数学-2023年高考押题预测卷01（北京专用）（全解全析）

这是一份数学-2023年高考押题预测卷01（北京专用）（全解全析），共18页。试卷主要包含了设集合，，则，设，则，化简结果为，阿波罗尼斯证明过这样一个命题，下列四个结论等内容，欢迎下载使用。
2023年高考押题预测卷01【北京专用】数学•全解全析一、   单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合，，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】求解分式不等式的解集，再由补集的定义求解出，再由交集的定义去求解得答案.【详解】或，所以，所以得.故选：D2．设，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据共轭复数的定义以及复数的模直接运算即可．【详解】解：∵，∴，∴，故选：B．【点睛】本题主要考查共轭复数和复数的模，属于基础题．3．化简结果为（    ）A．a B．b C． D．【答案】A【分析】根据实数指数幂的运算法则运算，即可求解.【详解】根据实数指数幂的运算公式，可得：.故选：A.4．在的二项展开式中，奇数项的系数之和为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】写出展开式通项，即可求得展开式中所有奇数项的系数之和.【详解】的展开式通项为，因此，展开式中所有奇数项的系数和为.故选：D.5．《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，记该女子一月中的第天所织布的尺数为，则的值为（   ）A．55 B．52 C．39 D．26【答案】B【分析】将每天织的布构成一个等差数列，根据条件求出公差，将要求的转化为公差与首项来求，即可得出答案．【详解】因为从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，所以该女子每天织的布构成一个等差数列 ，其中 ．所以 ．故选：B．6．阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(且)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点、间的距离为，动点与、距离之比为，当、、不共线时，面积的最大值是（    ）.A． B． C． D．【答案】D【分析】以经过、的直线为轴，线段的垂直平分线为轴建系，利用求出圆的方程，可得圆的半径，进而可求出三角形面积的最大值.【详解】如图，以经过、的直线为轴，线段的垂直平分线为轴建系，如图：则、，设，∵，∴，两边平方并整理得：，所以圆的半径为，∴面积的最大值是.故选：D．7．下列四个结论：①命题“若是周期函数，则是三角函数”的否命题是“若是周期函数，则不是三角函数”；②命题“”的否定是“”；③在中，“”是“”的充要条件；④当时，幂函数在区间上单调递减.其中正确命题的个数是A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【详解】试题分析：由题意得①命题“若是周期函数，则是三角函数”的否命题是“若不是是周期函数，则不是三角函数”，所以是错误的；②中，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“”的否定是“”，是正确的；③在中，由正弦定理得“”则，所以是正确的；④当时，根据幂函数的性质，幂函数在区间上单调递减，是正确的，故选C．考点：命题的真假判定．8．已知，其中，，，， ，将的图象向左平移个单位得，则的单调递减区间是A． B．C． D．【答案】A【详解】因为，所以函数在处取得极值，也就是在处取得最大值或最小值，因为，所以，又 ，所以对称轴为，所以，因为，所以，所以的图象向左平移个单位得=，令，故选A9．已知函数，函数与的图像关于直线对称，则的解集为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据对称性先求出 的解析式，再根据单调性和一元二次不等式的解法求解不等式 .【详解】由于 与 关于 对称，所以 是 的反函数，即 ， ，原不等式即为 ，令 ，则 ，得 或（舍） ， ；故选：B.10．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，下图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形，设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（    ）A．24 B． C． D．【答案】B【分析】以为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，由圆方程设，写出向量的坐标，由数量积的坐标表示求出数量积，利用三角函数知识得最大值．【详解】骑行过程中，相对不动，只有点绕点做圆周运动．如图，以为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，由题意，，，圆方程为，设，则，，，易知当时，取得最大值．故选：B．二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11．若，，，则下列不等式对一切满足条件的，恒成立的是______ （写出所有正确不等式的编号）．①；②；③；④．【答案】①③④【分析】由基本不等式判断①；由结合基本不等式判断②；由结合①可判断③；由基本不等式“1”的代换判断④.【详解】因为，，，对于①，，当且仅当时等号成立，，故①正确；对于②，，当且仅当时等号成立，，故②错误；对于③，，当且仅当时等号成立，故③正确；对于④，，当且仅当，即时等号成立，故④正确.故答案为：①③④12．双曲线的一条渐近线方程为，则________.【答案】【详解】试题分析：双曲线的渐近线方程为，故，其中，因此.考点：双曲线的渐近线.13．已知，，且，则向量与向量夹角的大小是______，向量在向量上的投影是______．【答案】          【解析】利用列方程，解方程求得向量与向量夹角；利用向量投影公式计算出向量在向量上的投影.【详解】设向量与向量夹角为，由，得，则，则，得，则．那么在上的投影是．故答案为：(1).     (2). 【点睛】本小题主要考查向量垂直的表示，考查向量夹角的计算，考查向量投影的计算，属于基础题.14．函数，则______，若存在四个不同的实数a，b，c，d，使得，则的取值范围为______.【答案】     1     【分析】代值计算即可，画出函数的图象，根据对称性和对数函数的图象和性质即可求出．【详解】，，，画出的图象，如图所示，,不妨设，，，，关于直线对称，则，且，，，故答案为：1，．【点睛】本题考查函数与方程，问题的关键在于找出对称性，利用对称性来解题，属于中档题．15．已知是的前项和，，对于任意，且，的最大值是______．【答案】10【分析】由题意可知，，当时，利用，得出，根据二次函数图象和性质得出的单调性，根据单调性分别求出的最大值和最小值，从而得出取得最大值.【详解】解：即，又当时，，当时，，即，则递减，当时，，即，则递增，当时，，则，则递减，故，若使得对任意，取得最大值，则需且，.故答案为：10.【点睛】本题考查利用单调性求数列前项和的最值问题以及利用分组求和法求出数列前项和，根据是解决本题的关键.三、解答题：共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16．（13分）已知函数.(1)求的最大值和最小值;(2)设,求的对称中心及单调递增区间.【答案】(1);(2)对称中心是.单调递增区间是.【分析】（1）利用二倍角公式将函数化为，令,配方即可求解.（2）利用二倍角公式以及辅助角公式化简函数，然后利用正弦函数的中心对称点以及单调递增区间即可求解.【详解】解:(1)由题意得,令,则,则.所以当时,有;当时,.(2)由题得,从而.由,得.故对称中心是.再由,得.所以单调递增区间是.【点睛】本题考查了二倍角公式、辅助角公式、含有余弦型的三角函数的最值以及三角函数的性质，需熟记公式和性质，属于基础题.17．（14分）如图，四边形是直角梯形，满足平面为的中点，且.(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取的中点，连接，进而证明四边形是平行四边形即可得，再根据判定定理即可证明；（2）以为原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.【详解】（1）证明：取的中点，连接，为的中点，，又∵，，∴四边形是平行四边形，，又∵平面平面，平面.（2）解：由题知，三条直线两两相互垂直，以为原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，，则，故，又，故，则，，设平面的一个法向量为，则,令，可得，易知为平面的一个法向量，，平面与平面夹角的余弦值为.18．（13分）近年来，某市为促进生活垃圾分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾桶.为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾桶中的生活垃圾，总计400吨，数据统计如下表（单位：吨）. 厨余垃圾桶可回收物桶其他垃圾桶厨余垃圾602020可回收物104010其他垃圾3040170(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；(2)若处理1吨厨余垃圾需要5元，处理1吨非厨余垃圾需要8元，请估计处理这400吨垃圾所需要的费用；(3)某社区成立了垃圾分类宣传志愿者小组，有3名女性志愿者，2名男性志愿者，现从这5名志愿者中随机选取3名，利用节假日到街道进行垃圾分类宣传活动（每名志愿者被选到的可能性相同）. 求两名男性志愿者都参加的概率.【答案】(1)(2)2900元(3) 【分析】（1）先利用表格得到厨余垃圾的总量和投入厨余垃圾桶的数量，再估计其概率；（2）先计算垃圾含有厨余垃圾和非厨余垃圾的数量，再求其处理费用；（3）先列举出所有基本事件和两名男性志愿者都参加的基本事件，再利用古典概型的概率公式进行求解.(1)由题表可得厨余垃圾共有60+20+20=100吨，其中投入厨余垃圾桶的有60吨，所以；(2)由题表可得这400吨垃圾含有100吨厨余垃圾和300吨非厨余垃圾，则处理费用为5×100+8×300=2900元，所以估计处理这400吨垃圾需要2900元；(3)用a,b,c表示3名女性志愿者，m,n表示2名男性志愿者，随机选取3人，共有：(a,b,c)、(a,b,m)、(a,b,n)、(a,c,m)、(a,c,n)、(b,c,m)、(b,c,n)、(a,m,n)、(b,m,n)、(c,m,n)这10种，其中两名男性志愿者都参加的有：(a,m,n)、(b,m,n)、(c,m,n)这3种， 所以两名男性志愿者都参加的概率为.19．（15分）在平面直角坐标系xOy中，顺次连接椭圆C：的四个顶点恰好构成一个边长为且面积为4的菱形.（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆D：，M为椭圆C上的任意一点，N为椭圆D上任意一点，且，过点M的直线l(l不与x袖垂直)与椭圆D交于A，B网点，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）最大值为.【分析】（1）根据四个顶点恰好构成一个边长为且面积为4的菱形，由，求解；（2）易知椭圆D的方程为，设，由得到，分别代入椭圆C和椭圆D的方程得到，设，与椭圆D方程联立，结合韦达定理， 得到的面积为，再由，得到的面积为3S.【详解】（1）因为四个顶点恰好构成一个边长为且面积为4的菱形，所以，，，，所以椭圆C的方程为.（2）椭圆D的方程为，设，则又，，即，设，，，代入椭圆D方程得，由，可得，①则有，，所以，由直线与y轴交于，则的面积为，，设，则，将直线代入椭圆C的方程，可得，由可得，②由①②可得，则在递增，即有取得最大值，即有，即，取得最大值，因为，所以的面积为3S，即面积的最大值为.【点睛】方法点睛：1、解决直线与曲线的位置关系的相关问题，往往先把直线方程与曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．2、解决直线与曲线的弦长时，往往设直线与曲线的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (k为直线斜率)．注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于零．20．（15分）若.（1）求在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【分析】（1）先求解在处的切线方程，然后可求它与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）把转化为，然后构造函数，求解函数的最小值即可.【详解】（1），，又，故在处的切线方程为，即，它交两坐标轴于，，所以.（2）先证明，恒成立，设，则，当时，，为减函数；当时，，为增函数；所以，即，恒成立.由题意得对恒成立.设，则 所以.【点睛】本题主要考查导数的几何意义及导数应用，切点处的导数值是切线的斜率，这是求解切线问题的关键；恒成立问题一般是先分离参数，然后构造函数，求解函数的最值即可，适当的放缩能简化解题过程，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.21．（15分）给定数列. 对，该数列前项的最大值记为，后项的最小值记为，.（1）设数列为3,4,7,1. 写出的值；（2）设是公比大于的等比数列，且，证明是等比数列；（3）若，证明是常数列.【答案】（1），，；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）根据的定义，求得的值.（2）根据数列的单调性，确定，根据等比数列的定义，证得是等比数列；（3）先证得后面的项，都不小于，然后证得后面的项，都不大于，由此证得后面的项，和都相等，即证得数列的每一项和都相等，也即证得是常数列.【详解】（1），，（2）因为是公比大于的等比数列，且 所以.所以当时，所以当时，所以是等比数列. （3）因为即，故，使，且对，都有……①.若，则；若，因为，所以，所以对，都有……②.由①②知，对，都有.综上，.因为，所以，所以，所以，使.同上可证.以此类推，由于仅有有限项，所以是常数列.【点睛】本小题主要考查新定义的理解和运用，考查等比数列的定义，考查分析思考与解决问题的能力，综合性很强，属于难题.