2023年高考押题预测卷02【全国甲卷理科】（全解全析）A4

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2023年高考押题预测卷02【全国甲卷】

数  学（理科）

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则　　

A．  B．  C．，或  D．，或

【答案】.C

【解析】：，所以，，或．故选：．

2.在复平面内，已知复数对应的向量为，现将向量绕点逆时针旋转90°，并将其长度变为原来的2倍得到向量，设对应的复数为，则（    ）

A.  B.  C. 2 D.

【答案】 A

【解析】依题意，，将向量绕点逆时针旋转90°所得向量坐标为，，

则有，解得，因此，即，

所以.故选：A

3.转子发动机采用三角转子旋转运动来控制压缩和排放．如图，三角转子的外形是有三条侧棱的曲面棱柱，且侧棱垂直于底面，底面是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆构成的曲面三角形，正三角形的顶点称为曲面三角形的顶点，侧棱长为曲面棱柱的高，记该曲面棱柱的底面积为，高为，已知曲面棱柱的体积，若，，则曲面棱柱的体积为　　

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】：扇形的面积，，

则底面积，所以曲面棱柱的体积，故选：

4.如图是国家统计局于2020年1月9日发布的2018年12月到2019年12月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图．（注：同比是指本期与同期作对比；环比是指本期与上期作对比．如：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比）根据该折线图，下列结论错误的是　　

A．2019年12月份，全国居民消费价格环比持平 

B．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比均上涨 

C．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比均上涨 

D．2018年11月的全国居民消费价格高于2017年12月的全国居民消费价格

【答案】B

【解析】：对于选项，从同比来看，同比均为正数，即同比均上涨，故正确，

对于选项，从环比来看，2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比图象有升有降，即环比有涨有跌，故错误，

对于选项，从环比同比来看，2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比均上涨，故正确，

对于选项，设2018年12月，2018年11月，2017年12月的全国居民消费价格分别为，，，由题意可得，，则，故正确，故选：．

5.已知直线和平面所成的角为，则直线和平面内任意直线所成的角的取值范围为　　

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】：已知直线和平面所成的角为，根据线面角的定义，线面角是平面外的直线与平面内所有直线所成角中最小的角，故与内直线所成角的最小值为，当在内的射影与平面内的直线垂直时，与之所成的角为，故与内直线所成角的范围为．故选：．

6.在如图所示的程序框图中，若输入的a，b，c分别为，，，执行该程序框图，输出的结果用原来数据表示为（    ）

A. b，a，c B. a，b，c 

C. c，b，a D. c，a，b

 【答案】A

【解析】由程序框图可知，该程序的功能为从大到小输出原来输入的数据，

 ，，

即，所以，则输出的结果用原来数据表示为b，a，c.

故选∶A．

7.中同传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互变化、对称统一的形式美、和谐美．已知其图象能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”，则下列函数中一定不是圆的“优美函数”的为　　

A．       B． 

C．       D．

【答案】C

【解析】根据优美函数的定义可知，优美函数的图像过坐标原点，图像关于坐标原点对称，是奇函数，对于，是奇函数并且经过坐标原点，选项是优美函数；

对于，是奇函数并且经过坐标原点，选项是优美函数；

对于，的定义域为，所以图像不经过坐标原点，选项不是优美函数；

对于，，是奇函数，并且经过坐标原点，选项是优美函数；故选：．

8.下如图是世界最高桥——贵州北盘江斜拉桥.下如图是根据下如图作的简易侧视图（为便于计算，侧视图与实物有区别）.在侧视图中，斜拉杆PA，PB，PC，PD的一端P在垂直于水平面的塔柱上，另一端A，B，C，D与塔柱上的点O都在桥面同一侧的水平直线上.已知，，，.根据物理学知识得，则（    ）

A. 28m B. 20m C. 31m D. 22m

8. 【答案】D

【解析】因为，所以，因为，所以∽，

所以，所以，因为，，

所以，设，分别为的中点，因为，

所以，所以为的中点，

因为，，所以，所以，

所以，所以；故选：D

9.某舞台灯光设备有一种25头矩阵灯（如图所示），其中有2头灯出现故障，假设每头灯出现故障都是等可能的，则这2头故障灯相邻（横向相邻或纵向相邻）的概率为　　

A． B． 

C． D．

【答案】A

【解析】：每列相邻的灯共4对，共有5列，故横向相邻有种；同理纵向相邻也有20种，所以这2头故障灯相邻的概率为．故选：．

10.在四棱锥中，底面为梯形，平面底面，，，，，则四棱锥外接球的表面积为　　

A． B． C． D．

【答案】D【解析】：取，的中点，，易得，

底面为梯形，，，，

故是等腰梯形，故底面的外接圆的圆心在上，记为，

设，可得，解得，

连接，可得的外接圆的圆心在上，记为，易得，

设，，解得，

过作平面的垂线，过作平面的垂线，两垂线交于，

则为外接球的球心，由平面底面，

可得为矩形，可得外接球半径，

四棱锥外接球的表面积为．故选：．

11.设双曲线的右焦点为，，若直线与的右支交于，两点，且为的重心，则直线斜率的取值范围为　　

A． B． 

C． D．

【答案】C

【解析】设为的中点，为的重心，，又，

从而可得，，又直线与的右支交于，两点，

，，

经检验知：当离心率时，，，，四点共线，，

又根据点差法易得，又，

，又，

，，，故选：．

12.若存在，使得关于的不等式成立，则实数的最小值为（    ）

A. 2 B.  C.  D.

【答案】D  【解析】由两边取对数可得①，

令则，因为，所以，

则①可转化得，因为，

因为存在，使得关于的不等式成立，

所以存在，成立，故求的最小值即可，

令

，

令

，

令，

，

所以在上单调递减，所以，

，所以在上单调递减，

所以

在上单调递减，，

，所以实数的最小值为故选：D

【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.在平面直角坐标系中，角是以为顶点，轴为始边，若角的终边过点，求　　．

【答案】

【解析】角的终边过点，则，，

．故答案为：．

14.已知，则　  　．

【答案】30.

【解析】：因为，

所以是含项的系数，若从10个式子中取出0个，

则需要从中取出3个，7个1，则得到的项为，

若从10个式子中取出1个，

则需要从中取出1个，8个1，则得到的项为，

若从10个式子中取出大于或等于2个，则无法得到含的项，

综上：含的项为，则含项的系数为30．故答案为：30．

15.规定：设函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是______．

【答案】

【解析】函数，

当时，，

当时，，

时，，在上单调递增，

则有或，

解得，当时，有解；

或，当时，有解.

实数的取值范围是.故答案为：

16.已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过焦点的直线l与椭圆C相交于两点，椭圆C在两点处的切线交于点P，则点P的横坐标为______，若的垂心为点H，则的最小值是______．

【答案】4；

【解析】由椭圆C：可知，，

设的方程为，设，

则由题意可得切线的方程为，同理切线的方程为，

即，则，

即，所以P点的横坐标为4；

又，

故的垂心为点H，则，

故的方程为，的方程为，

将两方程联立解得，即，

故，

当且仅当即时取得等号，

故的最小值为，故答案为：4；

【点睛】关键点睛：求解的最小值时，要求出的坐标，利用两点间距离公式表示出，结合基本不等式求得最值，关键是利用椭圆的切线方程，联立求出P点坐标.

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（12分）已知公差为正数的等差数列中，，，构成等比数列，是其前项和，满足.

（1）求数列的通项公式及前项和； （2）若_________，求数列的前项和.

在①，②，③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】（1），    （2）答案见解析

【分析】（1）由题知，进而结合等差数列通项公式解方程即可得，，再求解通项公式与前项和；

（2）选①：结合（1）得，进而根据分组求和的方法求解即可；

选②：结合（1）得，进而结合裂项求和的方法求解即可；

选③：结合（1）得，再根据错位相减法求解即可；

【解析】(1)设等差数列的公差为，

依题意可得，则

解得，，所以，数列的通项公式为.

;综上： 

(2)选①

由（1）可知： 

∴

∵

∴

选②;由（1）可知：

∴

∵

选③;由（1）可知：，∴

∵

则

于是得

两式相减得，

所以.

18. （12分） 2020年，是人类首次成功从北坡登顶珠峰60周年，也是中国首次精确测定并公布珠峰高程的45周年.华为帮助中国移动开通珠峰峰顶5G，有助于测量信号的实时开通，为珠峰高程测量提供通信保障，也验证了超高海拔地区5G信号覆盖的可能性，在持续高风速下5G信号的稳定性，在条件恶劣地区通过简易设备传输视频信号的可能性.正如任总在一次采访中所说：“华为公司价值体系的理想是为人类服务.”有人曾问，在珠峰开通5G的意义在哪里？“我认为它是科学技术的一次珠峰登顶，告诉全世界，华为5G、中国5G的底气来自哪里.现在，5G的到来给人们的生活带来更加颠覆性的变革，某IT公司基于领先技术的支持，5G经济收入在短期内逐月攀升，该IT公司在1月份至6月份的5G经济收入y（单位：百万元）关于月份x的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图.

（1）根据散点图判断，与（a，b，c，d均为常数）哪一个更适宜作为5G经济收入y关于月份x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（2）根据（1）的结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程，并预测该公司7月份的5G经济收入.（结果保留小数点后两位）

（3）从前6个月的收入中抽取2个，记收入超过20百万元的个数为X，求X的分布列和数学期望.参考数据：

其中，设（i=1，2，3，4，5，6）.

参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（，）（i=1，2，3，…，n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.

【答案】（1）更适宜    （2），65.35百万元    （3）分布列见解析，1

【分析】（1）根据散点图确定正确答案.

（2）根据非线性回归的知识求得回归方程并求得预测值.

（3）利用超几何分布的知识求得分布列并求得数学期望.

【解析】(1)根据散点图判断，更适宜作为5G经济收入y关于月份x的回归方程类型；

(2)因为，所以两边同时取常用对数，得，设，所以，因为，所以

所以.

所以，即，所以.

令，得，

故预测该公司7月份的5G经济收入大约为65.35百万元.

(3)前6个月的收入中，收入超过20百万元的有3个，所以X的取值为0，1，2，

所以X的分布列为：

所以.

19.（12分）如图1，在直角梯形ABCD中，，，，E为AC的中点，将沿折起（如图2）．在图2所示的几何体D-ABC中：

（1）若AD⊥BC，求证：DE⊥平面ABC；

（2）若BD与平面ACD所成的角为60°，求二面角D-AC-B的余弦值．

【答案】（1）证明见解析    （2）或

【分析】（1）根据线线垂直可得线面垂直，由线面垂直的性质又可得线线垂直，即可由线面垂直的判定定理求证,

（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求解可得平面的法向量,由两个平面法向量的夹角,结合图形特征即可求解二面角大小.

【解析】(1)由已知，为等腰直角三角形，E为AC的中点，可得，

中，，，，所以由余弦定理得，

因为，所以AC⊥BC，

又因为AD⊥BC，，平面ADC,所以BC⊥平面ADC，

又平面ADC，所以，又，，

平面,所以平面．

(2)如图过C点作平面ABC的垂线CP，以C为原点，

分别以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系C-xyz，

则，设，其中，

则，，，

设平面ACD的一个法向量为，

则即可得，

由题意，解得或，

易知平面ABC的一个法向量为，

当时，，，

由图可知二面角D-AC-B为锐角，故二面角D-AC-B的余弦值为，

当时，，，

由图可知二面角D-AC-B为锐角，所以二面角D-AC-B的余弦值为，

综上，二面角的余弦值为或．

20.（12分） 已知抛物线，为坐标原点，焦点在直线上．

（1）求抛物线的标准方程；

（2）过点作动直线与抛物线交于，两点，直线，分别与圆交于点，两点（异于点），设直线，斜率分别为，．

①求证：为定值；  ②求证：直线恒过定点．

【答案】（1）；  （2）

【解析】（1）解：易知直线与轴交于，

所以，，抛物线方程为．

（2）①设直线方程为，，，

联立方程组得，

所以，．

②设直线方程为，，

联立方程组得，

所以，，

整理得，，所以直线过定点．

21. （12）已知函数．

（1）当时，求函数在区间上的值域；

（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围，并求的值．

【答案】（1）    （2），

【分析】（1）将代入，得出时，，即在区间上单调递增，即可求出值域；

（2）先求出，当时，，在单调递增，不合题意舍去；当时，令，则，设，再判断的单调性，得出时符合题意，即可求出实数的取值范围；由和即可得出的值．

【解析】（1）当时，，其中，

则，

所以在上单调递增，

所以．

（2），其中，

当时，显然，所以在上单调递增，至多有1个零点，不合题意舍去；

当时，令，则，

设，其中，

则，

当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增，

所以，

所以当时，有2个零点，

当时，，在单调递增，显然不合题意，

所以有三个零点时，的取值范围是；

又因为，

所以，又，，

所以，所以，故．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

（2）P为l上一点，过P作曲线C的两条切线，切点分别为A，B，若，求点P横坐标的取值范围．

【答案】（1）；    （2）

【分析】（1）把曲线C的方程两边平方相加可求曲线C的普通方程,利用两角和的余弦公式可求直线l的直角坐标方程;

（2）设，由题意可得，计算可求点P横坐标的取值范围.

【解析】（1）由曲线的参数方程为（为参数），

可得

由,得

,即,

曲线的普通方程为,直线的直角坐标方程为

（2）设,连接，易得，

若,则，

在中，，

,

,两边平方得,

解得,点横坐标的取值范围为

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若且满足，记是的最大值，证明：.

【答案】（1）；    （2）证明见解析.

【分析】（1）根据给定条件，分段解含绝对值符号的不等式作答.

（2）利用（1）中信息，借助函数单调性求出c，再利用作差法结合均值不等式推理作答.

【解析】（1）依题意，，于是不等式化为：

或或，解得，

所以不等式的解集.

（2）由（1）可知：函数在上单调递增，在上单调递减，，即，

由得，即，

于是

，当且仅当，即时取等号，

所以