上海市青浦高级中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题

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青浦高级中学2022学年第二学期高二年级数学期中                   2023.4一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，共54分）1．等差数列首项为2，公差为2，则等差数列的通项公式为______2．两数1与4的等比中项为______3．将循环小数化为分数：______（循环节为23）4．无论我们对函数求多少次导数，结果仍然是它本身；这就像我们在生活中无论遇到多少艰难险阻，都要不忘初心，坚持自我，按照自己制定的目标，奋勇前行！已知函数，则它的导函数______5．函数，则______6．函数在处的切线方程为______7．二项式的展开式中，所有的系数之和为______8．某同学有4本相同的小说书，1本散文书。从中取出4本书送给4个朋友，每人1本，则不同的赠法有______种9．数列满足：，，且（，），则该数列前100项和______10．星期一小明在参加数学期中考试，那么再过天后是星期______（填一、二、三、四、五、六、日）11．的展开式中，含有的项为______  12．某数学兴趣小组在阅读了《选择性必修第一册》中数列的课后阅读之后，对斐波那契数列产生了浓厚的兴趣。书上说，斐波那契数列满足：，；的通项公式为；在自然界，兔子的数量，树木枝条的数量等都符合斐波那契数列。该学习兴趣小组成员也提出了一些结论：①数列是严格增数列  ②数列的前n项和满足③   ④那么以上结论正确的是______（填序号）二、选择题（13，14题每题4分，15，16题每题5分，共18分）13．5个人排一排，甲乙不相邻，不同的排法有（    ）A．144种 B．72种 C．36种 D．18种14．二项式的展开式中，有理项有（    ）项A．5 B．6 C．7 D．815．对于以下结论：①若公比，那么等比数列前n项和存在极限②为数列最大的项，那么对任意的n（，，）都成立③函数的导数为，若，那么为函数的极值点④函数的导数为，若恒成立，那么是严格增函数正确的有（    ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个  16．设函数，在R上的导函数存在，且恒成立，则当时，下列不等式中一定成立的是（    ）A．                     B．C． D．三、解答题（14+14+14+18+18，共78分）17．（本题满分14分）（1）已知等比数列首项为，公比为q（），前n项和为，请推导等比数列的求和公式：（2）已知等差数列前n项和为，满足，，求的通项公式  18．（本题满分14分）已知二项式（，）的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是．（1）求展开式中含的项（2）求系数最大的项   19．（本题满分14分）某工厂每天生产某种产品最多不超过40件，产品的正品率P与日产量x（，）件之间的关系为，每生产一件正品盈利4000元，每出现一件次品亏损2000元。（注：正品率产品中的正品件数产品总件数）（1）将日利润y（元）表示成日产量x（件）的函数（2）该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值   20．（本题满分18分）已知数列满足，．（1）求，（2）求数列的通项公式（3）如果数列满足，，若对，恒成立，求的最小值    21．（本题满分18分）已知函数（1）当时，求的最大值（2）讨论函数的单调性（3）对任意的，都有成立，求实数a的取值范围     
参考答案一、填空题1.;      2.;     3.;     4.;      5.;     6.;    7.;       8.5;       9.;   10.；   11.195     12.①②③12．某数学兴趣小组在阅读了《选择性必修第一册》中数列的课后阅读之后，对斐波那契数列产生了浓厚的兴趣。书上说，斐波那契数列满足：，；的通项公式为；在自然界，兔子的数量，树木枝条的数量等都符合斐波那契数列。该学习兴趣小组成员也提出了一些结论：①数列是严格增数列  ②数列的前n项和满足③   ④那么以上结论正确的是______（填序号）【答案】【解析】二、选择题13.B         14.C         15. A         16.C16．设函数，在R上的导函数存在，且恒成立，则当时，下列不等式中一定成立的是（    ）A．                     B．C． D．【答案】C【解析】,即故选C.三．解答题17.（1）错位相减法，证明略 （2）18.（1）    （2）19.（1）    (2)20．（本题满分18分）已知数列满足，．（1）求，（2）求数列的通项公式（3）如果数列满足，，若对，恒成立，求的最小值【答案】（1）    （2）      （3）的最小值【解析】（1）  （2）  （3）由（2）知当n为奇数时，当n为偶数时，综上，的最大值和最小值分别为，函数在上单调递增∴ 21．（本题满分18分）已知函数（1）当时，求的最大值（2）讨论函数的单调性（3）对任意的，都有成立，求实数a的取值范围【答案】（1）函数;（2）当严格递增；当严格递增；严格递减；     （3）实数的取值范围是.【解析】(1)将代入函数中,,由,所以,当时,,所以函数在上单调递增;当时,,所以函数在上单调递减;故函数;(3)任意都有成立,即,即,令,,令,,则在上恒成立,即在上单调递增.又故在内有零点,设零点为,当时,,当时,,所以,则所以,设,所以在单调递增,），即,所以,所以,所以，即实数的取值范围是.