2023年高考押题预测卷数学03（乙卷文科）（全解全析）

2023年高考押题预测卷03

文科数学·全解全析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1．已知集合，则下列Venn图中阴影部分可以表示集合的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据一元二次不等式的解法，结合四个选项的Venn图逐一判断即可.

【详解】，

选项A中Venn图中阴影部分表示，不符合题意；

选项B中Venn图中阴影部分表示，符合题意；

选项C中Venn图中阴影部分表示，不符合题意；

选项D中Venn图中阴影部分表示，不符合题意，

故选：B

2．若，则（    ）

A．5 B． C． D．3

【答案】B

【分析】由题意求，进而可求其模长.

【详解】∵，则，

则.

故选：B.

3．已知命题，有成立；命题 “”是“”的充要条件，则下列命题中为真命题的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先分别判断命题的真假，再根据复合命题真假的判断方法即可得解.

【详解】当时，，所以命题p是真命题，则为假命题，

由，得或，

所以“”是“”的充分不必要条件，故命题q是假命题，则为真命题，

所以，为假命题，，真命题，则为假命题.

故选：C．

4．将的图象向左平移个单位，所得图象与的图象关于轴对称，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】首先求出与关于轴对称的解析式，然后一一分析选项即可.

【详解】与关于轴对称的三角函数为，

对A，平移后的解析式为，不合题意，舍去；

对B，平移后的解析式为，符合题意，

对C，平移后的解析式为，不合题意，舍去；

对D，平移后的解析式为，不合题意，舍去；

故选：B.

5．已知变量x，y满足，则的最大值是（    ）

A．4 B．6 C．8 D．12

【答案】A

【分析】作出不等式组表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义求出最大值作答.

【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影四边形（含边界），，

目标函数，即表示斜率为，纵截距为的平行直线系，

画直线，平移直线到直线，当直线过点时，直线的纵截距最小，最大，即，

所以的最大值为4.

故选：A

6．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据三角恒等变换运算求解.

【详解】由题意可得：，

则.

故选：B.

7．随机郑两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和除以4，余数分别为，所对应的概率分别为，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】用表格列举出所有可能的余数情况，并确定余数为对应概率，即可得结果.

【详解】由题设，两枚骰子所得点数和除以4的余数情况如下：

由上表知：共36种情况，其中余数为分别有9种、8种、9种、10种，

所以.

故选：A

8．函数的部分图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先判断的奇偶性，再根据时的函数值的符号判断图象.

【详解】因为，，

所以，故函数的为奇函数，排除BD；

又 所以，故A错误.

故选：C

9．在正四棱柱中，，，为中点，为正四棱柱表面上一点，且，则点的轨迹的长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据给定的条件，结合正四棱柱的结构特征，作出过点垂直于的正四棱柱的截面即可计算作答.

【详解】在正四棱柱中，连接，如图，，平面，

因为平面，则，又平面，

，则平面，又平面，则，

取中点，连接，在平面内过作，交于，显然，

而平面，则平面，有，

又平面，，于是平面，而平面，因此，

因为平面，，从而平面，

连接，则点的轨迹为平面与四棱柱的交线，即，

因为，即有，又，

于是，有，，

所以点的轨迹长为.

故选：A

【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.

10．已知是定义域为的函数，为奇函数，为偶函数，则有①为奇函数，②关于对称，③关于点对称，④，则上述推断正确的是（    ）

A．②③ B．①④ C．②③④ D．①②④

【答案】D

【分析】解：（法一）根据为奇函数，得到关于对称，再由是上的奇函数，得到过，然后由为偶函数，得到关于对称，再结合推出的周期为4即可.（法二）举例判断；

【详解】解：（法一）因为为奇函数，所以关于对称，

又是上的奇函数，过，点，所以过，所以有；

又为偶函数，所以，所以关于对称；所以有，

又，所以，所以周期为4，

所以由，得，所以为奇函数，所以①②④正确.

（法二）举例：符合题意，再验证得到①②④正确.

故选：D.

11．已知椭圆，点是上任意一点，若圆上存在点、，使得，则的离心率的取值范围是(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】连接，设直线、分别与圆切于点A、B，，根据题意得到，在直角三角形中，利用正弦函数的定义得到，再结合，得到的离心率的取值范围．

【详解】连接，当不为椭圆的上、下顶点时，设直线、分别与圆切于点A、B，，

∵存在、使得，∴，即，

又，∴，

连接，则，∴．

又是上任意一点，则，

又，∴，

则由，得，

又，∴．

故选：C．

12．设偶函数在上的导函数为，当时，有，则下列结论一定正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】将变形为，从而可构造函数，判断其单调性以及奇偶性，由此代入数值，一一判断各选项，即可得答案.

【详解】当时，有，即，

令，则，

即在上单调递增，

又为偶函数，则，即为偶函数，

故，即，

即，故A错误，C正确；

由，即，即，B错误；

而，故，则不一定成立，D错误，

故选：C

【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于要能根据已知不等式的结构特征，进行变形，从而构造出函数，进而判断其单调性，即可解决问题.

  第Ⅱ卷

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．若，是夹角为的两个单位向量，则与的夹角大小为______．

【答案】

【分析】先求，再求，利用夹角公式可得答案.

【详解】因为，是夹角为的两个单位向量，

所以

，

，所以；

，所以.

所以，

因为，所以.

故答案为：.

14．如图，分别是双曲线的右顶点和右焦点，过作双曲线的同一条渐近线的垂线，垂足分别为为坐标原点，若，则的离心率为___________.

【答案】

【分析】可分别求出右顶点和右焦点到渐近线的距离分别为和，再利用面积比可得，由三角形相似以及面积比等于相似比的平方即可得.

【详解】由题意可知，不妨取渐近线方程，

则点到渐近线的距离为，

点到渐近线的距离为，

又因为，所以，且易知，

所以，即可得，

所以离心率.

故答案为：

15．在中，若的面积为2，则___________

【答案】

【分析】由条件将切化为弦，结合正弦的和角公式、辅助角公式先求出角，由面积公式可得答案

【详解】解：在中，，则,

所以，可得，

所以

所以

可得，

由正弦定理可得，可得，

又因为，

所以，

又因为，

所以，

又则

所以或解得或(舍去)

所，解得．

故答案为：．

16．如图，直角三角形中，斜边边上的垂直平分线交于，交于，现沿折成一个三视图如下的四棱锥，则在四棱锥中，给出下列判断：

①；②平面平面；

③；

④四棱锥的外接球表面积为.

其中正确的判断有______.

【答案】①②④

【分析】由三视图可知，平面；根据线面垂直判定定理，可证明平面，所以②正确；由四棱锥的体积公式计算可知③错；四棱锥的外接球等价于以、、为棱的长方体的外接球，可找到半径计算球的表面积，④正确.

【详解】由三视图可知平面，所以又所以平面，可证所以①正确；由三视图可知，所以，，所以平面，所以②正确；所以③错；四棱锥的外接球等价于以、、为棱的长方体的外接球，可得：，∴，从而，所以④正确.

故答案为①②④.

【点睛】本题考查由三视图还原几何体，考查线线垂直、面面垂直的证明，考查几何体体积公式和外接球的表面积，考察了学生的空间想象能力，属于中档题.

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

 17．一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了7组观测数据如下表所示：

(1)画出散点图，根据散点图判断与哪一个适宜作为产卵数y关于温度x的回归方程类型（给出判断即可､不必说明理由）；

(2)根据（1）的判断结果及表中数据.建立关于的回归方程.

（附：可能用到的公式，可能用到的数据如下表所示：

（对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.）

【答案】(1)散点图答案见解析，

(2)

【分析】（1）按照表格作图即可，并根据散点图判定回归方程类型；

（2）令，先建立关于的线性回归方程，根据线性回归方程的计算公式结合数据，得出，从而得出结果.

【详解】（1）散点图如图所示，

.

根据散点图可以判断，适宜作为产卵数关于温度的回归方程类型.

（2）令，先建立关于的线性回归方程，由数据得

.

所以关于的线性回归方程为

因此，关于的回归方程为.

18．如图2，在三棱锥中，为的中点．

(1)证明：平面；

(2)若点在上且，求点到平面的距离．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）在，由等腰三角形的性质可得，在中利用勾股定理的逆定理可得，求出，再利用勾股定理的逆定理可得，然后利用线面垂直的判定定理可证得结论；

（2）求出的面积，则可求出三棱锥的体积，再由可求出，设点到平面的距离为，然后利用等体积法可求得结果.

【详解】（1）证明：在中，为的中点．

则中线，且；

在中，，

所以，所以；

因为，为的中点，

所以且；

所以，

所以，

因为，平面，

所以平面．

.

（2）解：由题可得，则，

所以．

又由（1）知平面，

所以．

又，则，

由得：，

设点到平面的距离为，则，

解得，

即点到平面的距离为．

19．已知等差数列与等比数列满足 ， ， ，且既是和的等差中项，又是其等比中项.

(1)求数列和的通项公式；

(2)令，求证：.

【答案】(1)；

(2)证明见解析

【分析】（1）由已知可求得，得出的通项公式.根据等差中项和等比中项的性质，得出关于方程组，求解方程组即可得出的值，得出，代入即可得出的通项公式；

（2）由（1）及不等式的性质，可推出，然后根据等比数列的前项和，即可得出答案.

【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.

由已知可得，

所以，，

所以.

因为既是和的等差中项，又是其等比中项，

即，

代入已知整理可得，

解得，即，

所以..

（2）由（1）可知，，

所以.

因为，故．

20．设抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，（其中O为坐标原点）的面积为4．

(1)求a；

(2)若直线l与抛物线C交于异于点P的A，B两点，且直线PA，PB的斜率之和为，证明：直线l过定点，并求出此定点坐标．

【答案】(1)；

(2)证明见解析，定点．

【分析】（1）利用题给条件列出关于a的方程，解之即可求得a的值；

（2）先设出直线l的方程，并与抛物线方程联立，利用设而不求的方法求得的关系，进而求得直线l过定点的坐标．

【详解】（1）因为点在抛物线C上，所以，即，

因为的面积为4，所以，解得，所以．

（2）由（1）得，．

当直线l斜率为0时，不适合题意；

当直线l斜率不为0时，设直线，设，，

由，得，

则，，，

因为直线PA，PB的斜率之和为，

所以，即，

所以，.

所以

，整理得，

所以直线，

令，解之得，所以直线l过定点．

21．设函数．（其中为自然对数的底数）

(1)若，求在处的切线方程；

(2)证明：，当时，．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）利用导数求曲线在处的切线方程；

（2）利用参数放缩将不等式转化为，构造函数利用导数证明此不等式即可.

【详解】（1）由已知得当时，，

，且．

由点斜式得，

，

在处切线方程为

（2）证明：由题可得：，则．

令，则．令，得，

当时，单调递增；当时，单调递减．

所以，即，当且仅当时等号成立．

所以要证，则证：．

令函数，则，

令函数，则，令，则．

当时，单调递增，当时，单调递减．

又，

故存在唯一使得，

当时，，即单调递增，

当时，，即单调递减．又，

故此时恒成立，即不等式得证，则原不等式得证．

【点睛】结论点睛：常用函数不等式：

①，其加强不等式；

②，其加强不等式.

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为，直线l的普通方程为．

(1)将C的极坐标方程化为参数方程；

(2)设点A的直角坐标为，M为C上的动点，点P满足，写出P的轨迹的参数方程并判断与l的位置关系．

【答案】(1)其中为参数

(2)其中为参数,与l相离．

【分析】（1）根据极坐标方程转化为直角坐标方程再转化为参数方程即可；（2）根据参数方程和向量的坐标形式转化关系，以及参数方程转化为直角坐标方程和直线与圆的位置关系即可求解.

【详解】（1）因为，所以，

所以，

整理得，

曲线C的直角坐标方程为，

所以其中为参数．

则对应的参数方程为其中为参数．

（2）由（1）参数方程可设，

则由，

得其中为参数．

对应的直角坐标方程为，

圆心到l距离，则与l相离．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

23．已知、、均为正实数，且.

(1)证明：；

(2)比较与的大小．

【答案】(1)证明见解析

(2)答案见解析

【分析】（1）利用柯西不等式可证得结论成立；

（2）由题中条件可得出，利用作差法结合基本不等式可得出与的大小．

【详解】（1）证明：由柯西不等式有，

当且仅当时，等号成立，

故.

（2）解： ，所以，，

所以，

，

若第一个等号成立，即，即时，

第二个等号若要成立，则要满足，此时，故等式可成立．

所以，，当且仅当时，等号成立.