积为．

20．(1)

(2)成等差数列，证明见解析

【分析】（1）根据椭圆过的点结合的关系，列方程求解，可得答案；

（2）设直线的方程为，设，，，联立直线和椭圆方程，可得根与系数的关系式，化简，推出，即可得结论.

【详解】（1）因为经过点，所以,

又，

联立解得，，

于是C的方程为；

（2），，成等差数列；

证明：设，，，由题意知，

设直线的方程为，其中．

由得，因为直线过椭圆的焦点，必满足，

故，，

从而

．

因为，所以，

从而，

所以，，，成等差数列．

【点睛】关键点点睛：本题将直线和椭圆的位置关系的问题和数列进行了综合，要说明三个数，，是否成等差数列，关键是根据等差中项性质说明，即看是否有成立.

21．(1)

(2)

【分析】（1）求出函数的导数，将问题转化为即恒成立，继而构造函数，利用导数求得其最值，即可求得答案;

（2），即恒成立，构造函数，求导，从而有，由此再次求导，利用分类讨论，判断的单调性，判断是否恒成立，即可求得答案.

【详解】（1）由，得，

由于单调递增，则即恒成立，

令，则，

可知时，，则在上单调递增；

时，，则在上单调递减，

故时，取得极大值即最大值，

故．所以a的取值范围是．

（2）由题意时，恒成立，即；

令，原不等式即为恒成立，

可得，，，

令，则，

又设，则，

则，，可知在上单调递增，

若，有，，则；

若，有，

则，

所以，，，则即单调递增，

（i）当即时，，则单调递增，

所以，恒成立，则符合题意．

（ii）当即时，，，

存在，使得，

当时，，则在单调递减，

所以，与题意不符，

综上所述，a的取值范围是.

【点睛】难点点睛：第二问中，，求a的取值范围问题，要转化为构造新函数，利用新函数的单调性或者最值求得参数范围，难点在于构造函数后，其最值不容易求得，因此结合，分类讨论a的取值，利用导数判断其单调性，即可解决问题.

22．(1)

(2)

【分析】（1）将曲线的参数方程化为普通方程，由普通方程与极坐标方程之间的转换关系可得出曲线的极坐标方程；

（2）求出、，利用三角形的面积公式结合三角恒等变换可得，结合可求得的最大值.

【详解】（1）解：由可得，

即，故曲线的普通方程为，

因为，，

所以曲线的极坐标方程为，即.

（2）解：由题意知，，

∴

，

因为，则，

所以当，即当时，的面积最大，且最大值是.

23．(1)作图见解析，

(2)证明见解析

【分析】（1）由绝对值的定义分类讨论去掉绝对值符号得分段函数解析式，然后分段作出函数图象，由图象得不等式的解集；

（2）由（1）得最小值，然后用基本不等式得出的范围，再用基本不等式得，利用二次函数性质得的范围，从而可得不等式成立，注意等号取得的条件是否一致．

【详解】（1）由题，得，图象如图所示．

由图可知，的解集为．

（2）由（1）知，函数f（x）的最小值为，则．

只需证明即可．

由已知，，，则，所以．

于是，

因为

，

由于，则，即，

所以，当且仅当时，等号成立．