2023年河南省商丘市柘城县中考数学一模试卷（含解析）

2023年河南省商丘市柘城县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  月日，记者从河南省财政厅获悉，今年前个月，全省财政总收入为亿元，同比增长将亿用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下面调查中，适合采用全面调查的是(    )

A. 对冷饮市场上光明冰砖质量情况的调查 B. 了解市面上一次性餐盒的卫生情况
C. 了解一个班级学生的视力情况 D. 了解某型号手机的使用寿命

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，，的顶点在直线上，，交直线于点，点在直线上，，若点恰好为的中点，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，菱形中，点，，分别为，，的中点，，，则菱形的周长为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  个大小相同的正方体搭成的几何体如图，则下列说法中正确的是(    )

A. 主视图的面积最小
B. 左视图的面积最小
C. 俯视图的面积最小
D. 三个视图面积一样大

8.  一元二次方程的根的情况是(    )

A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根

9.  如图，正方形中，，交于点，点为上一个动点，直线交于点，过点作，垂足为点，连接，若，则的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，平面直角坐标系中，，，将沿折叠，点的对应点为点，将沿轴正方向平移得到，当经过点时，点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  请你写出一个经过点的函数解析式        ．

12.  计算的结果为______ ．

13.  有大小、形状、颜色完全相同的四个乒乓球，球上分别标有数字，，，，四个球放入不透明的袋中搅匀，不放回地从中随机连续抽取两个，则这两个球上的数字之积为奇数的概率是______ ．

14.  如图，扇形中，，，点为的中点，过点作，交弧于点，沿将扇形上半部分折叠，则阴影部分的面积为______ ．

15.  折纸游戏：小明剪出一个直角三角形的纸片，其中，，，找出的中点，在上找任意一点，以为对称轴折叠，得到，点的对应点为点，小明发现，当点的位置不同时，与的三边位置关系也不同，请帮小明解决问题：当时，的长为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：；
解不等式组：．

17.  本小题分
开学后，为检验寒假期间学生的学习成果，王老师对自己所带的两个班进行了摸底测试，并分别从两个班各随机抽取了名同学的成绩百分制，并对数据成绩进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
收集数据：两个班各抽取的名学生的成绩如表所示：

整理、描述数据：根据上面得到的两组样本数据，绘制了频数分布直方图，请补全二班的频数分布直方图；
分析数据：两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如表所示：填空： ______ ， ______ ；

得出结论：根据以上信息，判断______ 班寒假期间数学知识掌握得较好，理由如下：______ 至少从两个不同的角度说明判断的合理性．
 

18.  本小题分
小亮乘车在一段正东方向的高速公路上行驶时，看到远处与高速公路平行的国道上有一座桥，他在处发现桥的起点在点的北偏东的方向上，并测得米，当车前进米到达处时，测得桥的终点在点的北偏东的方向上，求桥的长度精确到米，参考数据：，，，

19.  本小题分
如图，在以为直径的中，切于点，且，连接，交于点，作射线交于点．
作于点，交于点，交于点，连接尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；
在的条件下，求证：≌；若，求的长．

20.  本小题分
清明上河园是中国著名八朝古都河南开封的一座大型历史文化主题公园，占地余亩，坐落在开封城风光秀丽的龙亭湖西岸它是依照北宋著名画家张择端的传世之作清明上河图为蓝本建造的，于年月日正式对外开放年月，入选首批河南省中小学研学旅行实践基地拟认定名单如图为园中一座桥，桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点到水面的距离是按如图所示建立平面直角坐标系，设该抛物线的解析式为．

求桥拱部分对应的抛物线的解析式；
某天，一艘船经过桥下，如图，船的宽度，船上放置长方体的集装箱，集装箱的高度，若该船恰好贴着桥拱经过桥下，求此时船的左侧点与点的距离．

21.  本小题分
某电商根据市场需求购进一批，两种型号的电脑小音箱进行销售，每台型音箱的进价比型音箱的进价多元，用元购进型音箱与用元购进型音箱的台数相同．
求，两种型号的电脑小音箱的单价；
该电商计划购进，两种型号的电脑小音箱共台进行销售，其中型音箱台数不小于型音箱台数的倍，型音箱每台售价元，型音箱每台售价元，怎样安排进货才能使售完这台电脑小音箱所获利润最大？最大利润是多少元？
为满足不同顾客的需要，该电商准备新增购进进价为每台元的型音箱，，两种型号音箱仍按需购进，进价不变，型音箱的台数是型音箱台数的倍，共花费元，则该电商至少可以购进三种型号音箱共多少台？

22.  本小题分
如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，，分别是，的中点，点是对角线上的一个动点，设，，．
小明根据学习函数的经验，分别对这两种函数随自变量的变化而变化的情况进行了探究，下面是小明探究的过程，请补充完整．
画函数，的图象；按表中自变量的值进行取点、画图、测量，得到了，与的几组对应值：表中 ______ ， ______ ；

在图所给平面直角坐标系中描出以补全后的表中的各对应值为坐标的点，画出函数，的图象；
根据画出的函数，的图象，解决问题：
函数的最小值是______ ；
函数的图象与函数的图象的交点表示的含义是______ ；
若为等腰三角形，则的长约为______ 保留一位小数
 

23.  本小题分
在综合与实践课上，刘老师展示了一个情境，让同学们进行探究：情境呈现：如图，等腰直角三角形中，，，点为上一点，过点作，垂足为，连接，点为的中点，连接，．

特殊分析：将绕点顺时针旋转，当点落在上时，如图，探究与的数量关系；小明同学的分析如上：填空：小明判断≌的依据是______ 填序号；
A.
B.
C.
D.
E.
请判断的度数为______ ；
一般研讨：若将绕点在平面内顺时针旋转，如图，与的数量关系是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请证明；
拓展延伸：若，，在绕点旋转的过程中，当时，请直接写出线段的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
根据相反数的定义解答即可．
本题考查的是实数的性质，熟知只有符号不同的两个数叫互为相反数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：对冷饮市场上光明冰砖质量情况的调查，适合采取抽样调查，因此选项A不符合题意；
B.了解市面上一次性餐盒的卫生情况，适合采取抽样调查，因此选项B不符合题意；
C.了解一个班级学生的视力情况，由于人数不多，且容易实施，因此适合全面调查，因此选项C符合题意；
D.了解某型号手机的使用寿命，由于数量较多且不容易实施，适合采取抽样调查，因此选项D不符合题意；
故选：．
根据抽样调查、全面调查的意义结合具体的问题情况进行判断即可．
本题考查全面调查、抽样调查，理解全面调查、抽样调查的意义是正确判断的前提．
 

4.【答案】 

【解析】解：、与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

5.【答案】 

【解析】解：，点恰好为的中点，
，
，
，
故选：．
先利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，然后利用角的和差关系，进行计算即可解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：连接，，
点，，分别为，，的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，
，，
四边形是菱形，
，，，
，
菱形的周长，
故选：．
连接，，进而利用三角形中位线定理得出，，进而利用菱形的性质解答即可．
此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的对角线互相垂直解答．
 

7.【答案】 

【解析】解：主视图是四个正方形，左视图是三个正方形，俯视图是四个正方形，
故左视图的面积最小，
故选：．
根据主视图是从正面看到的图形，左视图是从左边看到的图形，俯视图是从上边看到的图形，可得三视图，根据三视图面积的大小，可得答案．
本题考查了三视图，主视图是从正面看到的图形，左视图是从左边看到的图形，俯视图是从上边看到的图形．
 

8.【答案】 

【解析】解：将方程整理为一般式，得：，
，
此方程有两个不相等的实数根，
故选：．
先将方程整理为一般式，再计算出方程根的判别式的值，从而得出答案．
本题主要考查根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：
当时，方程有两个不相等的两个实数根；
当时，方程有两个相等的两个实数根；
当时，方程无实数根．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，取的中点，连接，，过点作于，
四边形是正方形，
，，，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
的最小值为：，
故选：．
取的中点，连接，，过点作于，利用正方形的性质求出，，由是等腰直角三角形，得到，求出，利用勾股定理求出，再求出，根据，求出的最小值．
本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形三边关系定理等知识，正确理解正方形的性质以及三角形三边关系是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：过点作轴于点．

由翻折变换的性质可知，
由平移变换的性质可知，
，
，
，
设，
则，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
故选：．
过点作轴于点证明，设，则，求出，再利用平行线分线段成比例定理求解．
本题考查翻折变换，坐标与图形变化对称，平移变换等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
 

11.【答案】，答案不唯一 

【解析】解：设反比例函数的解析式为，因为经过，
，
反比例函数的解析式为．
故经过点的函数解析式为，答案不唯一．
根据点的坐标，用待定系数法求出函数的解析式．
本题是开放性试题，考查了待定系数法求反比例函数或一次函数的解析式．
 

12.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：．
根据分式的加减法则进行计算便可．
本题主要考查了分式加减法则，熟记分式加减法则是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，这两个球上的数字之积分别为：，，，，，，，，，，，，其中这两个球上的数字之积为奇数的结果种，
这两个球上的数字之积为奇数的概率为．
故答案为：．
画树状图得出所有等可能的结果数以及这两个球上的数字之积为奇数的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接，

，，
，
，点为的中点，
，，
，，
图形的面积为，
阴影部分的面积为．
故答案为：．
连接，先求出，，则图形的面积为，即可求出阴影部分的面积．
本题考查扇形的面积公式，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分割法求阴影部分面积．
 

15.【答案】或 

【解析】解：如图中，当，延长交于点．

，，，
，
，，
由翻折变换的性质可知，，，
，
，
，
，
．
如图中，当于点时，同法可得，

，
，
．
综上所述，的值为或．
故答案为：或．
分两种情形：如图中，当，延长交于点如图中，当于点时，分别求出，可得结论．
本题考查翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

16.【答案】解：原式
；
由得：，
由得：，
则不等式组的解集为． 

【解析】先计算乘方、负整数指数幂和立方根，再计算减法即可；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

17.【答案】    二  二班的成绩的众数高于一班，二班的成绩的中位数高于一班 

【解析】解：由中的表格可知，二班学生的频数为，的频数为，
补全的频数分布直方图如下图所示：

由一班的成绩可得，
出现次数最多，故，
第个和第个数分别是分和分，故，
故答案为：，；
根据题目中的信息可知，二班假期中学生数学学习成果较好．
理由：二班的成绩的众数高于一班，二班的成绩的中位数高于一班．
故答案为：二，二班的成绩的众数高于一班，二班的成绩的中位数高于一班．
根据表格中的数据可得完成直方图；
根据众数和中位数的定义解答即可；
根据表格中两个班的各种数据可得答案．
本题考查频数分布直方图、频数分布表，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
 

18.【答案】解：过作于，过作于，
，，
，米，
，米，
米，
，
米，
米，
答：桥的长度约为米． 

【解析】过作于，过作于，根据矩形的性质得到，，解直角三角形即可得到结论．
此题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
 

19.【答案】解：如图所示：即为所求；

证明：是的直径，
，
，
，
．
与相切于点，
，
，
，
≌；
解：连接，
≌，
，
是的直径，
，，
，
，
． 

【解析】按照题中步骤作图；
根据证明全等；
根据勾股定理求解．
本题考查了复杂作图，掌握圆周角定理和切线的性质是解题的关键．
 

20.【答案】解：由题意得：水面宽是，桥拱顶点到水面的距离是，
抛物线顶点的坐标为，
设二次函数的表达式为，
将点 代入得：
，
解得：，
二次函数的表达式为，
即 ；
集装箱的高度，该船恰好贴着桥拱经过桥下，
，
解得，，
船的宽度，
由题意得：当船在对称轴左侧时，点恰好经过桥拱，此时船的左侧点与点的距离，
当船在对称轴右侧时，点恰好经过桥拱，此时船的左侧点与点的距离．
此时船的左侧点与点的距离为或． 

【解析】设抛物线为，将代入即可求出抛物线的解析式；
由集装箱的高度，可得，即可解得，，分两种情况：当船在对称轴左侧时，点恰好经过桥拱，，当船在对称轴右侧时，点恰好经过桥拱，．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出二次函数的解析式．
 

21.【答案】解：设每台型音箱的进价为元，每台型音箱的进价为元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：每台型音箱的进价为元，则每台型音箱的进价为元；
设最大利润是元，购型音箱台，则购进型音箱台，
根据题意得：，
型音箱台数不小于型音箱台数的倍，
，
解得，
，
随的增大而减小，
当时，取最大值，最大值为；
答：购进台型音箱，购进台型音箱所获利润最大，最大利润是元；
设购进台型音箱，则购进台型音箱，购进三种音箱共台，
根据题意，得：，
解得，
，
，
，
为正整数且为的倍数，
，
，
随的增大而减小，
当时，，
答：该电商至少可以购进三种型号音箱共台． 

【解析】设每台型音箱的进价为元，每台型音箱的进价为元，根据用元购进型音箱与用元购进型音箱的台数相同列出方程，解方程即可，注意验根；
设最大利润是元，购进台型音箱，则购进台型音箱，根据总利润两种音响的利润之和列出函数解析式，再根据的取值范围，由函数的性质求最值；
设购进台型音箱，则购进台型音箱，购进三种音箱共台，然后由根据三种音响共花费元列出方程，得出，再由函数的性质以及，为正整数得出结论．
本题考查了一次函数和分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列出函数解析式和方程．
 

22.【答案】        或或 

【解析】解：，，
，
当时，，即点是的中点，
又，分别是，的中点，
，，，，
，，
故答案为：；；
如图所示：

当时，有最小值，
，
，
，
故答案为：；
函数的图象与函数的图象的交点表示的含义为，
故答案为：；
当时，则，
当时，则点在的垂直平分线上，过点作于，

，，
，
，
，
；
当时，过点作于，

，
，
，
，
故答案为：或或．
由勾股定理可求的长，由三角形中位线定理可求解；
根据表格，画出函数图象；
当时，有最小值，由锐角三角函数可求解；
由函数图象可求解；
分三种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解．
本题是四边形综合题，考查矩形的性质，函数图象的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
 

23.【答案】   

【解析】解：全等的理由是，
≌，
，
，
，
，
故答案为：；；

不变化．
理由：如图，分别过点，作，，垂足分别为，，连接，．

由等腰直角三角形的性质可得，点，分别为，的中点，
又点为的中点，，为的中位线，
，，
又，，
，，
，为的中位线，
，，
，，
，
，
，即．
≌，
；

的长为或．
理由：当点在的下方时，如图，过点作于，连接，过点作，交的延长线于，

是等腰直角三角形，，，
，，
点是的中点，
，，
，
，
，，
，
，
由可得：；
当点在上方时，如图，过点作于，连接，过点作，交的延长线于，

同理可求：．
综上所述，或．
利用全等三角形的判定和性质解决问题；
不变化．如图，分别过点，作，，垂足分别为，，连接，证明≌，可得结论；
分两种情形：当点在的下方时，如图，过点作于，连接，过点作，交的延长线于，当点在上方时，如图，过点作于，连接，过点作，交的延长线于，分别求解即可．
本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．