2023年北京市延庆区中考数学一模试卷（含解析）

2023年北京市延庆区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列几何体的主视图和俯视图完全相同的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年月日，中华民族再探苍穹，神舟十四号载人飞船通过长征二号运载火箭成功升空，并与天和核心舱顺利进行接轨．据报道，长征二号运载火箭的重量大约是将数据用科学记数法表示，结果是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列图形中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其他差别从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中，正确的是(    )
 

A.  B.  C.  D.

6.  如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是(    )
 

A.  B.
C.  D.

7.  如图是作线段垂直平分线的作图痕迹，则下列结论不一定成立的是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，它的邻边长为当在一定范围内变化时，随的变化而变化，则与满足的函数关系是(    )

A. 一次函数关系 B. 二次函数关系 C. 正比例函数关系 D. 反比例函数关系

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

9.  若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是          ．

10.  分解因式：            ．

11.  方程组的解为______ ．

12.  如图，的弦，相交于点若，，则 ______

13.  如图，在中，点，分别在边，上，且，若，，的面积是，则的面积是______ ．

14.  如图，在中，点，将向左平移个单位得到，再向下平移个单位得到，则点的对应点的坐标为______ ．

15.  在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，且，请你写出一个符合要求的的值______ ．

16.  甲、乙两种物质的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，下列说法中，
甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大；
当温度升高至时，甲的溶解度比乙的溶解度小；
当温度为时，甲、乙的溶解度都小于；
当温度为时，甲、乙的溶解度相同．
所有正确结论的序号是______ ．

三、计算题（本大题共2小题，共10.0分）

17.  计算：．

18.  解不等式组：．

四、解答题（本大题共10小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
已知，求代数式的值．

20.  本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：方程总有两个实数根；
如果方程有一个根为正数，求的取值范围．

21.  本小题分
如图，在平行四边形中，连接，点为边的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接．
求证：四边形是矩形；
若，，求四边形的面积．

22.  本小题分
在平面直角坐标系中，一次函数的图象由正比例函数的图象平移得到，且经过点．
求，的值；
当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出的取值范围．

23.  本小题分
如图，是的外接圆，是的直径，，且．
求证：是的切线；
若，，求的半径．

24.  本小题分
原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分如图所示，建立平面直角坐标系，实心球从出手到落地的过程中，它的竖直高度单位：与水平距离单位：近似满足函数关系．
小明训练时，实心球的水平距离与竖直高度的几组数据如下：

根据上述数据，解决下列问题：
直接写出实心球竖直高度的最大值是______ ；
求出满足的函数关系；
求实心球从出手到落地点的水平距离．

25.  本小题分
为了增强同学们的消防安全意识，普及消防安全知识，提高自防自救能力，某中学开展了形式多样的培训活动为了解培训效果，该校组织七、八年级全体学生参加了消防知识竞赛百分制，并规定分及以上为优秀，分为良好，分为及格，分及以下为不及格学校随机抽取了七、八年级各名学生的成绩进行了整理与分析，下面给出了部分信息．
抽取七年级名学生的成绩如下：

抽取七年级名学生成绩的频数分布直方图如图：
数据分成组：，，，，
抽取八年级名学生成绩的扇形统计图：
七年级、八年级各抽取的名学生成绩的平均数、中位数如表：

请根据以上信息，完成下列问题：
补全七年级名学生成绩的频数分布直方图，写出表中的值；
该校八年级有学生人，估计八年级测试成绩达到优秀的学生有多少人？
在七年级抽取的学生成绩中，高于他们平均分的学生人数记为；在八年级抽取的学生成绩中，高于他们平均分的学生人数记为比较，的大小，并说明理由．

26.  本小题分
在平面直角坐标系中，点在抛物线上．
当时，求的值；
点在抛物线上，若存在，使得，直接写出的取值范围．

27.  本小题分
如图，在中，，，是边上的高，点是边上的一动点不与点，重合，连接交于点将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．
如图，当是的角平分线时，
求证：；
直接写出 ______
依题意补全图，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
 

28.  本小题分
在平面直角坐标系中，的半径为对于线段和点点不在直线上，给出如下定义：过点作直线的平行线，如果线段关于直线的对称线段是的弦，那么线段称为的点对称弦．
如图，，，，，，在线段，中，的点对称弦是______ ；
等边的边长为，点若线段是的点对称弦，求的值；
点在直线上，的半径为，过点作直线的垂线，交于点，若点在上，且线段是的点对称弦，直接写出点的横坐标的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、主视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不合题意；
B、主视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故本选项不合题意；
C、主视图是矩形，俯视图是三角形，故本选项不合题意；
D、主视图和俯视图完全相同，是等圆，故本选项符合题意．
故选：．
主视图、俯视图是分别从物体正面、上面看，所得到的图形．
本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
 

2.【答案】 

【解析】解：数据用科学记数法表示为．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：、不是中心对称图形；
B、是中心对称图形；
C、不是中心对称图形；
D、不是中心对称图形；
故选：．
根据中心对称图形的定义判断．
本题考查的是中心对称图形的定义，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，这个图形就叫做中心对称图形．
 

4.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中两次都取到白色小球的结果有种，
两次都取到白色小球的概率为．
故选：．
画树状图得出所有等可能的结果数以及两次都取到白色小球的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据数轴得：，，故C选项符合题意，，，选项不符合题意；
故选：．
根据数轴上右边的数总比左边的大即可得出答案．
本题考查了实数与数轴，掌握数轴上右边的数总比左边的大是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的几何背景的计算方法进行求解是解决本题的关键．
左边大正方形的边长为，面积为，由边长为的正方形，个长为宽为的长方形，边长为的正方形组成，根据面积相等即可得出答案．
【解答】
解：根据题意，大正方形的边长为，面积为，
由边长为的正方形，个长为宽为的长方形，边长为的正方形组成，
所以．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：由作图可知，垂直平分线段，
，，，
故选项A，，D正确．
故选：．
利用线段的垂直平分线的性质判断即可．
本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意得，
，
，
，
即与是一次函数关系，
故选：．
矩形的周长为，可用来表示即可．
本题考查了一次函数的应用等知识，理清题中的数量关系并熟练掌握一次函数的解析式形式是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件得到，解之即可求出的取值范围．
本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式有意义时被开方数是非负数．
 

10.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
首先提取公因式，进而利用平方差公式进行分解即可．
此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，熟练运用平方差公式是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
得：，
得是：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
故原方程组的解是：．
故答案为：．
利用加减消元法进行求解即可．
本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故答案为：．
先根据圆周角定理求出的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．
本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
∽，
，
的面积是，
，
．
故答案为：．
根据题意可得，易证∽，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得，以此计算即可求解．
本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据题意知，点平移后对应点的坐标为，即，
故答案为：．
根据“横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减”求解即可．
本题主要考查坐标与图形变化平移，解题的关键是掌握点的坐标的平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
 

15.【答案】答案不唯一 

【解析】解：点，在反比例函数的图象上，且，
点在第二象限，点在第四象限，
反比例函数的图象在二、四象限，
，
的值可以为．
故答案为：答案不唯一．
根据点的坐标特点得出反比例函数的图象在二、四象限，根据反比例函数的性质得出．
此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：由图象可以看出，
甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大，说法正确；
当温度升高至时，甲的溶解度比乙的溶解度大，原说法错误．；
当温度为时，甲、乙的溶解度都小于，说法正确；
当温度为时，甲、乙的溶解度相同，原说法错误．
所有正确结论的序号是．
故答案为：．
先对图象的交点及在一点范围内图象的性质进行分析，然后再对各条信息逐一判断即可．
本题主要考查了函数的图象，熟练掌握横纵坐标表示的意义是解题的关键．
 

17.【答案】解：

． 

【解析】首先计算特殊角的三角函数值、负整数指数幂、二次根式和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

18.【答案】解：，
由得：，
由得：，
则不等式组的解集为． 

【解析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解集是解本题的关键．
 

19.【答案】解：

，
当时，
原式

． 

【解析】先去括号，再合并同类项，然后把代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

20.【答案】证明：

，
方程总有两个实数根；
，
解得，，
方程只有一个根是正数，
，
． 

【解析】先计算判别式的意义得到，然后根据判别式的意义得到结论；
先利用求根公式解方程得，，再根据题意得到，从而得到的范围．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
点为边的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
解：四边形是平行四边形，四边形是矩形，
，，，
，
，，
，
，
，
四边形的面积是． 

【解析】由平行四边形的性质得，则，而，即可证明≌，得，则四边形是平行四边形，因为，所以四边形是矩形；
由，，，得，，则．
此题重点考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、梯形的面积公式等知识，证明≌是解题的关键．
 

22.【答案】解：一次函数的图象由正比例函数的图象平移得到，
，
一次函数的图象经过点，
，
；
如图所示：

当时，，
即，
解得，
结合图象可知，当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值，的取值范围是． 

【解析】根据的图象由正比例函数的图象平移得到，可得的值，将点代入可得的值；
结合图象即可确定取值范围．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换，待定系数法求解析式等，熟练掌握一次函数的图象上点的坐标特征是解题的关键．
 

23.【答案】证明：，
．
．
，
．
．
是的直径，
是的切线．
解：是的直径，
．
．
过点作于点，

．
．
，
设，则，
，．
．
．
∽，
．
．
，
．
的半径为． 

【解析】根据，得出，进而得，则，由是的直径得出结论；
因为是的直径，推出，过点作于点，则，则，则，设，则，，则，，求出和，由∽，得出，进而求得．
本题考查圆周角定理，切线的判定和性质，直角三角形的边角关系以及等腰三角形，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系是解决问题的前提．
 

24.【答案】 

【解析】解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：，
实心球竖直高度的最大值是，
故答案为：；
由表格数据可知，抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的表达式为，
将点代入，得，
解得．
抛物线的表达式为；
令，
，
，舍．
答：实心球从出手到落地点的水平距离为米．
先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出实心球竖直高度的最大值；
设抛物线的表达式为，将点代入于是得到结论；
解方程即可得到结论．
本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
 

25.【答案】解：成绩在组的人数为：人，补全频数分布直方图如下：
将七年级名学生的成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数是，即；
抽取的八年级名学生成绩的优秀率为：，
此次八年级测试成绩达到优秀的学生为：人，
答：八年级测试成绩达到优秀的学生大约有人；
抽取的七年级名学生成绩在平均分分以上的有人，即，
抽取的八年级名学生成绩中分及以上的学生有：人，
把八年级名学生的成绩由高到低排列，
设第十名的成绩为，第十一名的成绩为．
抽取的八年级名学生成绩的中位数是，
．
．
抽取的八年级名学生成绩的平均数是，
第十名的成绩高于他们的平均分，第十一名的成绩低于他们的平均分，
．
． 

【解析】根据各组频数之和等于样本容量可求出分的人数，进而补全频数分布直方图，再根据中位数的定义求出七年级学生成绩的中位数；
求出样本中八年级学生成绩的优秀率，估计总体优秀率，进而求出优秀人数；
根据数据统计可直接得出的值，再根据平均数、中位数的定义求出的值即可．
本题考查频数分布直方图，平均数、中位数，理解平均数、中位数的定义，掌握平均数、中位数的计算方法是正确解答的前提．
 

26.【答案】解：当时，点的坐标为，
点在抛物线上，
上，
；
抛物线的对称轴，

观察图象可知，当时，且时，存在，使得，
且． 

【解析】利用待定系数法求解；
构建不等式解决问题即可．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握待定系数法，学会构建不等式解决问题．
 

27.【答案】 

【解析】证明：在中，，，
，
是边上的高，
，
，
是的角平分线，
，
，，
，
．
解：如图，过点作于点，交的延长线于点，

则，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
由旋转的性质得：，，
．
，
≌，
，
故答案为：；
解：依题意补全图，，证明如下：
过点作于点，交的延长线于点，

则，
，
是等腰直角三角形，
，，，
，
，
由旋转的性质得：，，
．
，
≌，
，
，
，
．
由等腰直角三角形的性质得，，再由三角形的外角性质得，即可得出结论；
过点作于点，交的延长线于点，证是等腰直角三角形，得，，再证≌，即可得出结论；
过点作于点，交的延长线于点，证是等腰直角三角形，得，，，再证≌，得，即可解决问题．
本题是几何变换综合题目，考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、三角形的外角性质以及直角三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握旋转的性质和等腰直角三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
 

28.【答案】、 

【解析】解：如图，

设与轴交于点和，交轴的正半轴于点，
关于的对称弦是，关于的对称弦是，
故答案为：，；
如图，

设关于直线的对称弦是，
连接，
在中，，，
，
，
，
，
当在下方时，
，
根据圆的对称性可得：，；
如图，

当在图中位置时，点的横坐标最大，
，与关于过点的直线对称，
，
，，
，
，
，
直线的解析式为：，
，
，
，
当点在上时，不存在对称弦，此时，
由对称可知，
当在第三象限时，
，
，且．
根据题意，画出图形，根据定义得出结果；
画出图形，当在轴的下方，在内时，设关于直线的对称弦是，连接，在中，，，求得，进而求得，，从而得出的值，进而求得另外三种情形；
画出图形，找出取最大和最小时的情形，进而求得结果．
本题考查了圆的有关性质，轴对称的性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是结合定义，画出图形，直观判断和推理．