必刷卷04——【高考三轮冲刺】2023年高考数学考前20天冲刺必刷卷（北京专用）（原卷版+解析版）

2023年高考数学考前信息必刷卷04

北京专用

北京卷考试题型为10（单选题、40分）＋5（填空题、25分）＋6（解答题、85分），其中第21题属于综合题，综合了新定义、集合论、归纳法、排除法、演绎证明等思想和方法，考查学生创新能力。

北京卷坚持“以德为先，能力为重，全面发展”的命题理念，稳妥推进新高考的改革，形成了“一个中心，两个着力点，三个突出，四条路径”的评价体系。

即以立德树人为中心，以数学素养和创新能力为两个着力点；突出对主干知识、思想方法、问题解决能力的考查；通过优化试卷结构、创新呈现方式、精选试题素材，突出学科本质，达到落实高考育人的目的。

北京卷通过设计现实性和综合性问题，实现对逻辑推理、直观想象、数学运算、数学抽象、数学建模、数据分析六大素养的综合考查。设置创新和思维深刻的问题，考查学生的创新能力。重点关注学生应知应会的内容，淡化机械记忆，关注学生的不同发展水平。

2023年高考四大趋势，❶落实立德树人，鲜明体现时代主题，❷高考由“考知识”向“考能力”转变，❸聚焦“关键能力”和“思维品质”的考察 ，❹高考由“以纲定考”到“考教衔接”转变 。

2022年北京卷第20题（Ⅲ）二元函数不等式的证明这一创新的设问打破常规，需要学生固定一个变量，把动态的问题转化为静态，把二元的问题转化为一元的问题去处理。考查学生将多元与一元，动态与静态，变量与常量，高等与初等，等进行辩证思维的能力。第21题属于综合题，综合了新定义、集合论、归纳法、排除法、演绎证明等思想和方法，考查学生创新能力。可以预测2023年北京卷将设置创新和思维深刻的问题，考查学生的创新能力。例如本卷第21题。

2022年北京卷第7题选取绿色冬奥会为情境创设数学问题。问题呈现了二氧化碳的三相图，该图可以使学生了解跨学科的知识。通过设置此问题，引导学生认识到现实生活中的环保问题，树立有责任的公民意识。第18题以体育铅球比赛为背景，考查统计学中预测方法与步骤的全过程。在体育比赛，特别是国际比赛中，预测比赛结果是体育比赛中一个重要的研究方向和热门话题，通过解决此问题，使学生体会到概率统计知识与现实生活的紧密联系。可以预测2023年北京卷将突出对数学应用和跨学科的考查。例如本卷第8题。

2022年北京卷进一步优化试卷的结构，首次将考查立体几何的试题改为结构不良问题，以直三棱柱为背景考查线面关系。给出的两个等价条件，让学生从位置和度量两个方面进行选择。这种尝试增强了试题灵活性，为引导教学、防止题型固化、命题方式固化起到积极的作用。可以预测2023年北京卷将继续考查结构不良问题。例如本卷18题。

总之，2023年高考数学继续保持“入口易、口径宽，深入缓、出口难”的特点，坚持“立德树人、服务选才、引导教学”的命题指导原则，形成了“一个中心，两个着力点，三个突出，四条路径”的评价体系，导向中学对“四具备”人才的培养，即具备自觉的数量观念的人、具备严密推理逻辑的人、具备高度抽象概括的人、具备一丝不苟、精益求精作风的人。

引导教学在六个方面“下功夫”，即在主干知识的掌握上下功夫、在数学学科本质的理解上下功夫、在数学思想方法的领悟上下功夫、在数学应用探究上下功夫、在创新思维形成上下功夫、在数学素养的养成上下功夫。助力学生德智体美劳全面发展。

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

2．已知，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

3．下列函数中，既是偶函数又在区间内单调递减的是（    ）

A． B． C． D．

4．在的展开式中，的系数为（    ）

A． B． C． D．40

5．如图所示，在中，点是线段上靠近A的三等分点，点是线段的中点， 则（       ）

A．  B．

C．  D．

6．函数是（    ）

A．奇函数，且最小值为 B．奇函数，且最大值为

C．偶函数，且最小值为 D．偶函数，且最大值为

7．已知双曲线的中心在原点，以坐标轴为对称轴．则“的离心率为”是“的一条渐近线为”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

8．脉搏血氧仪是根据郎伯比尔定律（Lambert—Beer Law）采用光电技术进行血氧饱和浓度的测量，而朗伯比尔定律（Lambert-Beerlaw）是分光光度法的基本定律，是描述物质对某一波长光吸收的强弱与吸光物质的浓度及其液层厚度间的关系，其数学表达式为，其中A为吸光度，T为透光度，K为摩尔吸光系数，c为吸光物质的浓度，单位为，b为吸收层厚度，单位为cm，保持K，b不变，当吸光物质的浓度增加为原来的两倍时，透光度由原来的T变为（    ）

A． B． C． D．

9．已知函数，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

10．名学生参加某次测试，测试由道题组成．若一道题至少有名学生未解出来，则称此题为难题；若一名学生至少解出了道题，则该生本次测试成绩合格．如果这次测试至少有名学生成绩合格，且测试中至少有道题为难题，那么的最小值为（    ）

A． B．

C． D．

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11．已知为虚数单位，复数，则___________.

12．已知抛物线过点，那么点到此抛物线的焦点的距离为_________.

13．如图，正方体的棱长为2，线段上有两个动点，，且，给出下列三个结论：

①三棱锥与的体积相等；

②三棱锥的体积为定值；

③三棱锥的高长为

（三棱锥的高长即点到平面的距离）．

所有正确结论的序号有________．

14．在数列中，，，数列的前项和为，则___________，___________.

15．设，其中．当时，____；当时，的一个取值为____．

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16．如图，在中，，，点在边上，.

(1)求的长；

(2)若的面积为，求的长.

17．根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：cm）：

从某校高三男生和女生中各随机抽取名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到）：

假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立．

(1)分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率；

(2)从该校全体高三男生中随机抽取人，全体高三女生中随机抽取人，设为这人中立定跳远单项等级为优秀的人数，估计的数学期望；

(3)从该校全体高三女生中随机抽取人，设“这人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件，“这人的立定跳远单项至多有个是优秀”为事件．判断与是否相互独立．（结论不要求证明）

18．如图，在长方体中，，和交于点E，F为AB的中点.

(1)求证：∥平面；

(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求

（i）平面CEF与平面BCE的夹角的余弦值；

（ii）点A到平面CEF的距离.

条件①：；

条件②：直线与平面所成的角为.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

19．已知函数．

(1)求曲线在处的切线方程；

(2)求的单调区间；

(3)若方程有解，求a的取值范围．

20．已知，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆的一个顶点，是顶角为120°的等腰三角形．

(1)求椭圆的方程；

(2)过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，，且，求证：直线过定点．

21．已知数表中的项互不相同，且满足下列条件：

①；

②.

则称这样的数表具有性质.

(1)若数表具有性质，且，写出所有满足条件的数表，并求出的值；

(2)对于具有性质的数表，当取最大值时，求证：存在正整数，使得；

(3)对于具有性质的数表，当n为偶数时，求的最大值.