2023年江苏省无锡市滨湖区中考数学一模试卷（含解析）

2023年江苏省无锡市滨湖区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在函数中，自变量的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算正确的(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列图案中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的(    )

A.  B.  C.  D.

5.  为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的某月用水量，统计结果如表所示：

关于这若干户家庭的该月用水量的数据统计分析，下列说法正确的(    )

A. 方差是 B. 平均数是 C. 中位数是 D. 众数是

6.  下列命题是真命题的是(    )

A. 平行四边形对角互补 B. 矩形的对角线互相垂直
C. 菱形的对角线相等 D. 正方形的对角线相等且互相垂直平分

7.  某几何体的三视图如图所示，则该几何体是(    )

A. 圆锥
B. 三棱锥
C. 三棱柱
D. 四棱柱

8.  如图，是的直径，与相切于点，与相交于点，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象相交于、两点，若面积为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在中，，，，点是边上一动点，连接，以为斜边作，使，，连接则面积的最大值(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.  的立方根是          ．

12.  年我国国内生产总值约为亿元，将数字用科学记数法表示为______ ．

13.  分解因式：          ．

14.  请写出一个函数表达式，其图象经过原点，这个函数的表达式可以是______ 只要写出一个符合题意的答案即可．

15.  已知一个扇形的圆心角为，半径为，将这个扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆半径为______ ．

16.  命题“如，那么”的逆命题是______命题．填“真”或“假”

17.  已知在正方形网格中的位置如图所示，点、、、均在格点上，有下列结论：点在的角平分线上；直线可以把分成面积相等的两部分；点是的外心；点是的重心其中正确的有______ 直接填写序号

18.  如图，在正方形中，，点、分别在边、上，沿翻折，使点的对应点恰好落在边的中点处，若点的对应点为，则线段的长为______ ；若线段的垂直平分线分别交、于点、，则 ______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：
计算：；
化简：．

20.  本小题分
解方程：；
解不等式组：．

21.  本小题分
如图，在▱中，对角线、相交于点，分别过点、作，，垂足分别为、．
求证：
≌；
．

22.  本小题分
年月日，全国马拉松锦标赛无锡站正式鸣枪开跑某校名学生幸运成为该活动志愿者，负责某区域运动员的物资发放，其中男性人，女性人．
若从这人中选人进行物资发放，恰好选中女性的概率是______ ；
若从这人中选人进行物资发放，请用树状图或列表法求恰好选中一男一女的概率．

23.  本小题分
随着科技进步发展，在线学习已经成为部分人自主学习的选择、某校计划为学生提供以下四类学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论为了解学生的需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣的调查”，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

这次抽样调查的样本容量是______ ，在扇形统计图中“在线阅读”所在扇形圆心角的度数为______ ；
将条形统计图补充完整；
若该校共有学生人，请你估计该校对“在线讨论”最感兴趣的学生人数．

24.  本小题分
某学校准备到文化用品商店购买数学实验器材和，若购买件器材和件器材共需要元，若购买件器材和件器材共需要元．
求每件器材、的销售价格；
学校准备用不多于元的金额购买这两种器材共件，求最多购买器材的件数；
在的条件下，学校还要求购买器材不少于件，则学校购买费用最少多少元？

25.  本小题分
如图，以为直径的经过的顶点，是的中点，连接、分别交于点、．
求证：∽；
若，，求的面积．

26.  本小题分
如图，已知．

请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：作的内切圆；不写作法，保留作图痕迹
在的条件下，若，，，则 ______ 如需画草图，请使用图

27.  本小题分
如图，在矩形中，为边上一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处，作的角平分线交的延长线于点，交于点．
求证：；
若，时，求的长；
若时，求的值．

28.  本小题分
如图，已知二次函数的图象交轴于点、，交轴于点．

求二次函数的表达式；
若点在轴上，过点作轴的垂线，分别交直线和抛物线于点、．
若点在线段上，求的最大值；
以为斜边作等腰直角，当点落在抛物线上时，求此时点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，的相反数是不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，求解即可．
【解答】
解：的相反数是：，
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：根据题意，得
，
解得．
故选：．
根据分式有意义的条件，即分母不等于，即可求解．
此题考查了分式有意义的条件，同时能够熟练解不等式．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故本选项错误；
B、和不是同类项，不能进行加减运算，故本选项错误；
C、，故本选项正确；
D、，故本选项错误，
故选：．
根据相应的运算法则逐一运算判断即可．
本题主要考查了同底数幂的乘除法，合并同类项，幂的乘方，熟悉掌握其运算的法则是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：该图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图重合．
 

5.【答案】 

【解析】解：这组数据的方差为，因此选项A不符合题意；
这组数据的平均数为吨，因此选项B不符合题意；
将这户的用水量从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为吨，因此选项C不符合题意；
这组数据出现次数最多的是吨，共出现次，所以用水量的众数是吨，因此选项D符合题意；
故选：．
根据众数、中位数、平均数、方差的计算方法分别进行计算即可．
本题考查平均数、中位数、众数、方差，掌握平均数、中位数、众数以及方差的计算方法是正确解答的前提．
 

6.【答案】 

【解析】解：、错误，应该是：平行四边形的对角相等；
B、错误，应该是：矩形的对角线相等且互相平分；
C、错误，应该是：菱形的对角线互相垂直且平分；
D、正确，正方形的对角线相等且互相垂直平分；
故选：．
根据特殊四边形的性质一一判断即可．
本题考查命题与定理、特殊四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的性质，属于中考常考题型．
 

7.【答案】 

【解析】解：由三视图可知，这个几何体是直三棱柱．
故选：．
从三视图的俯视图看是一个三角形，而主视图是一个矩形，左视图为矩形，可知这是一个三棱柱．
本题考查了由三视图判断几何体的知识，由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助．
 

8.【答案】 

【解析】解：与相切于点，
，即，
，
，
，
．
故选：．
根据切线的性质可得，从而得到，再由圆周角定理，即可求解．
本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质，圆周角定理是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：反比例函数与一次函数的图象相交于、两点，
、两点在第二象限，
过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，

则，，，，
，
点、都在反比例函数的图象上，
，，即，
，
，
即，
，
，
解得，
，
．
故选：．
过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，根据点、都在反比例函数的图象上，推出，根据，求得，进一步计算即可求解．
本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数交点坐标同时满足反比例函数与一次函数解析式．解决问题的关键是推出．
 

10.【答案】 

【解析】解：过作，交的延长线于，
，，
，
，，
∽，，
，，
，
∽，
，，
，
，
，
，
，
，




，
即面积的最大值为．
故选：．
过作，交的延长线于，易证得∽及∽，得到，，从而求得，，由面积公式求得，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握相似三角形的证明和性质．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了立方根的概念．如果一个数的立方等于，即的三次方等于，那么这个数就叫做的立方根，也叫做三次方根．利用立方根的定义即可求解．
【解答】
解：因为，
所以的立方根是．
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
首先思考科学记数法的形式，再确定和的值，即可得出答案．
本题主要考查了科学记数法表示较大数字，其形式为，其中，为正整数．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用分解因式．
应先提取公因式，再对其利用平方差公式分解即可．
【解答】

解：，
，
．
故答案为：．

14.【答案】答案不唯一 

【解析】解：函数图象过点，
函数表达式可以是：答案不唯一．
故答案为：答案不唯一．
根据函数的性质，函数图象过点，写出一个符合题意的函数表达式即可．
本题考查了函数的图象及性质，掌握函数不同表示方式之间的联系是本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意得：扇形的弧长，
圆锥的底面半径为．
故答案为：．
由已知得扇形的弧长，除以即为圆锥的底面半径．
本题考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长，熟练掌握其公式是解决此题的关键．
 

16.【答案】假 

【解析】解：命题“如，那么”的逆命题是如果，那么，
是假命题，
故答案为：假．
根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，判断真假即可．
本题考查的是命题的逆命题、以及命题的真假判断，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
 

17.【答案】 

【解析】解：取、的中点、，连接、、，则点，，三点共线，点，，三点共线，

由图可知，，
，
、分别是、的中点，
，
又，，
≌，
，
平分，
点在的角平分线上，故正确；
是的中点，点，，三点共线，
是的中线，
即直线把分成面积相等的两个部分，故正确；
，
，
点不在的垂直平分线上，
点不是三边垂直平分线的交点，
点不是的外心，故错误；
、分别是、的中点，
、分别是的中线，
点是的重心，故正确，
故答案为：．
取、的中点、，连接、、，根据勾股定理解得、的长，再证明≌，由全等三角形对应角相等解得，据此解题即可；
根据中线的性质，即可解题；根据题意可得，从而得到点不在的垂直平分线上，即可；由三角形的重心定义结合中线的性质解题即可．
本题考查了三角形的重心、角平分线的性质、圆周角定理以及三角形的外接圆与外心等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
 

18.【答案】  

【解析】解：四边形是正方形，
，，
是的中点，
，
由折叠性质可知，
设，则，
由勾股定理得，
即，
解得，
；
如图，过点作于，连接，，，
于，四边形是正方形，
，，

由折叠性质可知，，，
设，则，
由勾股定理得，
即，
解得，
，
，
，
是的垂直平分线，
，，，
设，则，
，，
，
解得，
，
，
在中，由勾股定理得．
故答案为：；．
先根据正方形性质和中点定义求出的长，再由折叠性质得到，设，根据勾股定理列方程即可求出的长；过点作于，连接，，，通过勾股定理列出方程求出的长，从而求得的长，再根据垂直平分线的性质得出，，，从而再根据勾股定理列方程求出求出的长，进而即可求解．
本题考查了正方形的折叠问题，熟练运用折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，并能够正确的作出辅助线是解题的关键，难度校大．
 

19.【答案】解：原式
；
原式
． 

【解析】利用特殊角的三角函数值，绝对值和负指数幂的运算法则进行计算即可；
先利用完全平方公式计算，再合并同类项即可．
本题考查了实数的混合运算，熟练运用特殊角的三角函数值，绝对值，负指数幂的运算法则和完全平方公式是解题的关键．
 

20.【答案】解：两边同时乘，得，
解得，
检验，当时，，
是原分式方程的解；
，
由得，，
由得，，
原不等式组的解集． 

【解析】先去分母化成整式方程求解，再检验即可；
先分别求出不等式组中每一个不等式的解集，再根据“大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无处找”的原则确定出不等式组解集即可．
本题考查解分式方程，解不等式组，熟练掌握解分式方程的基本方法是将分式方程转化成整方程求解，然后检验，以及确定不等式解集的原则是解题的关键．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
≌；
≌，
，
，
，
即． 

【解析】根据平行四边形的性质及垂直的定义，由，即可证得结论；
根据平行四边形的性质及全等三角形的性质，即可证得结论．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，掌握平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定是解决问题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：有男性人，女性人，每名学生被选中的概率相同，
从这人中选人进行物资发放，恰好选中女性的概率是，
故答案为：
名男性分别用、、表示，两名女性分别用、表示，列表如下：

共有种等可能的结果，其中符合题意的结果共有种，
恰好选中一男一女的概率为．
根据概率计算公式求解即可；
先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，正确列出表格或画出树状图是解题的关键．
 

23.【答案】   

【解析】解：本次调查的学生总人数为：人，
样本容量为，
扇形统计图中“在线阅读”对应的扇形圆心角的度数为：，
故答案为：，；
在线听课的人数为：人，
补全条形统计图如下：

人，
答：对“在线讨论”最感兴趣的学生大约人．
根据在线答题的人数和所占的百分比即可求得本次调查的人数，根据统计图中的数据可以求得扇形统计图中“在线阅读”对应的扇形圆心角的度数；
用样本总人数减去其他在线学习方式的人数即可求出在线听课的人数，然后补全条形统计图即可；
用该校的总人数乘以“在线阅读”所占的百分比即可得出答案．
本题考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

24.【答案】设每件器材的销售价格为元，每件器材的销售价格为元，
根据题意得，
解得，
每件器材的销售价格为元，每件器材的销售价格为元；
设购买器材件数为，则购买器材件数为，
由题意可得，
，
又为整数，
最大是，即最多购买器材的件数是件；
设购买费用为元，
根据题意得，
，，为整数，
当时，元，
学校购买费用最少为元． 

【解析】设每件器材的销售价格为元，每件器材的销售价格为元，根据题意列出方程求解即可；
设购买器材件数为，则购买器材件数为，根据题意列出不等式求解即可；
设购买费用为元，列出购买费用和购买器材件数的一次函数，利用一次函数的性质求解即可．
本题考查了二元一次方程组与实际问题一元一次不等式的应用，读懂题意，列出方程是解题的关键．
 

25.【答案】证明：点是的中点，
，，
是直径，
，
又，
∽；
解：∽，
，
设，则，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
的面积． 

【解析】由圆周角定理和垂径定理可得，可得结论；
由相似三角形的性质可得，设，则，分别求出，，由勾股定理可求的值，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，三角形中位线定理等知识，证明三角形相似是解题的关键．
 

26.【答案】 

【解析】解：如图所示，即为所求；

设，分别切于点，，连接，，则：，，，

由题意，得：，，，，
设，
，，
，
，
过点作于点，则：，
设，则：，
，
，
解得：，
，
，
，即：，
；
．
故答案为：．
作，的角平分线，交于点，过点作的垂线，交于点，以点为圆心，为半径画圆，即为所求；
如图，切线长定理求出的长，等积法求出的长，再利用，进行求解即可．
本题考查三角形的内切圆，切线长定理，解直角三角形．熟练掌握等积法求三角形的内切圆的半径是解题的关键．
 

27.【答案】证明：平分，
，
在矩形中，，
由翻折可知，
点在的延长线上，
，
，
，
，
又，
，
；
解：，
由翻折可知，
，
在中，，
，
设，
则，
由可知，，
∽，
，
，
解得：，
即；
解：如图，过点作，垂足为，

设，，则，
，
平分，
，
，，
∽，
，
即，
故AB，，
又，即，
，
． 

【解析】由角平分线的定义及翻折易得及，从而得到，结合对顶角相等可得即可得证；
设，则，易证∽，得，代入求解即可；
如图，过点作，垂足为，设，，则，可得，易证∽得，即，解得，，结合，得，代入即可求解．
本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质的应用，角平分线的性质定理；解题的关键是熟练掌握折叠的性质及相似三角形的判定和性质．
 

28.【答案】解：将，代入中，
得，
解得，
二次函数的表达式为；

令代入，得，
，
设直线的函数表达式为，
将，代入并求得：，
直线的函数表达式为：，
设的坐标为，则、，
，
当时，最大值为；

若点在的右侧，设，，
则由等腰直角三角形的性质得：，，
则，
把点坐标代入中，得，
解得，舍去，
故；
若点在的左侧，设，
同理得：，
把点坐标代入中，得，
解得，舍去，
故；
综上，点的坐标为或． 

【解析】将，代入求解即可得出函数表达式；
先求出，再求出直线的表达式，设的坐标为，则、，根据题意列出二次函数求解即可；
分两种情况：若点在的右侧；若点在的左侧；分别求解即可．
本题考查了二次函数的几何综合，熟练掌握待定系数法求二次函数，一次函数的求法，二次函数的图象与性质，会根据等腰直角三角形的性质确定出点的横、纵坐标是解答本题的关键与难点．