2023年中考数学二轮专项练习：二次函数-动态几何问题(含答案)

2023年中考数学二轮专项练习：二次函数-动态几何问题

一、单选题

1．两个少年在绿茵场上游戏．小红从点A出发沿线段AB运动到点B，小兰从点C出发，以相同的速度沿⊙O逆时针运动一周回到点C，两人的运动路线如图1所示，其中AC DB．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点C的距离y与时间x（单位：秒）的对应关系如图2所示．则下列说法正确的是（　　）

A．小红的运动路程比小兰的长

B．两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇

C．当小红运动到点D的时候，小兰已经经过了点D

D．在4.84秒时，两人的距离正好等于⊙O的半径

2．将抛物线y=﹣3x2平移，得到抛物线y=﹣3 （x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正确的是（　　）

A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位

B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位

C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位

D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位

3．把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（　　）

A．y=﹣2（x+1）2+2 B．y=﹣2（x+1）2﹣2

C．y=﹣2（x﹣1）2+2 D．y=﹣2（x﹣1）2﹣2

4．如图，在平面直角坐标系中，M、N、C三点的坐标分别为（ ，1），（3，1），（3，0），点A为线段MN上的一个动点，连接AC，过点A作 交y轴于点B，当点A从M运动到N时，点B随之运动，设点B的坐标为（0，b），则b的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

5．将抛物线y=－2x2先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，两次平移后得到的抛物线的解析式为（　　）

A．y=－2（x+1）2+3   B．y=－2（x+1）2-3

C．y=－2（x-1）2+3   D．y=－2（x-1）2-3

6．如图，AC=BC，点D是以线段AB为弦的圆弧的中点，AB=4，点E是线段CD上任意一点，点F是线段AB上的动点，设AF=x，AE2﹣FE2=y，则能表示y与x的函数关系的图象是（　　）

A． B．

C． D．

7．下列函数关系式中，是二次函数的是（　　）

A．y=x3﹣2x2﹣1 B．y=x2

C．y= D．y=x+1

8．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为（　　）

A．19cm2 B．16cm2 C．15cm2 D．12cm2

9．二次函数y=﹣（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（　　）

A．（﹣1，3） B．（1，3）

C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）

10．下列函数，其中图象为抛物线的是（　　）

A．y= B．y=2x C．y=x2 D．y=2x+3

11．下列函数中，二次函数是（　　）

A．y=8x2 B．y=8x+1 C．y=﹣8x D．y=-

12．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴上，OA＝4，OC＝3，直线m：y＝﹣ x从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M，N，直线m运动的时间为t(秒)，设△OMN的面积为S，则能反映S与t之间函数关系的大致图象是(　　)

A． B．

C． D．

二、填空题

13．如图，P是抛物线y=x2-4x+3上的一点，以点P为圆心、1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线y＝2相切时，点P的坐标为　                                                                                          　．
 

14．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm，BC=24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过　     　秒，四边形APQC的面积最小．

15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，BA=5，点D在边AC上的一动点，过点D作DE∥AB交边BC于点E，过点B作BF⊥BC交DE的延长线于点F，分别以DE，EF为对角线画矩形CDGE和矩形HEBF，则在D从A到C的运动过程中，当矩形CDGE和矩形HEBF的面积和最小时，则EF的长度为　     　.

16．如图，抛物线y = 的图象与坐标轴交于A、B、D，顶点为E，以AB为直径画半圆交y轴的正半轴于点C，圆心为M，P是半圆上的一动点，连接EP，N是PE的中点，当P沿半圆从点A运动至点B时,点N运动的路径长是　     　． 

17．如果将抛物线y=x2﹣2x﹣1向上平移，使它经过点A（0，3），那么所得新抛物线的表达式是　           　．

18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=(x-2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B作BC∥x轴，交抛物线于点C，过点A作AD∥y轴，交BC于点D，点P在BC下方的抛物线上(不与点B，C重合)，连接PC，PD，设△PCD的面积为S，则S的最大值是　     　． 

三、综合题

19．已知二次函数的图象以 为顶点，且过点 ．

（1）求该函数的关系式；

（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；

（3）将函数图象向左平移多少个单位，该函数图象恰好经过原点．

20．如图，在四边形ABCD中，∠D=∠BCD=90°，∠B=60°，AB=6，AD=9，点E是CD上的一个动点（E不与D重合），过点E作EF∥AC，交AD于点F（当E运动到C时，EF与AC重合），把△DEF沿着EF对折，点D的对应点是点G．设DE=x，△GEF与四边形ABCD重叠部分的面积为y．

（1）求CD的长及∠1的度数；

（2）若点G恰好在BC上，求此时x的值；

（3）求y与x之间的函数关系式，并求x为何值时，y的值最大？最大值是多少？

21．如图1，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，且CD＞DA，DA=2，点P，Q同时从点D出发，以相同的速度分别沿射线DC、射线DA运动，过点Q作AC的垂线段QR，使QR=PQ，连接PR，当点Q到达点A时，点P，Q同时停止运动．设PQ=x，△PQR与△ABC重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示（其中0＜x≤，＜x≤m时，函数的解析式不同）．

（1）填空：n的值为___；

（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．

22．如图，二次函数 的图象经过点 与 ． 

（1）求a，b的值；

（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为 ，写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值． 

23．综合与探究：

如图，已知抛物线 与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，点P为线段BC上一动点，过点P作BC的垂线交抛物线于点Q，请解答下列问题：

（1）求抛物线与x轴的交点A和B的坐标及顶点坐标

（2）求线段PQ长度的最大值，并直接写出及此时点P的坐标．

24．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（6，0），（6，8）、动点M、N分别从O、B同时出发，都以每秒1个单位的速度运动、其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动、过点N作NP⊥BC，交AC于P，连结MP、已知动点运动了t秒、

（1）P点的坐标为（　         　，　     　）（用含t的代数式表示）;

（2）试求 △MPA面积的最大值，并求此时t的值;

（3）请你探索：当t为何值时，△MPA是一个等腰三角形？

答案解析部分

1．【答案】D

2．【答案】D

3．【答案】C

4．【答案】B

5．【答案】A

6．【答案】C

7．【答案】B

8．【答案】C

9．【答案】B

10．【答案】C

11．【答案】A

12．【答案】D

13．【答案】（2+，1）、（2 -，1）、（0，3）、（4，3）

14．【答案】3

15．【答案】

16．【答案】1.5π

17．【答案】y=x2﹣2x+3

18．【答案】4

19．【答案】（1）解：设抛物线顶点式 ，将B（2，-5）代入得：a=-1，∴该函数的解析式为： = ；

（2）解：令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），令y=0， =0，解得： =-3， =1，即抛物线与x轴的交点为：（-3，0），（1，0）；

（3）解：设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），由（2）知：M（-3，0），N（1，0），当函数图象向左平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向左平移了1个单位．

20．【答案】（1）解：如图1，

过点A作AH⊥BC于点H，

∵在Rt△AHB中，AB=6，∠B=60°，

∴AH=AB•sinB=6× =3 ，

∵∠D=∠BCD=90°，

∴四边形AHCD为矩形，

∴CD=AH=3 ，

∵ ，

∴∠CAD=30°，

∵EF∥AC，

∴∠1=∠CAD=30°

（2）解：若点G恰好在BC上，如图2，

由对折的对称性可知Rt△FGE≌Rt△FDE，

∴GE=DE=x，∠FEG=∠FED=60°，

∴∠GEC=60°，

∵△CEG是直角三角形，

∴∠EGC=30°，

∴在Rt△CEG中，EC= EG= x，

由DE+EC=CD  得 ，

∴x=2

（3）解：分两种情形：

第一种情形：当 时，如图3，

在Rt△DEF中，tan∠1=tan30°= ，

∴DF=x÷ = x，

∴y=S△EGF=S△EDF= = = ，

∵ ＞0，对称轴为y轴，

∴当 ，y随x的增大而增大，

∴当x=2 时，y最大值= × =6 ；

第二种情形：当2 ＜x≤3 时，如图4，

设FG，EG分别交BC于点M、N，

（法一）∵DE=x，

∴EC= ，NE=2 ，

∴NG=GE﹣NE= = ，

又∵∠MNG=∠ENC=30°，∠G=90°，

∴MG=NG•tan30°= ，

∴ =

∴y=S△EGF﹣S△MNG= =

∵ ，对称轴为直线 ，

∴当2 ＜x≤3 时，y有最大值，且y随x的增大而增大，

∴当 时， =9 ，

综合两种情形：由于6 ＜9 ；

∴当 时，y的值最大，y的最大值为9 ．

21．【答案】（1）解：如图1，

，

当x=时，△PQR与△ABC重叠部分的面积就是△PQR的面积，

∵PQ=，QR=PQ，

∴QR=，

∴n=S=×（）2=×=．

（2）解：如图2，

，

根据S关于x的函数图象，可得S关于x的函数表达式有两种情况：

当0＜x≤时，

S=×PQ×RQ=x2，

当点Q点运动到点A时，

x=2AD=4，

∴m=4．

当＜x≤4时，

S=S△APF﹣S△AQE=AP•FG﹣AQ•EQ，

AP=2+，AQ=2﹣，

∵△AQE∽△AQ1R1，，

∴QE=（2﹣），

设FG=PG=a，

∵△AGF∽△AQ1R1，，

∴AG=2+﹣a，

∴a=（2），

∴S=S△APF﹣S△AQE

=AP•FG﹣AQ•EQ

=（2）（2）﹣（2﹣）•（2﹣）

=﹣x2+

∴S=﹣x2+．

综上，可得

S=

22．【答案】（1）解：将 与 代入 ， 

得 ，解得： ；

（2）如图，过A作x轴的垂直，垂足为 ，连接CD、CB，过C作 ， 轴，垂足分别为E，F， 

；

；

，

则 ，

关于x的函数表达式为 ，

，

当 时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16．

23．【答案】（1）解：把y=0代入 中得： 

解得：x1=－2，x2=4

∴点A的坐标为（－2，0），点B的坐标为（4，0）．

∵

∴抛物线W的顶点坐标为（1， ）．

（2）解：过点Q作QF⊥x轴，垂足为F，交线段BC于点E．

当x=0时，代入 得：y=4，

∴点C的坐标为（0，4），

∵点B的坐标为（4，0）．

∴OC=OB=4，

∴∠OBC=45°．

设QC的表达式为y=kx+b，

把C（0，4），B（4，0）代入解析式得， ，

解得， ，

∴直线BC的表达式为y=－x+4．

∵QF⊥x轴，PQ⊥BC，

∴∠PQE=45°．

在Rt△PQE中，∠PQE=∠PEQ=45°，

∴当QE最大时，PQ的长也最大．

设点Q的坐标为（m， ）则点E的坐标为（m，－m+4）．

∴QE= －（－m+4）= ．

∵a=－ ＜0，

∴QE有最大值为：当m=2时，

QE最大值为2．

∴PQ的最大值=QE· ．

此时，点P的坐标为（1，3）

24．【答案】（1）解：6－t； t

（2）解：延长NP交x轴于Q，则有PQ⊥QA．设△MPA的面积为S，

S＝ MA·PQ＝ （6—t） t＝— t2＋4t  （0≤t≤6）

∴当t ＝3时，S的最大值为6

（3）解：① 若MP＝PA ∵PQ⊥MA ∴ MQ＝QA＝t ∴3t＝6 即t＝2② 若MP＝MA 则 MQ＝6—2t PQ＝ t PM＝MA＝6—t

在Rt△PMQ 中 ∵PM2＝MQ2＋PQ2 ∴（6—t）2＝（6—2t）2＋（ t）2∴t ＝

③ 若PA＝AM ∵PA＝ t AM＝6—t ∴ t＝6—t ∴t＝

综上所述， t＝2或t＝ 或t＝