2023年中考数学二轮复习专题训练——反比例函数与一次函数综合(含答案)

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2023年九年级数学中考二轮复习《反比例函数与一次函数综合》专题训练（附答案）
一．选择题
1．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2＝（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，则不等式y1＞y2的解集是（　　）

A．﹣3＜x＜2 B．x＜﹣3或x＞2
C．﹣3＜x＜0或x＞2 D．0＜x＜2
3．如图，正方形ABCD位于第一象限，边长为3，点A在直线y＝x上，点A的横坐标为1，正方形ABCD的边分别平行于x轴、y轴．若双曲线y＝与正方形ABCD有公共点，则k的取值范围为（　　）

A．1＜k＜9 B．2≤k≤34 C．1≤k≤16 D．4≤k＜16
4．如图，在同一平面直角坐标系中，直线y＝k1x（k1≠0）与双曲线y＝（k2≠0）相交于A，B两点，已知点A的坐标为（1，2），则点B的坐标为（　　）

A．（﹣1，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，﹣1） D．（﹣2，﹣2）
3．如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则代数式的值为　　

A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，函数与的图象交于一点，则代数式的值为　　
A．13 B．11 C．7 D．5
8．如图， 直线与双曲线交于，，，两点， 则的值等于　　

A ． 28 B ． 20 C ． 36 D ．
6．如图，直线y＝x﹣6分别交x轴，y轴于A，B，M是反比例函数y＝（x＞0）的图象上位于直线上方的一点，MC∥x轴交AB于C，MD⊥MC交AB于D，AC•BD＝4，则k的值为（　　）

A．﹣3 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6

7．如图，直线y＝﹣x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，过点B作BD∥x轴，交y轴于点D，直线AD交反比例函数y＝的图象于另一点C，则的值为（　　）

A．1：3 B．1：2 C．2：7 D．3：10
8．如图，直线l和双曲线（k＞0）交于A、B两点，P是线段AB上的点（不与A、B重合），过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别是C、D、E，连接OA、OB、OP，设△AOC面积是S1，△BOD面积是S2，△POE面积是S3，则（　　）

A．S1＜S2＜S3 B．S1＞S2＞S3 C．S1＝S2＞S3 D．S1＝S2＜S3
二．填空题
10．如图，已知一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝的图象相交于A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，则不等式ax+b＜的解集为　 　．

11．如图，一直线经过原点O，且与反比例函数y＝（k＞0）相交于点A、点B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C，连接BC．若△ABC面积为8，则k＝　 　．

12．如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象有一个交点A（2，m），AB⊥x轴于点B．平移直线y＝kx，使其经过点B，得到直线l，则直线l对应的函数表达式是　 　．

13．如图，已知双曲线y＝与直线y＝﹣x+6相交于A，B两点，过点A作x轴的垂线与过点B作y轴的垂线相交于点C，若△ABC的面积为8，则k的值为　 　．

14．如图，已知函数y＝x+2的图象与函数y＝（k≠0）的图象交于A、B两点，连接BO并延长交函数y＝（k≠0）的图象于点C，连接AC，若△ABC的面积为8．则k的值为　 　．

15．如图，已知直线l：y＝﹣x+4分别与x轴、y轴交于点A，B，双曲线（k＞0，x＞0）与直线l不相交，E为双曲线上一动点，过点E作EG⊥x轴于点G，EF⊥y轴于点F，分别与直线l交于点C，D，且∠COD＝45°，则k＝　 　．

16．如图，直线AB交双曲线于A、B，交x轴于点C，B为线段AC的中点，过点B作BM⊥x轴于M，连结OA．若OM＝2MC，S△OAC＝12．则k的值为　 　．

三．解答题
17．如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣1，4），点B的坐标为（4，n）．
（1）根据图象，直接写出满足k1x+b＞的x的取值范围；
（2）求这两个函数的表达式；
（3）点P在线段AB上，且S△AOP：S△BOP＝1：2，求点P的坐标．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（8，1），B（0，﹣3），反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，动直线x＝t（0＜t＜8）与反比例函数的图象交于点M，与直线AB交于点N．
（1）求k的值；
（2）求△BMN面积的最大值；
（3）若MA⊥AB，求t的值．

19．如图，已知双曲线y＝经过点D（6，1），点C是双曲线第三象限上的动点，过C作CA⊥x轴，过D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC．
（1）求k的值；
（2）若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式；
（3）判断AB与CD的位置关系，并说明理由．

20．直线y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象分别交于点 A（m，3）和点B（6，n），与坐标轴分别交于点C和点D．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点P是x轴上一动点，当△COD与△ADP相似时，求点P的坐标．

21．菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，对角线AC与BD的交点E恰好在y轴上，过点D和BC的中点H的直线交AC于点F，线段DE，CD的长是方程x2﹣9x+18＝0的两根，请解答下列问题：
（1）求点D的坐标；
（2）若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点H，则k＝　 　；
（3）点Q在直线BD上，在直线DH上是否存在点P，使以点F，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．


参考答案
一．选择题
1．解：∵一次函数y1＝kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2＝（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，
∴不等式y1＞y2的解集是﹣3＜x＜0或x＞2．
故选：C．
3．解：点A在直线y＝x上，其中A点的横坐标为1，则把x＝1代入y＝x解得y＝1，则A的坐标是（1，1），
∵AB＝BC＝3，
∴C点的坐标是（4，4），
∴当双曲线y＝经过点（1，1）时，k＝1；
当双曲线y＝经过点（4，4）时，k＝16，
因而1≤k≤16．
故选：C．
3．解：∵点A与B关于原点对称，
∴B点的坐标为（﹣1，﹣2）．
故选：A．
4．解：把点分别代入与中，得，，
．
故选：．
5．解：函数与的图象交于一点，
，，
，，
，，





．
故选：．
6．解： 根据题意得：，
则，即，
则，此时，
，．
则．
故选：．
7．解：过点D作DE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，
令x＝0代入y＝x﹣6，
∴y＝﹣6，
∴B（0，﹣6），
∴OB＝6，
令y＝0代入y＝x﹣6，
∴x＝2，
∴（2，0），
∴OA＝2，
∴勾股定理可知：AB＝4，
∴sin∠OAB＝＝，cos∠OAB＝＝
设M（x，y），
∴CF＝﹣y，ED＝x，
∴sin∠OAB＝，
∴AC＝﹣y，
∵cos∠OAB＝cos∠EDB＝，
∴BD＝2x，
∵AC•BD＝4，
∴﹣y×2x＝4，
∴xy＝﹣3，
∵M在反比例函数的图象上，
∴k＝xy＝﹣3，
故选：A．

8．解：（方法一）联立直线AB及反比例函数解析式成方程组，，
解得：，，
∴点B的坐标为（﹣，），点A的坐标为（，﹣）．
∵BD∥x轴，
∴点D的坐标为（0，）．
设直线AD的解析式为y＝mx+n，
将A（，﹣）、D（0，）代入y＝mx+n，
，解得：，
∴直线AD的解析式为y＝﹣2x+．
联立直线AD及反比例函数解析式成方程组，，
解得：，，
∴点C的坐标为（﹣，2）．
∴＝＝．
（方法二）设点A的坐标为（a，﹣a），则点B的坐标为（﹣a，a），点D的坐标为（0，a），反比例函数解析式为y＝﹣．
设直线AD的解析式为y＝mx+n，
将A（a，﹣a），D（0，a）代入y＝mx+n，得：
，解得：，
∴直线AD的解析式为y＝﹣2x+a．
联立直线AD及反比例函数解析式成方程组，，
解得：，，
∴点C的坐标为（﹣a，2a）．
∵点A的坐标为（a，﹣a），点B的坐标为（﹣a，a），
∴BC＝＝a，AC＝＝a，
∴＝＝．
故选：A．

9．解：如右图，
∵点A在y＝上，
∴S△AOC＝k，
∵点P在双曲线的上方，
∴S△POE＞k，
∵点B在y＝上，
∴S△BOD＝k，
∴S1＝S2＜S3．
故选：D．

二．填空题
10．解：观察函数图象，发现：当﹣2＜x＜0或x＞1时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，
则不等式ax+b＜的解集是﹣2＜x＜0或x＞1．
故答案为：﹣2＜x＜0或x＞1．
11．解：∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，
∴A、B两点关于原点对称，
∴OA＝OB，
∴△BOC的面积＝△AOC的面积＝8÷2＝4，
又∵A是反比例函数y＝图象上的点，且AC⊥y轴于点C，
∴△AOC的面积＝|k|，
∴|k|＝4，
∵k＞0，
∴k＝8．
故答案为8．
12．解：∵正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象有一个交点A（2，m），
∴2m＝6，
解得：m＝3，
故A（2，3），
则3＝2k，
解得：k＝，
故正比例函数解析式为：y＝x，
∵AB⊥x轴于点B，平移直线y＝kx，使其经过点B，
∴B（2，0），
∴设平移后的解析式为：y＝x+b，
则0＝3+b，
解得：b＝﹣3，
故直线l对应的函数表达式是：y＝x﹣3．
故答案为：y＝x﹣3．
13．解法一：
解：，
解得：，，
即点A的坐标为（3﹣，3+），
点B的坐标为（3+，3﹣），
则AC＝2，BC＝2，
∵S△ABC＝8，
∴AC•BC＝8，
即2（9﹣k）＝8，
解得：k＝5．
解法二：
解：设点A（x1，6﹣x1），B（x2，6﹣x2）
∵双曲线y＝与直线y＝﹣x+6相交于A，B两点，
∴方程﹣（﹣x+6）＝0有解，
即：x2﹣6x+k＝0有2个不相同的实根，
∴x1+x2＝6，x1x2＝k，
∵AC⊥BC
∴C点坐标为（x1，6﹣x2）
∴AC＝x2﹣x1BC＝x2﹣x1
∵S△ABC＝8，
∴AC•BC＝8
∴（x2﹣x1）2＝8
整理得：（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，
∴36﹣4k＝16
解得k＝5，
故答案为：5．
解法三：根据对称性设A（a，b），B（b，a），
由题意：S△ABC＝（a﹣b）2＝8，
∴a﹣b＝﹣4．
又∵a+b＝6，
∴a＝1，b＝5，
∴k＝5．
14．解：如图，连接OA．
由题意，可得OB＝OC，
∴S△OAB＝S△OAC＝S△ABC＝4．
设直线y＝x+2与y轴交于点D，则D（0，2），
设A（a，a+2），B（b，b+2），则C（﹣b，﹣b﹣2），
∴S△OAB＝×2×（a﹣b）＝4，
∴a﹣b＝4 ①．
过A点作AM⊥x轴于点M，过C点作CN⊥x轴于点N，
则S△OAM＝S△OCN＝k，
∴S△OAC＝S△OAM+S梯形AMNC﹣S△OCN＝S梯形AMNC＝4，
∴（﹣b﹣2+a+2）（﹣b﹣a）＝4，
将①代入，得
∴﹣a﹣b＝2 ②，
①+②，得﹣2b＝6，b＝﹣3，
①﹣②，得2a＝2，a＝1，
∴A（1，3），
∴k＝1×3＝3．
故答案为3．

15．解：点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，4），
即：OA＝OB，∴∠OAB＝45°＝∠COD，
∠ODA＝∠ODA，∴△ODA∽△CDO，
∴OD2＝CD•DA，
设点E（m，n），则点D（4﹣n，n），点C（m，4﹣m），
则OD2＝（4﹣n）2+n2＝2n2﹣8n+16，
CD＝（m+n﹣4），DA＝n，
即2n2﹣8n+16＝（m+n﹣4）×n，
解得：mn＝8＝k，
故答案为8．
16．解：过A作AN⊥OC于N，
∵BM⊥OC
∴AN∥BM，
∵，B为AC中点，
∴MN＝MC，
∵OM＝2MC，
∴ON＝MN＝CM，
设A的坐标是（a，b），
则B（2a，b），
∵S△OAC＝12．
∴•3a•b＝12，
∴ab＝8，
∵B在y＝上，
∴k＝2a•b＝ab＝8，
故答案为：8．

三．解答题
17．解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，4），点B的坐标为（4，n）．
由图象可得：k1x+b＞的x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜4；
（2）∵反比例函数y＝的图象过点A（﹣1，4），B（4，n）
∴k2＝﹣1×4＝﹣4，k2＝4n
∴n＝﹣1
∴B（4，﹣1）
∵一次函数y＝k1x+b的图象过点A，点B
∴，
解得：k1＝﹣1，b＝3
∴一次函数的解析式y＝﹣x+3，反比例函数的解析式为y＝﹣；
（3）设直线AB与y轴的交点为C，
∴C（0，3），
∵S△AOC＝×3×1＝，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3×1+×4＝，
∵S△AOP：S△BOP＝1：2，
∴S△AOP＝×＝，
∴S△AOC＜S△AOP，S△COP＝﹣＝1，
∴×3•xP＝1，
∴xP＝，
∵点P在线段AB上，
∴y＝﹣+3＝，
∴P（，）．

18．解：（1）把点A（8，1）代入反比例函数y＝（x＞0）得：
k＝1×8＝8，y＝，
∴k＝8；
（2）设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
根据题意得：，
解得：k＝，b＝﹣3，
∴直线AB的解析式为：y＝x﹣3；
设M（t，），N（t，t﹣3），
则MN＝﹣t+3，
∴△BMN的面积S＝（﹣t+3）t＝﹣t2+t+4＝﹣（t﹣3）2+，
∴△BMN的面积S是t的二次函数，
∵﹣＜0，
∴S有最大值，
当t＝3时，△BMN的面积的最大值为；
（3）∵MA⊥AB，
∴设直线MA的解析式为：y＝﹣2x+c，
把点A（8，1）代入得：c＝17，
∴直线AM的解析式为：y＝﹣2x+17，
解方程组 得： 或 （舍去），
∴M的坐标为（，16），
∴t＝．
19．解：（1）∵双曲线y＝经过点D（6，1），
∴＝1，
解得k＝6；
（2）设点C到BD的距离为h，
∵点D的坐标为（6，1），DB⊥y轴，
∴BD＝6，
∴S△BCD＝×6•h＝12，
解得h＝4，
∵点C是双曲线第三象限上的动点，点D的纵坐标为1，
∴点C的纵坐标为1﹣4＝﹣3，
∴＝﹣3，
解得x＝﹣2，
∴点C的坐标为（﹣2，﹣3），
设直线CD的解析式为y＝kx+b，
则，
解得，
所以，直线CD的解析式为y＝x﹣2；
（3）AB∥CD．
理由如下：∵CA⊥x轴，DB⊥y轴，设点C的坐标为（c，），点D的坐标为（6，1），
∴点A、B的坐标分别为A（c，0），B（0，1），
设直线AB的解析式为y＝mx+n，
则，
解得，
所以，直线AB的解析式为y＝﹣x+1，
设直线CD的解析式为y＝ex+f，
则，
解得，
∴直线CD的解析式为y＝﹣x+，
∵AB、CD的解析式k都等于﹣，
∴AB与CD的位置关系是AB∥CD．
20．解：（1）∵y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象分别交于点 A（m，3）和点B（6，n），
∴m＝2，n＝1，
∴A（2，3），B（6，1），
则有，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4
（2）如图①当PA⊥OD时，∵PA∥OC，
∴△ADP∽△CDO，
此时p（2，0）．
②当AP′⊥CD时，易知△P′DA∽△CDO，
∵直线AB的解析式为y＝﹣x+4，
∴直线P′A的解析式为y＝2x﹣1，
令y＝0，解得x＝，
∴P′（，0），
综上所述，满足条件的点P坐标为（2，0）或（，0）．

21．解：（1）x2﹣9x+18＝0，
（x﹣3）（x﹣6）＝0，
x＝3或6，
∵CD＞DE，
∴CD＝6，DE＝3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AE＝EC＝＝3，
∴∠DCA＝30°，∠EDC＝60°，
Rt△DEM中，∠DEM＝30°，
∴DM＝DE＝，
∵OM⊥AB，
∴S菱形ABCD＝AC•BD＝CD•OM，
∴＝6OM，OM＝3，
∴D（﹣，3）；
（2）∵OB＝DM＝，CM＝6﹣＝，
∴B（，0），C（，3），
∵H是BC的中点，
∴H（3，），
∴k＝3×＝；
故答案为：；
（3）①∵DC＝BC，∠DCB＝60°，
∴△DCB是等边三角形，
∵H是BC的中点，
∴DH⊥BC，
∴当Q与B重合时，如图1，四边形CFQP是平行四边形，

∵FC＝FB，
∴∠FCB＝∠FBC＝30°，
∴∠ABF＝∠ABC﹣∠CBF＝120°﹣30°＝90°，
∴AB⊥BF，CP⊥AB，
Rt△ABF中，∠FAB＝30°，AB＝6，
∴FB＝2＝CP，
∴P（，）；
②如图2，∵四边形QPFC是平行四边形，

∴CQ∥PH，
由①知：PH⊥BC，
∴CQ⊥BC，
Rt△QBC中，BC＝6，∠QBC＝60°，
∴∠BQC＝30°，
∴CQ＝6，
连接QA，
∵AE＝EC，QE⊥AC，
∴QA＝QC＝6，
∴∠QAC＝∠QCA＝60°，∠CAB＝30°，
∴∠QAB＝90°，
∴Q（﹣，6），
由①知：F（，2），
由F到C的平移规律可得P到Q的平移规律，则P（﹣﹣3，6﹣），即P（﹣，5）；
③如图3，四边形CQFP是平行四边形，

同理知：Q（﹣，6），F（，2），C（，3），
∴P（，﹣）；
综上所述，点P的坐标为：（，）或（﹣，5）或（，﹣）．