数学-2023年高考押题预测卷03（广东卷）（参考答案）

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2023年高考押题预测卷03【广东卷】数学·参考答案123456789101112ADCDDCCBABDBDABABD13．0.6           14．           15．           16．24【解答题评分细则】17．解：（1），，（1分）由余弦定理可得，，（2分）化简得，，（3分）由正弦定理可得，（4分），.（5分）（2）由（1）得 ，.（6分），，（7分），整理得.由基本不等式，，（当且仅当时等号成立），（8分），，外接圆的直径，，（9分）当且仅当时，外接圆的面积取最小值.（10分）18．解：（1）由已知可得，等比数列的前n项和为.则，，.（1分）因为数列是等比数列，应有，解得，.（2分）所以首项，等比数列的通项公式为.（3分）因为，又，所以，，所以.（4分）又，所以数列构成一个首项为1，公差为1的等差数列，所以，则.（5分）当时，，又时也适合上式，所以的通项公式.（6分）（2）由（1）可知，，（7分）所以，.（10分）由，得，得，（11分）故满足的最小正整数为337.（12分）19.解：（1）证明：翻折前，在中，，翻折后，有，，（2分）又，、平面，所以平面，（4分）因为平面，所以.（5分）（2）解：因为二面角为，，，所以，二面角的平面角为，（6分）以点为坐标原点，、所在直线为、轴，过点且垂直于平面的直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，（7分）不妨设，则、、、、.，，，.（8分）设，，其中，设平面的法向量为，（9分）由得，取，可得，（10分），解得，合乎题意，（11分）故当时，直线与平面所成角的正弦值为.（12分）解：（1）记“从10所学校中随机选取3所学校参与“自由式滑雪”都超过40人”为事件A，参与“自由式滑雪”的人数超过40人的学校共4所，随机选择3所学校共种，所以.（4分）（2）的所有可能取值为，（5分）参与“单板滑雪”人数在45人以上的学校共4所，所以，，，，（7分）所以的分布列如下表：所以.（8分）（3）记“小明同学在一轮测试中要想获得优秀”为事件B，则，（9分）由题意，小明同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布，（10分）由题意列式，得，（11分）因为，所以的最小值为，故至少要进行轮测试.（12分）解：（1）由题意，与曲线相切，（1分）消得：有唯一解，（2分）所以得：，（3分）离心率.（4分）（2）由，故点作曲线的切线的斜率为，则，（5分）所以方程为代入中，并整理得，（7分）设，在，（8分）易得的中点，（9分）故中垂线，则点.若，则，即得，（10分）此时（11分）当，即时，存在实数，使得；当，即时，不存在实数，使得.（12分）22．解：（1）当时，，即，等价于即，构建，则，（1分）令，解得；令，解得；则在上单调递减，在上单调递增，（2分）可得，即，当且仅当时，等号成立；可得，则，当且仅当时，即时，等号成立；（3分）可得，则，当且仅当，即时，等号成立；综上所述：.（4分）但等号不同时取到，故，∴，原式得证．（5分）（2）由题意可得：，，设直线l与相切于点，则切线斜率，直线l与相切于点，则切线斜率，（6分）则，整理得，（7分）由题意可得：，消去可得：，（8分）令，则，则，可得，（9分）令，要证两函数有且只有两条公切线，即证在上有且只有两个零点．且，令，则，可得在定义域内单调递增，且，（10分）故在上有唯一零点，且，∴当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，可知的最小值为，（11分）又∵，则，注意到趋近0时，趋近，趋近时，趋近，∴在和上分别存在一个零点，故有且只有两个零点，故原命题得证．（12分）