2023年高考押题预测卷02（上海卷）-数学（全解全析）

2023年高考押题预测卷02【上海卷】

数学·全解全析

1．/

【分析】利用共轭复数的定义先得到，化简，然后利用纯虚数的定义即可求解

【详解】由可得，

∵，

∴，

∵为纯虚数，

∴，即.

故答案为：

2．

【分析】根据均值不等式及二次不等式的解法求解即可.

【详解】因为，

所以，当且仅当时等号成立，

即，

解得或（舍去），

即的最小值为4，当且仅当时等号成立.

故答案为：4

3．

【分析】由题可知渐近线到圆心距离等于圆半径，据此可得答案.

【详解】设双曲线渐近线方程为：，

，则圆心坐标为，半径为1.

因圆与渐近线相切，则圆心到切线距离等于半径，即.

则双曲线的一条渐近线方程为，另一条渐近线方程为.

故答案为：

4．

【分析】解绝对值不等式求得集合，根据求得的取值范围.

【详解】由解得，所以，

所以，

由于，所以.

故答案为：.

5．/

【分析】由已知可证得平面，可得为与截面的垂足时，线段最小，然后利用等积法求解．

【详解】如图，

连接交截面于，由底面，底面,

可得，

又在正方形中，，，

则平面，平面,

则，

同理可得，，

则平面，此时线段最小，

由棱长为2，可得等边三角形的边长为，

，

∵，

∴，解得，

故答案为：.

6．

【分析】计算，，代入计算得到，确定为首项为，公比为的等比数列，求和得到答案.

【详解】函数有两个零点，故，

，

，

，

故为首项为，公比为的等比数列，

数列的前2023项的和为，

故答案为：

7．

【分析】根据奇函数的性质求得，再结合基本不等式求时其的取值范围，再结合奇函数的性质求时函数值的范围，由此可得函数值域.

【详解】因为为上的奇函数，

所以，所以，

又当时，，

所以，

当且仅当时等号成立，

即当时，，

因为为上的奇函数，

所以函数的图象关于原点对称，

所以时，，

所以函数的值域为.

故答案为：.

8．/

【分析】作出球的一个截面，圆分别与、相切于点、，求出、的值，即可得出椭圆的离心率的值.

【详解】如图，是球的一个截面，圆分别与、相切于点、，

因为，球的半径为，所以，，

所以，

所以，

因为是椭圆的长轴长，所以，所以，

根据椭圆在锥体中截面与球相切的切点为椭圆的焦点知，

球与相切的切点为椭圆的一个焦点，

所以，所以，

所以离心率．

故答案为：.

9．112

【详解】由题意可得：，

结合二项式展开式通项公式可得：，

令可得：，则常数项为：.

10．

【分析】根据题意可得的可能为前两局甲乙各胜一局，后两局甲或乙连胜，再结合独立事件的概率公式运算求解.

【详解】由题意可知：的可能为前两局甲乙各胜一局，后两局甲或乙连胜，

故.

故答案为：.

11．

【分析】把条件的二次方程分解成两个向量的积，得到这两个向量互相垂直，结合图形确定的最小值.

【详解】如下图所示，设

且

点B在以F为圆心，DE为直径的圆上

又

当点B为圆F和线段FA的交点的时候，最短

故答案为：

12．

【分析】首先利用不等式求得，通过减少变量得，再利用导数求出其值域即可.

【详解】由題意得，

由得,得,所以,

令，

，

当时，，此时在和上单调递增，

当时，此时在单调递减，

所以的极大值为，的极小值为，

又因为，

则的取值范围为.

故答案为：.

13．C

【分析】化简函数解析式可得，计算当时，的值，由此判断命题（1），计算时，的范围，利用正弦函数性质求函数的值域，判断命题（2），根据图象平移结论判断命题（3），利用导数求切线的斜率，判断命题（4）.

【详解】因为，

所以，

当时，，

所以不是函数的对称中心，（1）错误；

由可得，所以，

所以，

当时，，

当时，，

所以函数在区间上的值域为，（2）正确；

函数的图像向左平移个单位长度得到函数

的图象，（3）错误；

由可得，

所以，

曲线在处的切线的斜率为1，（4）正确；

所以正确的命题有（2）（4），

故选：C.

14．C

【分析】由已知结合向量数量积的坐标表示可得，然后结合点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系即可求出.

【详解】设，因为

因为在以原点为圆心，为半径的圆上，且.

设点到直线的距离之和为，则，转化为求的最大值.

设点为点与点的中点，设点到直线的距离为，则，

又.故点轨迹方程为圆.

圆上点到直线距离的最大值.

所以的最大值是.

故选：C.

【点睛】

15．C

【分析】由题设条件有，令则有、，应用基本不等式求范围且恒成立，进而求的范围，即可得结果.

【详解】由，则，且，

所以，

令，则，且，

所以，即，仅当时等号成立，

对于恒成立，仅当，即时等号成立，

综上，若，则，

而，则，只需，

所以，仅当，即时等号成立，

综上，，仅当，即时等号成立.

所以目标式最小值为.

故选：C

16．B

【分析】不等式，两边平方得到关于实数的不等式，进而得到，再利用模长公式将转化为，再利用不等式即可得解.

【详解】由，两边平方得

又，且对任意实数恒成立，

即恒成立，所以，

即，所以，即.

由，知，

所以,

当且仅当与同向时取等号.

故选：B

【点睛】关键点睛：本题考查向量的综合应用，不等式恒成立问题，解题的关键先利用对任意实数恒成立，求得，再利用求最值，考查了转化思想与运算能力.

17．(1)

(2)

【分析】（1）利用与关系即可求出的通项公式；

（2）根据对数运算即可求出结果.

【详解】（1），

两式相减可得，

等比数列的各项均为正数，

；

设公比为，则，

解得，即，

当时，，

解得，

，

（2）若存在正整数，使得，

即，

，

解得，

存在，使得.

18．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）确定，根据中点得到，得到平面，得到面面垂直.

（2）建立空间直角坐标系，得到各点坐标，平面的一个法向量为，是平面的一个法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案.

【详解】（1）由是底面的直径，点是底面圆周上的点，得.

又因，分别为，的中点，所以，故.  

因是圆锥的轴，所以底面，又平面，故.

于是与平面内的两条相交直线，都垂直，从而平面；

而平面，故由平面与平面垂直的判定定理，得平面平面.

（2）在圆锥底面，过圆心作直径的垂线，交圆周于点，则直线，，两两垂直，

以为坐标原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，

如图：

则，，，，.

设平面的一个法向量为，

则，即，

取，得.

又是平面的一个法向量，

故.

平面与平面所成的二面角是锐角，故二面角的余弦值为.

19．(1)分布列见解析， 1

(2)表格见解析，长时间使用手机与是否得脑瘤没有显著关系

【分析】（1）由题可知可取的值为0，1，2，后结合题目条件可得分布列与相应期望；

（2）由题目条件可将列联表补充完整，后由列联表数据计算，比较其与大小即可判断长时间使用手机与是否得脑瘤有无显著关系.

【详解】（1）第一次训练时所取的球是从6个球（3新，3旧）中不放回取出2个球，所以可取的值为0，1，2..

则分布列如下

则期望为；

（2）由题目条件可得列联表如下：

则=，故长时间使用手机与是否得脑瘤没有显著关系.

20．(1)

(2)

(3)可能是直角三角形，理由见解析

【分析】（1）由椭圆的焦点坐标以及，可得的值，从而得到半椭圆方程；

（2）设，分为三种情况分别表示出的周长，得到关于的函数，从而得到周长的取值范围；

（3）分情况讨论可知不可能是直角；设，则，可得，从而，①若在半椭圆上，得，令，结合零点存在定理求解；②若在圆弧上，得，令，利用导数求解，综合可得结论.

【详解】（1）由，令，可得以及，

再由椭圆的方程及题意可得，

由，可得，

由可得，则，所以，

所以“曲圆”中的半椭圆的方程为.

（2）由（1）知，“曲圆”的方程为：，，

可得，为椭圆的左焦点，圆的半径，

设的周长为，

当时，在圆上，在椭圆上，，

；

当时，P、Q都在椭圆上，，

，

当时，在圆上，在椭圆上，，

；

综上，的周长的取值范围为：．

（3）若都在半椭圆上，则都在轴右侧，也在的下方，，

当直线是时，显然不可能是直角三角形，

当直线不是时，设直线与“曲圆”相交于，

若中有一点在圆弧上，另一点在半椭圆上（圆内），过圆心，

不可能是直角；

设，则，

则，，

即，，从而，

①若在半椭圆上，

则，即，

令，

，且函数在上的图象连续不断，

函数在上至少有一个零点，此时.

②若在圆弧上，

直线的斜率时，，则，

于是，即，

令，

在上严格递增，

在上无解.

综上，当都在半椭圆上时，可能是以或为直角的直角三角形.

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的存在性问题一般分为探究条件、探究结论两种．若探究条件，则可先假设条件成立，在验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，在对其表达式解析讨论，往往涉及对参数的讨论．解决此类问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为假设满足条件的元素存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素存在；否则，元素不存在．反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法．

21．(1)

(2)1

(3)

【分析】（1）求出函数的导数，计算，的值，利用直线的点斜式方程求出切线方程；

（2）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，得到关于的不等式，解出即可求出答案；

（3）根据条件进行恒等转化，构造函数，问题转化为在上恒成立，利用不等式的性质求出范围即可.

【详解】（1）当时，，

∴，，，

∴在处的切线方程为.

（2）函数的定义域为，

当时，.

令，解得或.

①当，即时，在上单调递增.

所以在上的最小值为，符合题意；

②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，

所以在上的最小值为，不符合题意；

当，即，在上单调递增，

所以在上的最小值为，不符合题意；

综上，实数a的取值范围是.

故的最小值为1.

（3）设，则，

因为，

所以对任意，，，且恒成立，

等价于在上单调递增.而，

当时，，此时在单调递增；

当时，只需在恒成立，

因为，只要，则需要，

对于函数，过定点，对称轴

只需，即，

综上可得：.

【点睛】（1）经过函数上的一点求切线方程的方法：对函数进行求导，得到导函数，求出在此点出的切线斜率，利用直线的点斜式方程，求出切线方程即可;

（2）若已知含参函数最值，求按参数的取值范围或参数的最值时，通常要对函数进行求导，研究导数的正负，进而得到原函数的单调性，导数里含有参数，根据导数的具体形式对参数进行分类讨论，结合条件得出结果；

（3）不等式抓化为函数值的比较，通常需要构造函数，如出现题中的不等式形式，需要构造，研究函数单调性，转化为导数在的恒成立问题.