2023年高考数学考前20天终极冲刺之概率

这是一份2023年高考数学考前20天终极冲刺之概率，共46页。
2023年高考数学考前20天终极冲刺之概率
一．选择题（共8小题）
1．（2023•岳阳模拟）某学校为落实“双减”政策，在课后服务时间开设了“球类”、“棋类”、“书法”、“绘画”“舞踩”等五项活动．若甲同学准备从这五项活动中随机选三项，则“书法”和“绘画”这两项中至多有一项被选中的概率为（　　）
A．0.9 B．0.7 C．0.6 D．0.3
2．（2022秋•南阳期末）5个人排成一列，已知甲排在乙的前面，则甲、乙两人不相邻的概率为（　　）
A． B． C． D．
3．（2023春•齐齐哈尔月考）2022年小李夫妇开设了一家包子店，经统计，发现每天包子的销量X～N（1000，502）（单位：个），估计300天内每天包子的销量约在950到1100个的天数大约为（　　）
（附：若随机变量X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P（u﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973）
A．236 B．246 C．270 D．275
4．（2022秋•营口期末）在射击比赛中，甲乙两人对同一目标各进行一次射击，甲击中目标的概率为，乙击中目标的概率为，在目标被击中的情况下，甲击中目标的概率为（　　）
A． B． C． D．
5．（2022秋•朝阳期末）已知小郭、小张和小陆三名同学同时独立地解答一道概率试题，每人均有的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，小陆同学解答不正确的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．（2022秋•玉溪期末）欧几里得大约生活在公元前330～前275年之间，著有《几何原本》《已知数》《圆锥曲线》《曲面轨迹》等著作．若从上述4部书籍中任意抽取2部，则抽到《几何原本》的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．（2022秋•邢台期末）某学习小组共有11名成员，其中有6名女生，为了解学生的学习状态，随机从这11名成员中抽选2名任小组组长，协助老师了解情况，A表示“抽到的2名成员都是女生”，B表示“抽到的2名成员性别相同”，则P（A|B）＝（　　）
A． B． C． D．
8．（2022秋•辽阳期末）某学习小组共有10名成员，其中有6名女生，为学习期间随时关注学生学习状态，现随机从这10名成员中抽选2名任小组组长，协助老师了解学情，A表示“抽到的2名成员都是女生”，B表示“抽到的2名成员性别相同”，则P（A|B）＝（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2023•渝中区校级模拟）已知随机变量X服从二项分布，随机变量Y＝2X+1，则下列说法正确的是（　　）
A．随机变量X的数学期望E（X）＝6
B．
C．随机变量X的方差D（X）＝2
D．随机变量Y的方差D（Y）＝4
（多选）10．（2023春•如皋市月考）已知事件A，B，C满足P（A）＝0.6，P（B）＝0.2，则下列结论正确的是（　　）
A．如果P（A∪B∪C）＝1，那么P（C）＝0.2
B．如果B⊆A，那么P（A∪B）＝0.6，P（B|A）＝0.25
C．如果A与B互斥，那么P（A∪B）＝0.8
D．如果A与B相互独立，那么P（•）＝0.32
（多选）11．（2023•潍坊模拟）假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布N（500，52）（单位：g），生产线乙正常情况下生产出来包装食盐质量为xg，随机变量x服从正态密度函数，其中x∈R，则（　　）
附：随机变量ξ﹣N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝0.683，P（μ﹣2σ＜μ＜2σ）＝0.954，P（μ﹣3σ＜μ＜3σ）＝0.997．
A．正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于485g的概率为0.15%
B．生产线乙的食盐质量x～N（1000，1002）
C．生产线乙产出的包装食盐一定比生产线甲产出的包装食盐质量重
D．生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于5l5g，于是判断出该生产线出现异常是合理的
（多选）12．（2023•沙坪坝区校级模拟）下列命题正确的是（　　）
A．若X～N（1，σ2）且P（X≤3）＝0.76，则P（﹣1＜X＜1）＝0.24
B．对于随机事件A和B，若P（A|B）＝P（A），则事件A与事件B独立
C．回归分析中，若相关指数R2越接近于1，说明模型的拟合效果越好；反之，则模型的拟合效果越差
D．用等高条形图粗略估计两类变量X和Y的相关关系时，等高条形图差异明显，说明X与Y无关
三．填空题（共5小题）
13．（2023•自贡模拟）《定理汇编》记载了诸多重要的几何定理，其中有一些定理是关于鞋匠刀形的，即由在同一直线上同侧的三个半圆所围成的图形，其被阿基米德称为鞋匠刀形．如图所示，三个半圆的圆心分别为O，O1，O2，半径分别为R，r1，r2（其中R＞r1＞r2），在半圆О内随机取一点，此点取自图中鞋匠刀形（阴影部分）的概率为，则＝　 　．

14．（2023•沙坪坝区校级模拟）设随机变量X～B（12，p），若E（X）≤8，则D（X）的最大值为 　 　．
15．（2023•河东区一模）甲、乙两名射手射中10环的概率分别为、（两人射中10环与否相互独立），已知两人各射击1次．两人都射中10环的概率为 　 　；两人命中10环的总次数为X，则随机变量X的期望为 　 　．
16．（2023•广西模拟）若随机变量X的分布列为则X的数学期望为 　 　．
X
﹣1
2
4
5
P
0.2
0.35
0.25
0.2
17．（2023•大通县二模）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ为两条棱上两点（不在同一条棱上）间距离的最小值，则随机变量ξ的数学期望为 　 　．
四．解答题（共5小题）
18．（2023•河南模拟）某水果店的草莓每盒进价20元，售价30元，草莓保鲜度为两天，若两天之内未售出，以每盒10元的价格全部处理完．店长为了决策每两天的进货量，统计了本店过去40天草莓的日销售量（单位：十盒），获得如下数据：
日销售量/十盒
7
8
9
10
天数
8
12
16
4
​假设草莓每日销量相互独立，且销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率．
（1）记每两天中销售草莓的总盒数为X（单位：十盒），求X的分布列和数学期望；
（2）以两天内销售草莓获得利润较大为决策依据，在每两天进16十盒，17十盒两种方案中应选择哪种？
19．（2023•柳州三模）随着中国实施制造强国战略以来，中国制造（Madeinchina）逐渐成为世界上认知度最高的标签之一，企业也越来越重视产品质量的全程控制．某企业从生产的一批产品中抽取40件作为样本，检测其质量指标值，质量指标的范围为[50，100]，经过数据处理后得到如下频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中质量指标值的平均数和中位数（结果精确到0.1）；
（2）为了进一步检验产品质量，在样本中从质量指标在[50，60）和[90，100]的两组中抽取2件产品，记取自[50，60）的产品件数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

20．（2023•广东一模）某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色．抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球．如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖．
（1）若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数X的分布列和数学期望；
（2）若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数Y的分布列和数学期望；
（3）如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由．
21．（2023•香坊区校级一模）非物质文化遗产是一个国家和民族历史文化成就的重要标志，是优秀传统文化的重要组成部分．
1993年，黑龙江省海伦市被国家命名为“中国民间艺术—剪纸之乡”称号．海伦剪纸是黑龙江省海伦的东方红、护林、双录、伦河、海兴、海北、长发等地的剪纸．特点是画幅较大，风格粗犷，刀锋稚拙而有力，是一种传统的民间艺术．为了弘扬中国优秀的传统文化，某校将举办一次剪纸比赛，共进行4轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成规定作品和创意作品各2幅，若有不少于3幅作品入选，将获得“巧手奖”．4轮比赛中，至少获得3次“巧手奖”的同学将进入决赛．某同学经历多次模拟训练，指导老师从训练作品中随机抽取规定作品和创意作品各4幅，其中有3幅规定作品和2幅创意作品符合入选标准．
（Ⅰ）从这8幅训练作品中，随机抽取规定作品和创意作品各2幅，试预测该同学在一轮比赛中获得“巧手奖”的概率；
（Ⅱ）以上述两类作品各自入选的频率作为该同学参赛时每幅作品入选的概率．经指导老师对该同学进行赛前强化训练，规定作品和创意作品入选的概率共提高了（两类作品的概率均有提高），以获得“巧手奖”的次数的数学期望为参考，试预测该同学能否进入决赛？
22．（2023春•沙坪坝区校级月考）卡塔尔世界杯的吉祥物“拉伊卜”引发网友和球迷喜爱，并被亲切地称为“饺子皮”．某公司被授权销售以“拉伊卜”为设计主题的精制书签、该精制书签的生产成本为50元/个，为了确定书签的销售价格，该公司对有购买精制书签意向的球迷进行了调查，共收集了200位球迷的心理价格来估计全部球迷的心理价格分布、这200位球迷的心理价格对应人数比例分布如图：
若只有在精制书签的销售价格不超过球迷的心理价格时，球迷才会购买精制书签．公司采用常见的饥饿营销的方法刺激球迷购买产品，规定每位球迷最多只能购买一个该精制书签．设每位球迷是否购买该精制：书签相互独立，精制书签的销售价格为x元/个（60≤x≤90）．
（1）若x＝80，已知某时段有3名球迷有购买意向而咨询公司，设X为这3名球迷中购买精制书签的人数，求X的分布列和期望；
（2）假设共有Z名球迷可能购买该精制书签，请比较当精制书签的售价分别定为70元和80元时，哪种售价对应的总利润的期望最大？


2023年高考数学考前20天终极冲刺之概率
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2023•岳阳模拟）某学校为落实“双减”政策，在课后服务时间开设了“球类”、“棋类”、“书法”、“绘画”“舞踩”等五项活动．若甲同学准备从这五项活动中随机选三项，则“书法”和“绘画”这两项中至多有一项被选中的概率为（　　）
A．0.9 B．0.7 C．0.6 D．0.3
【考点】古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；数学运算．
【分析】先求样本空间的样本点，再求事件“书法”和“绘画”这两项中至多有一项被选中所包含的样本点，并利用古典概型概率公式求概率．
【解答】解：随机试验从五项活动中随机选三项的样本空间共有个样本点，
“书法”和“绘画”这两项活动至多有一项被选中”分两种情况：
①都没有被选中，有种情况；②两项活动只有一项被选中，有种情况，
则所求概率为．
故选：B．
【点评】本题主要考查古典概型的概率公式，属于基础题．
2．（2022秋•南阳期末）5个人排成一列，已知甲排在乙的前面，则甲、乙两人不相邻的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；数学运算．
【分析】利用插空法，结合古典概率模型求解即可．
【解答】解：5个人全排列且甲排在乙的前面有种方法，
将剩余三人排成一列有种排法，产生4个空位，
让甲、乙选择两个空位插空，则有种方法，
所以甲、乙两人不相邻的安排方法有种方法，
其中甲排在乙的前面的有种方法，
所以甲、乙两人不相邻的概率为．
故选：C．
【点评】本题主要考查古典概型的概率公式，属于基础题．
3．（2023春•齐齐哈尔月考）2022年小李夫妇开设了一家包子店，经统计，发现每天包子的销量X～N（1000，502）（单位：个），估计300天内每天包子的销量约在950到1100个的天数大约为（　　）
（附：若随机变量X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P（u﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973）
A．236 B．246 C．270 D．275
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．菁优网版权所有
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；数学运算．
【分析】根据正态分布的定义及对称性即可求解．
【解答】解：由题意可知，μ＝1000，σ＝50，
则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）＝P（950≤X≤1050）≈0.6827，
P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）＝P（900≤X≤1100）≈0.9545，
P（950≤X≤1100）＝P（950≤X≤1050）+[P（900≤X≤1100）﹣P（950≤X≤1050）]＝0.8186，
则300天内每天包子的销量约在950到1100个的天数大约为300×0.8186＝246．
故选：B．
【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
4．（2022秋•营口期末）在射击比赛中，甲乙两人对同一目标各进行一次射击，甲击中目标的概率为，乙击中目标的概率为，在目标被击中的情况下，甲击中目标的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】条件概率与独立事件；相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；数学运算．
【分析】先得出目标被击中的概率，再得出甲击中目标的概率，即可得出答案．
【解答】解：由题意得目标被击中的概率为：，
甲击中目标的概率为：，
则在目标被击中的情况下，甲击中目标的概率为：．
故选：C．
【点评】本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
5．（2022秋•朝阳期末）已知小郭、小张和小陆三名同学同时独立地解答一道概率试题，每人均有的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，小陆同学解答不正确的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】条件概率与独立事件；相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；数学运算．
【分析】根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解．
【解答】解：记“三人中至少有两人解答正确”为事件A，“小陆同学解答不正确”为事件B，
则，，
则．
故选：C．
【点评】本题主要考查条件概率公式的应用，属于基础题．
6．（2022秋•玉溪期末）欧几里得大约生活在公元前330～前275年之间，著有《几何原本》《已知数》《圆锥曲线》《曲面轨迹》等著作．若从上述4部书籍中任意抽取2部，则抽到《几何原本》的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【分析】运用列举法解决古典概型．
【解答】解：记4部书籍分别为a、b、c、d，
则从从4部书籍中任意抽取2部的基本事件为ab、ac、ad、bc、bd、cd，共有6个，
抽到《几何原本》的基本事件为ab、ac、ad，共有3个，
所以抽到《几何原本》的概率为：．
故选：A．
【点评】本题考查古典概型的概率计算，考查运算求解能力，属于基础题．
7．（2022秋•邢台期末）某学习小组共有11名成员，其中有6名女生，为了解学生的学习状态，随机从这11名成员中抽选2名任小组组长，协助老师了解情况，A表示“抽到的2名成员都是女生”，B表示“抽到的2名成员性别相同”，则P（A|B）＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】条件概率与独立事件．菁优网版权所有
【专题】对应思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【分析】求出P（B），P（AB），再利用条件概率求解即可．
【解答】解：由题意可知，，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查条件概率公式的应用，属基础题．
8．（2022秋•辽阳期末）某学习小组共有10名成员，其中有6名女生，为学习期间随时关注学生学习状态，现随机从这10名成员中抽选2名任小组组长，协助老师了解学情，A表示“抽到的2名成员都是女生”，B表示“抽到的2名成员性别相同”，则P（A|B）＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】条件概率与独立事件．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【分析】由条件概率计算公式可得答案．
【解答】解：由题可知：，，
∴．
故选：D．
【点评】本题考查条件概率的求解，条件概率公式的应用，属基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2023•渝中区校级模拟）已知随机变量X服从二项分布，随机变量Y＝2X+1，则下列说法正确的是（　　）
A．随机变量X的数学期望E（X）＝6
B．
C．随机变量X的方差D（X）＝2
D．随机变量Y的方差D（Y）＝4
【考点】离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；数学运算．
【分析】根据已知条件，结合二项分布期望与方差的公式，以及二项分布的概率公式，即可求解．
【解答】解：因为X服从二项分布，
故，，故AC正确；
又Y＝2X+1，则D（Y）＝4D（X）＝8，故D错误，
P（X＝2）＝＝，故B错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查二项分布期望与方差的公式，以及二项分布的概率公式，属于基础题．
（多选）10．（2023春•如皋市月考）已知事件A，B，C满足P（A）＝0.6，P（B）＝0.2，则下列结论正确的是（　　）
A．如果P（A∪B∪C）＝1，那么P（C）＝0.2
B．如果B⊆A，那么P（A∪B）＝0.6，P（B|A）＝0.25
C．如果A与B互斥，那么P（A∪B）＝0.8
D．如果A与B相互独立，那么P（•）＝0.32
【考点】条件概率与独立事件；互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【分析】根据题意，举出反例可得A错误，由条件概率的计算公式求出P（B|A），可得B错误，由互斥事件的概率性质可得C正确，由相互独立事件的概率性质可得D正确，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，当B⊆A，而A与C为对立事件时，满足P（A∪B∪C）＝1，而P（C）＝0.4，A错误；
对于B，如果B⊆A，那么P（A∪B）＝P（A）＝0.6，P（B|A）＝＝＝，B错误；
对于C，如果A与B互斥，那么P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝0.8，C正确；
对于D，如果A与B相互独立，那么P（•）＝P（）P（）＝（1﹣0.6）（1﹣0.2）＝0.32，D正确．
故选：CD．
【点评】本题考查条件概率和互斥事件、相互独立事件的概率的计算，涉及概率的性质，属于基础题．
（多选）11．（2023•潍坊模拟）假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布N（500，52）（单位：g），生产线乙正常情况下生产出来包装食盐质量为xg，随机变量x服从正态密度函数，其中x∈R，则（　　）
附：随机变量ξ﹣N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝0.683，P（μ﹣2σ＜μ＜2σ）＝0.954，P（μ﹣3σ＜μ＜3σ）＝0.997．
A．正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于485g的概率为0.15%
B．生产线乙的食盐质量x～N（1000，1002）
C．生产线乙产出的包装食盐一定比生产线甲产出的包装食盐质量重
D．生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于5l5g，于是判断出该生产线出现异常是合理的
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【分析】根据密度函数定义可得乙生产线中，μ＝100，σ＝10，可判断B项；A，D项可根据“3σ原则”计算，C项，要注意正态分布研究的是对样本的估计．
【解答】解：由正态分布密度曲线函数，可得：μ＝100，σ＝10，x∈R，
生产线乙的食盐质量x～N（1000，102），B错误；
对于C，质量服从正态分布，虽然u＝1000＞100，
但都是预测，估计值，不能说“一定”，C错误；
设正常情况下，甲生产线上包装出来的食盐质量为Xg，
由题意可知X～N（500，52），
485＝500﹣3×5，所以根据正态分布的对称性与“3σ原则”可知：
P（X＜485）＝（1﹣0.997）＝0.15%，A正确；
由于515＝500+3×5，所以，P（X＞515）＝（1﹣0.997）＝0.15%，
如果生产线不出现异常，随机抽取两包检查，
质量都大于515g的概率约为0.15%×0.15%＝2.25×10﹣6，
几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为生产线出现了异常，
检测员的判断是合理的，D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查了正态分布密度曲线的性质，属于基础题．
（多选）12．（2023•沙坪坝区校级模拟）下列命题正确的是（　　）
A．若X～N（1，σ2）且P（X≤3）＝0.76，则P（﹣1＜X＜1）＝0.24
B．对于随机事件A和B，若P（A|B）＝P（A），则事件A与事件B独立
C．回归分析中，若相关指数R2越接近于1，说明模型的拟合效果越好；反之，则模型的拟合效果越差
D．用等高条形图粗略估计两类变量X和Y的相关关系时，等高条形图差异明显，说明X与Y无关
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；相关系数；回归分析；独立性检验；条件概率与独立事件．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【分析】根据正态分布曲线的对称性可判断A，根据条件概率公式可判断B，根据相关指数的意义可判断C，根据等高条形图的性质可判断D．
【解答】解：对于A，由P（X＞3）＝1﹣P（X≤3）＝0.24，
∴P（﹣1＜X＜1）＝0.5﹣0.24＝0.26，故A错误；
对于B，由条件概率公式可得P（A|B）＝＝P（A），即P（A）P（B）＝P（AB），
∴事件A，B相互独立，故B正确；
对于C，根据相关指数的意义可知，相关指数R2越接近于1，说明模型的拟合效果越好；反之，则模型的拟合效果越差，故C正确；
对于D，由等高条形图于列联表关系可知，差异明显表明X与Y相关可能很大，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，考查了条件概率公式，以及相关指数的意义，属于基础题．
三．填空题（共5小题）
13．（2023•自贡模拟）《定理汇编》记载了诸多重要的几何定理，其中有一些定理是关于鞋匠刀形的，即由在同一直线上同侧的三个半圆所围成的图形，其被阿基米德称为鞋匠刀形．如图所示，三个半圆的圆心分别为O，O1，O2，半径分别为R，r1，r2（其中R＞r1＞r2），在半圆О内随机取一点，此点取自图中鞋匠刀形（阴影部分）的概率为，则＝　　．

【考点】几何概型．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；数学运算．
【分析】通过计算三个半圆的面积，表示阴影部分的面积，利用几何概型的概率计算公式即可得出答案．
【解答】解：阴影部分面积为：，
由图可知：2r1+2r2＝2R，
所以r1+r2＝R，
则，
因为在半圆О内随机取一点，此点取自图中鞋匠刀形（阴影部分）的概率为，
所以，，即，
则，解得：＝，
因为r1＞r2，
所以．
故答案为：．
【点评】本题主要考查几何概型的概率计算公式，属于基础题．
14．（2023•沙坪坝区校级模拟）设随机变量X～B（12，p），若E（X）≤8，则D（X）的最大值为 　3　．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布与n次独立重复试验的模型．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【分析】根据二项分布的数学期望得p的范围，再根据方差运算公式结合基本不等式求得D（X）的最大值．
【解答】解：随机变量X～B（12，p），故E（X）＝12p，
由E（X）≤8可得0＜12p≤8，所以，
又，当且仅当时，“＝”成立，
故D（X）的最大值为3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了二项分布的期望与方差，属于基础题．
15．（2023•河东区一模）甲、乙两名射手射中10环的概率分别为、（两人射中10环与否相互独立），已知两人各射击1次．两人都射中10环的概率为 　　；两人命中10环的总次数为X，则随机变量X的期望为 　　．
【考点】离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有
【专题】计算题；对应思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【分析】两人都射中10环可以看作2个互斥事件乘积计算概率即可；根据独立事件发生结果和对应X的概率，求期望即可求解．
【解答】解：互斥事件同时发生：，
由题意可得X＝0，1，2，
，
，
，
；
故答案为：；．
【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望，相互独立事件的概率乘法公式，考查运算求解能力，属于中档题．
16．（2023•广西模拟）若随机变量X的分布列为则X的数学期望为 　2.5　．
X
﹣1
2
4
5
P
0.2
0.35
0.25
0.2
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【分析】根据期望公式计算即可．
【解答】解：根据题意可得：E（X）＝﹣1×0.2+2×0.35+4×0.25+5×0.2＝2.5．
故答案为：2.5．
【点评】本题考查离散型随机变量的期望，属基础题．
17．（2023•大通县二模）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ为两条棱上两点（不在同一条棱上）间距离的最小值，则随机变量ξ的数学期望为 　　．
【考点】离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有
【专题】计算题；对应思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【分析】作出图形，分析可知随机变量ξ的可能取值有0、1、，求出随机变量ξ在不同取值下的概率，进而可求得E（ξ）的值．
【解答】解：在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如下图所示：

当两条棱相交时，ξ＝0，与每条棱相交的棱有4条，即；
当两条棱平行时，这两条棱之间的距离为1或，
其中与棱AA1平行且距离为1的棱为BB1、DD1，与棱AA1平行且距离为的棱为CC1；
当两条棱异面时，ξ＝1，与棱AA1异面的棱为BC、CD、B1C1、C1D1．
所以，，
因此．
故答案为：．
【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望，考查运算求解能力，属于中档题．
四．解答题（共5小题）
18．（2023•河南模拟）某水果店的草莓每盒进价20元，售价30元，草莓保鲜度为两天，若两天之内未售出，以每盒10元的价格全部处理完．店长为了决策每两天的进货量，统计了本店过去40天草莓的日销售量（单位：十盒），获得如下数据：
日销售量/十盒
7
8
9
10
天数
8
12
16
4
​假设草莓每日销量相互独立，且销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率．
（1）记每两天中销售草莓的总盒数为X（单位：十盒），求X的分布列和数学期望；
（2）以两天内销售草莓获得利润较大为决策依据，在每两天进16十盒，17十盒两种方案中应选择哪种？
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．菁优网版权所有
【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【分析】（1）首先计算日销售量为7盒、8盒、9盒、10盒的概率，根据题意写出随机变量X的所有取值并计算概率可得分布列，进一步计算可得期望值；
（2）分别计算每两天进16十盒，17十盒两种方案下利润的期望值，比较即可作出决策．
【解答】解：（1）日销售量为7盒、8盒、9盒、10盒的概率依次为：，，，，
根据题意可得：X的所有可能取值为14，15，16，17，18，19，20，
，
，
P（X＝16）＝××2+×＝，
P（X＝17）＝××2+××2＝，
P（X＝18）＝+＝，
P（X＝19）＝×＝，
P（X＝20）＝＝，
所以X的分布列为：
X
14
15
16
17
18
19
20
P







所以期望E（X）＝14×+15×+16×+17×+18×+19×+20×＝16.68；
（2）当每两天进16十盒时，利润为（14×10﹣2×10）×+（15×10﹣1×10）×+16×10×（1﹣﹣）＝156，
当每两天进17十盒时，利润为（14×10﹣3×10）×+（15×10﹣2×10）×+（16×10﹣1×10）×+17×10×（1﹣﹣﹣）＝157，
157＞156，所以每两天进17十盒利润较大，
故应该选择每两天进17十盒．
【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与期望以及期望在概率决策问题中的应用，属于中档题．
19．（2023•柳州三模）随着中国实施制造强国战略以来，中国制造（Madeinchina）逐渐成为世界上认知度最高的标签之一，企业也越来越重视产品质量的全程控制．某企业从生产的一批产品中抽取40件作为样本，检测其质量指标值，质量指标的范围为[50，100]，经过数据处理后得到如下频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中质量指标值的平均数和中位数（结果精确到0.1）；
（2）为了进一步检验产品质量，在样本中从质量指标在[50，60）和[90，100]的两组中抽取2件产品，记取自[50，60）的产品件数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数、中位数计算规则计算即可；
（2）首先求出样本中质量指标在[50，60）、[90，100]中的产品数，依题意可得ξ可能的取值为0，1，2，求出相应的概率，即可得到分布列与数学期望．
【解答】解：（1）设质量指标值的平均数为，中位数为a，
则，
因为（0.015+0.025）×10＝0.4，（0.015+0.025+0.03）×10＝0.7＞0.5，
所以中位数a位于[60，70）之间，
则0.4+（a﹣70）×0.03＝0.5，解得a≈73.3；
（2）样本中质量指标在[50，60）的产品有40×10×0.015＝6件，质量指标在[90，100]的有40×10×0.01＝4件，
则ξ可能的取值为0，1，2，
相应的概率为：，，，
所以随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P



所以随机变量ξ的期望．
【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了离散型随机变量的分布列，属于中档题．
20．（2023•广东一模）某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色．抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球．如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖．
（1）若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数X的分布列和数学期望；
（2）若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数Y的分布列和数学期望；
（3）如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；数学运算．
【分析】（1）根据古典概型的运算公式，结合二项分布的性质进行求解即可；
（2）根据古典概型的运算公式，结合数学期望公式进行求解即可；
（3）根据数学期望的性质，结合商场老板希望进行判断即可．
【解答】解：（1）若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，
则每次中奖的概率为，
因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数X服从二项分布，即，
所以X的所有可能取值为0，1，2，
则，
，，
所以X的分布列为：
X
0
1
2
P



所以X的数学期望为；
（2）若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，中奖次数Y的所有可能取值为0，1，2，
则，，，
所以Y的分布列为：
Y
0
1
2
P



所以Y的数学期望为．
（3）因为（1）（2）两问的数学期望相等，第（1）问中两次奖的概率比第（2）问的大，
即，第（1）不中奖的概率比第（2）问小，即，
回答一：若商场老板希望中两次奖的顾客多，产生宣传效应，则选择按第（2）问方式进行抽．
回答二：若商场老板希望中奖的顾客多，则选择按第（1）问方式进行抽奖．
【点评】本题主要考查离散型随机变量期望与分布列的求解，考查转化能力，属于中档题．
21．（2023•香坊区校级一模）非物质文化遗产是一个国家和民族历史文化成就的重要标志，是优秀传统文化的重要组成部分．
1993年，黑龙江省海伦市被国家命名为“中国民间艺术—剪纸之乡”称号．海伦剪纸是黑龙江省海伦的东方红、护林、双录、伦河、海兴、海北、长发等地的剪纸．特点是画幅较大，风格粗犷，刀锋稚拙而有力，是一种传统的民间艺术．为了弘扬中国优秀的传统文化，某校将举办一次剪纸比赛，共进行4轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成规定作品和创意作品各2幅，若有不少于3幅作品入选，将获得“巧手奖”．4轮比赛中，至少获得3次“巧手奖”的同学将进入决赛．某同学经历多次模拟训练，指导老师从训练作品中随机抽取规定作品和创意作品各4幅，其中有3幅规定作品和2幅创意作品符合入选标准．
（Ⅰ）从这8幅训练作品中，随机抽取规定作品和创意作品各2幅，试预测该同学在一轮比赛中获得“巧手奖”的概率；
（Ⅱ）以上述两类作品各自入选的频率作为该同学参赛时每幅作品入选的概率．经指导老师对该同学进行赛前强化训练，规定作品和创意作品入选的概率共提高了（两类作品的概率均有提高），以获得“巧手奖”的次数的数学期望为参考，试预测该同学能否进入决赛？
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．菁优网版权所有
【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【分析】（Ⅰ）根据题意，分类讨论所有可能的情况，再求其概率之和即可；
（Ⅱ）由题可得p1+p2，先计算强化训练后该同学某一轮可获得“巧手奖”的概率的最大值，再根据4轮比赛中获得“巧手奖”的次数X服从二项分布，估算E（X），结合题意即可判断．
【解答】解：（Ⅰ）由题可知，所有可能的情况有：
规定作品入选1幅，创意作品入选2幅的概率，
规定作品入选2幅，创意作品入选1幅的概率，
规定作品入选2幅，创意作品入选2幅的概率，
故所求的概率．
（Ⅱ）设强化训练后，规定作品入选的概率为p1，创意作品入选的概率为p2，
则，
由已知可得，强化训练后该同学某一轮可获得“巧手奖”的概率为：
＝＝
∵，且，
也即，即
故可得：，
∴，
∴，
令p1p2＝t，则在上单调递减，
∴．
∵该同学在4轮比赛中获得“巧手奖”的次数X～B（4，P），
∴，
故该同学没有希望进入决赛．
【点评】本题考查了古典概型的概率计算以及离散型随机变量的期望的应用，属于中档题．
22．（2023春•沙坪坝区校级月考）卡塔尔世界杯的吉祥物“拉伊卜”引发网友和球迷喜爱，并被亲切地称为“饺子皮”．某公司被授权销售以“拉伊卜”为设计主题的精制书签、该精制书签的生产成本为50元/个，为了确定书签的销售价格，该公司对有购买精制书签意向的球迷进行了调查，共收集了200位球迷的心理价格来估计全部球迷的心理价格分布、这200位球迷的心理价格对应人数比例分布如图：
若只有在精制书签的销售价格不超过球迷的心理价格时，球迷才会购买精制书签．公司采用常见的饥饿营销的方法刺激球迷购买产品，规定每位球迷最多只能购买一个该精制书签．设每位球迷是否购买该精制：书签相互独立，精制书签的销售价格为x元/个（60≤x≤90）．
（1）若x＝80，已知某时段有3名球迷有购买意向而咨询公司，设X为这3名球迷中购买精制书签的人数，求X的分布列和期望；
（2）假设共有Z名球迷可能购买该精制书签，请比较当精制书签的售价分别定为70元和80元时，哪种售价对应的总利润的期望最大？

【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．菁优网版权所有
【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【分析】（1）计算x＝80时，球迷购买该精制书签的概率为，根据事件的相互独立性可知随机变量X服从二项分布，根据二项分布的概率公式可得分布列与期望；
（2）分别计算x＝70和80时的总利润的期望，比较可得结论．
【解答】解：（1）当x＝80时，由样本数据估计球迷购买该精制书签的概率为，
因每位球迷是否购买该精制书签相互独立，
∴X～的可能取值为0，1，2，3，
P（X＝k）＝C（）k（1﹣）3﹣k＝C（）3，
其分布列为：
X
0
1
2
3
P




其期望为．
（2）设该公司销售该精制书签所得总利润为Y元，
当x＝70时，由样本数据估计球迷购买该精制书签的概率为，此时；
当x＝80时，由样本数据估计球迷购买该精制书签的概率为，此时；
∵17Z＞15Z，
所以当精制书签的销售价格定为70元时，对应的总利润的期望最大．
【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与期望以及期望在概率决策中的应用，属于中档题．

考点卡片
1．互斥事件与对立事件
【知识点的认识】
1．互斥事件
（1）定义：一次试验中，事件A和事件B不能同时发生，则这两个不能同时发生的事件叫做互斥事件．
如果A1，A2，…，An中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件A1，A2，…An彼此互斥．

（2）互斥事件的概率公式：
在一个随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，则有：
P（A+B）＝P（A）+P（B）
注：上式使用前提是事件A与B互斥．
推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件发生（即A1，A2，…，An中有一个发生）的概率等于这n个事件分别发生的概率之和，即：
P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）
2．对立事件
（1）定义：一次试验中，两个事件中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件，事件A的对立事件记做．

注：①两个对立事件必是互斥事件，但两个互斥事件不一定是对立事件；
②在一次试验中，事件A与只发生其中之一，并且必然发生其中之一．
（2）对立事件的概率公式：
P（）＝1﹣P（A）
3．互斥事件与对立事件的区别和联系
互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生．因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件．
【命题方向】
1．考查对知识点概念的掌握
例1：从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（　　）
A．“至少有一个红球”与“都是黑球”
B．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
C．“至少有一个黑球”与“至少有1个红球”
D．“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”
分析：列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可
解答：对于A：事件：“至少有一个红球”与事件：“都是黑球”，这两个事件是对立事件，∴A不正确
对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴B不正确
对于C：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有1个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴C不正确
对于D：事件：“恰有一个黑球”与“恰有2个黑球”不能同时发生，∴这两个事件是互斥事件，
又由从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，
得到所有事件为“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”以及“恰有2个红球”三种情况，故这两个事件是不是对立事件，
∴D正确
故选D
点评：本题考查互斥事件与对立事件．首先要求理解互斥事件和对立事件的定义，理解互斥事件与对立事件的联系与区别．同时要能够准确列举某一事件所包含的基本事件．属简单题．
例2：下列说法正确的是（　　）
A．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件
B．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件
C．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大
D．事件A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小．
分析：根据对立事件和互斥事件的概率，得到对立事件一定是互斥事件，两个事件是互斥事件不一定是对立事件，这两者之间的关系是一个包含关系．
解答：根据对立事件和互斥事件的概念，
得到对立事件一定是互斥事件，
两个事件是互斥事件不一定是对立事件，
故选B．
点评：本题考查互斥事件与对立事件之间的关系，这是一个概念辨析问题，这种题目不用运算，只要理解两个事件之间的关系就可以选出正确答案．
2．互斥事件概率公式的应用
例：甲乙两人下棋比赛，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是　　
分析：记“两人下成和棋”为事件A，“乙获胜”为事件B，则A，B互斥，且，，则乙不输即为事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+P（B）可求．
解答：甲乙两人下棋比赛，记“两人下成和棋”为事件A，“乙获胜”为事件B，则A，B互斥，
则，，
则乙不输即为事件A+B，
由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+P（B）＝
故答案为：
点评：本题主要考查互斥事件的关系，不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，也叫互不相容事件，考查了互斥事件的概率的加法公式在概率计算中的应用．
3．对立事件概率公式的应用
例：若事件A与B是互为对立事件，且P（A）＝0.4，则P（B）＝（　　）
A.0 B.0.4 C.0.6 D.1
分析：根据对立事件的概率公式p（）＝1﹣P（A），解得即可．
解答：因为对立事件的概率公式p（）＝1﹣P（A）＝0.6，
故选C．
点评：本题主要考查对立事件的定义，属于基础题．
2．互斥事件的概率加法公式
【知识点的知识】
互斥事件的概率加法公式：
在一个随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，则有：
P（A+B）＝P（A）+P（B）
注：上式使用前提是事件A与B互斥．
推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件发生（即A1，A2，…，An中有一个发生）的概率等于这n个事件分别发生的概率之和，即：
P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）
3．古典概型及其概率计算公式
【考点归纳】
1．定义：如果一个试验具有下列特征：
（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；
（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．
则称这种随机试验的概率模型为古典概型．
*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．
2．古典概率的计算公式
如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；
如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）＝＝．
【解题技巧】
1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．
因此要注意清楚以下三个方面：
（1）本试验是否具有等可能性；
（2）本试验的基本事件有多少个；
（3）事件A是什么．
2．解题实现步骤：
（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
（4）利用公式P（A）＝求出事件A的概率．
3．解题方法技巧：
（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率
（2）利用分析法求解古典概型．
4．几何概型
【考点归纳】
1．定义：若一个试验具有下列特征：
（1）每次试验的结果有无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；
（2）每次试验的各种结果是等可能的．
那么这样的试验称为几何概型．
2．几何概率：设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域Ω，事件A所对应的区域用A表示（A⊆Ω），则P（A）＝称为事件A的几何概率．
5．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式
【知识点的认识】
1．相互独立事件：事件A（或B）是否发生，对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件．
2．相互独立事件同时发生的概率公式：
将事件A和事件B同时发生的事件即为A•B，若两个相互独立事件A、B同时发生，则事件A•B发生的概率为：
P（A•B）＝P（A）•P（B）
推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率之积，即：
P（A1•A2…An）＝P（A1）•P（A2）…P（An）
3．区分
互斥事件和相互独立事件是两个不同的概念：
（1）互斥事件：两个事件不可能同时发生；
（2）相互独立事件：一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．
6．条件概率与独立事件
【知识点的知识】
1、条件概率的定义：对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P（B|A）来表示．
（2）条件概率公式：称为事件A与B的交（或积）．
（3）条件概率的求法：
①利用条件概率公式，分别求出P（A）和P（AB），得P（B|A）＝，其中P（A）＞0；
②借助古典概型概率公式，先求出事件A包含的基本事件数n（A），再在事件A发生的条件下求出事件B包含的基本事件数，即n（A∩B），得P（B|A）＝

【解题方法点拨】
典例1：利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2发生的概率是 　　．
解：由题意得，利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，基本事件的总个数是6×6＝36，即（a，b）的情况有36种，
事件“a+b为偶数”包含基本事件：
（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），
（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6）
（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6）共18个，
“在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2”包含基本事件：
（1，5），（2，6），（5，1），（6，2）共4个，
故在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2发生的概率是P＝＝
故答案为：

典例2：甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，，，乙队每人答对的概率都是．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分．
（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列及其数学期望E（ξ）；
（Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．
分析：（Ⅰ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出P（ξ＝0），P（ξ＝1），P（ξ＝2），P（ξ＝3），由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．
（Ⅱ）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，分别求出P（A），P（AB），再由P（B/A）＝，能求出结果．
解答：（Ⅰ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ＝0）＝（1﹣）（1﹣）（1﹣）＝，
P（ξ＝1）＝（1﹣）（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）（1﹣）×＝，
P（ξ＝2）＝++＝，
P（ξ＝3）＝＝，
∴随机变量ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
P




数学期望E（ξ）＝0×+1×+2×+3×＝．
（Ⅱ）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，
则P（A）＝++＝，
P（AB）＝＝，
P（B|A）＝＝＝．

【解题方法点拨】
1、P（B|A）的性质：
（1）非负性：对任意的A∈Ω，0≤P（B|A）≤1；
（2）规范性：P（Ω|B）＝1；P（∅|B）＝0；
（3）可列可加性：如果是两个互斥事件，则P（B∪C|A）＝P（B|A）+P（C|A）．
2、概率P（B|A）和P（AB）的区别与联系：（1）联系：事件A和B都发生了；
（2）区别：
a、P（B|A）中，事件A和B发生有时间差异，A先B后；在P（AB）中，事件A、B同时发生．
b、样本空间不同，在P（B|A）中，样本空间为A，事件P（AB）中，样本空间仍为Ω．
7．离散型随机变量及其分布列
【考点归纳】
1、相关概念；
（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示．
（2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，η＝aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量．
（3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量
（4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出．

2、离散型随机变量
（1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X，Y，…表示，也可以用希腊字母ξ，η，…表示．
（2）离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．

3、离散型随机变量的分布列．
（1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x1，x2，…，xn；X取每一个对应值的概率分别为p1，p2，…，pn，则得下表：
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．
（2）性质：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．
8．离散型随机变量的期望与方差
【知识点的知识】
1、离散型随机变量的期望
数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

x1
x2
…
xn
…
P
p1
p2
…
pn
…
则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．
数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn＝，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值．
期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．

2、离散型随机变量的方差；
方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn…，那么，
称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的Eξ是随机变量ξ的期望．
标准差：Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．
方差的性质：．
方差的意义：
（1）随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
（2）随机变量 的方差、标准差也是随机变量 的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；
（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．
9．二项分布与n次独立重复试验的模型
【知识点的知识】
1、二项分布：
一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则
P（X＝k）＝pk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并记
pk（1﹣p）n﹣k＝b（k，n，p）．

2、独立重复试验：
（1）独立重复试验的意义：做n次试验，如果它们是完全同样的一个试验的重复，且它们相互独立，那么这类试验叫做独立重复试验．
（2）一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每件试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P（X＝k）＝pk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并称p为成功概率．
（3）独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的．
（4）独立重复试验概率公式的特点：Pn（k）＝pk（1﹣p）n﹣k，是n次独立重复试验中某 事件A恰好发生k次的概率．其中，n是重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，需要弄清公式中n，p，k的意义，才能正确运用公式．

【典型例题分析】
典例1：如果ζ～B（100，），当P（ζ＝k）取得最大值时，k＝　50　．
解：∵ζ～B（100，），
当，
由组合数知，当k＝50时取到最大值．
故答案为：50．

典例2：一个盒子里有2个黑球和m个白球（m≥2，且m∈N*）．现举行摸奖活动：从盒中取球，每次取2个，记录颜色后放回．若取出2球的颜色相同则为中奖，否则不中．
（Ⅰ）求每次中奖的概率p（用m表示）；
（Ⅱ）若m＝3，求三次摸奖恰有一次中奖的概率；
（Ⅲ）记三次摸奖恰有一次中奖的概率为f（p），当m为何值时，f（p）取得最大值？
解：（Ⅰ）∵取出2球的颜色相同则为中奖，
∴每次中奖的概率p＝＝；
（Ⅱ）若m＝3，每次中奖的概率p＝，
∴三次摸奖恰有一次中奖的概率为＝；
（Ⅲ）三次摸奖恰有一次中奖的概率为f（p）＝＝3p3﹣6p2+3p（0＜p＜1），
∴f′（p）＝3（p﹣1）（3p﹣1），
∴f（p）在（0，）上单调递增，在（，1）上单调递减，
∴p＝时，f（p）取得最大值，即p＝＝
∴m＝2，即m＝2时，f（p）取得最大值．

【解题方法点拨】
独立重复试验是相互独立事件的特例（概率公式也是如此），就像对立事件是互斥事件的特例一样，只要有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样．
10．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【知识点的知识】
1．正态曲线及性质

（1）正态曲线的定义
函数φμ，σ（x）＝，x∈（﹣∞，+∞），其中实数μ和σ（σ＞0）为参数，我们称φμ，σ（x）的图象（如图）为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
（2）正态曲线的解析式
①指数的自变量是x定义域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．
②解析式中含有两个常数：π和e，这是两个无理数．
③解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取任意实数，σ＞0这是正态分布的两个特征数．
④解析式前面有一个系数为，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，幂指数为﹣．
2．正态分布
（1）正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a，b（a＜b），随机变量X满足P（a＜X≤b）＝φμ，σ（x）dx，则称X的分布为正态分布，记作N（μ，σ2）．
（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；
②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；
③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．
3．正态曲线的性质
正态曲线φμ，σ（x）＝，x∈R有以下性质：
（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
（2）曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
（3）曲线在x＝μ处达到峰值；
（4）曲线与x轴围成的图形的面积为1；
（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．

4．三个邻域
会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据．

【典型例题分析】
题型一：概率密度曲线基础考察
典例1：设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f（x）的图象，且f（x）＝，则这个正态总体的平均数与标准差分别是（　　）
A．10与8 B．10与2 C．8与10 D．2与10
解析：由＝，可知σ＝2，μ＝10．
答案：B．

典例2：已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，则P（0＜ξ＜2）等于（　　）
A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2
解析：由P（ξ＜4）＝0.8知P（ξ＞4）＝P（ξ＜0）＝0.2，
故P（0＜ξ＜2）＝0.3．故选C．

典例3：已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2≤X≤4）＝0.682 6，则P（X＞4）等于（　　）
A．0.158 8 B．0.158 7 C．0.158 6 D．0.158 5
解析　由正态曲线性质知，其图象关于直线x＝3对称，∴P（X＞4）＝0.5﹣P（2≤X≤4）＝0.5﹣×0.682 6＝0.1587．故选B．

题型二：正态曲线的性质
典例1：若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为．
（1）求该正态分布的概率密度函数的解析式；
（2）求正态总体在（﹣4，4]的概率．
分析：要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关．
解　（1）由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0．由＝，得σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是
φμ，σ（x）＝，x∈（﹣∞，+∞）．
（2）P（﹣4＜X≤4）＝P（0﹣4＜X≤0+4）
＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．
点评：解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线的关系，掌握函数解析式中参数的取值变化对曲线的影响．

典例2：设两个正态分布N（μ1，）（σ1＞0）和N（μ2，）（σ2＞0）的密度函数图象如图所示，则有（　　）
A．μ1＜μ2，σ1＜σ2
B．μ1＜μ2，σ1＞σ2
C．μ1＞μ2，σ1＜σ2
D．μ1＞μ2，σ1＞σ2
解析：根据正态分布N（μ，σ2）函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选A．
答案：A．

题型三：服从正态分布的概率计算
典例1：设X～N（1，22），试求
（1）P（﹣1＜X≤3）；
（2）P（3＜X≤5）；
（3）P（X≥5）．
分析：将所求概率转化到（μ﹣σ，μ+σ]．（μ﹣2σ，μ+2σ]或[μ﹣3σ，μ+3σ]上的概率，并利用正态密度曲线的对称性求解．
解析：∵X～N（1，22），∴μ＝1，σ＝2．
（1）P（﹣1＜X≤3）＝P（1﹣2＜X≤1+2）
＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.682 6．
（2）∵P（3＜X≤5）＝P（﹣3＜X≤﹣1），
∴P（3＜X≤5）＝[P（﹣3＜X≤5）﹣P（﹣1＜X≤3）]
＝[P（1﹣4＜X≤1+4）﹣P（1﹣2＜X≤1+2）]
＝[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）]
＝×（0.954 4﹣0.682 6）
＝0.1359．
（3）∵P（X≥5）＝P（X≤﹣3），
∴P（X≥5）＝[1﹣P（﹣3＜X≤5）]
＝[1﹣P（1﹣4＜X≤1+4）]
＝[1﹣P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）]
＝×（1﹣0.954 4）＝0.0228．
求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率，只需借助正态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个区间上．
典例2：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，则P（ξ＜2）＝　　．
解析：由题意可知，正态分布的图象关于直线x＝1对称，所以P（ξ＞2）＝P（ξ＜0）＝0.3，P（ξ＜2）＝1﹣0.3＝0.7．
答案：0.7．

题型4：正态分布的应用
典例1：2011年中国汽车销售量达到1 700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1 200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N（8，σ2），已知耗油量ξ∈[7，9]的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有　　辆．
解析：由题意可知ξ～N（8，σ2），故正态分布曲线以μ＝8为对称轴，又因为P（7≤ξ≤9）＝0.7，故P（7≤ξ≤9）＝2P（8≤ξ≤9）＝0.7，所以P（8≤ξ≤9）＝0.35，而P（ξ≥8）＝0.5，所以P（ξ＞9）＝0.15，故耗油量大于9升的汽车大约有1 200×0.15＝180辆．
点评：服从正态分布的随机变量在一个区间上的概率就是这个区间上，正态密度曲线和x轴之间的曲边梯形的面积，根据正态密度曲线的对称性，当P（ξ＞x1）＝P（ξ＜x2）时必然有＝μ，这是解决正态分布类试题的一个重要结论．

典例2：工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布N（4，），问在一次正常的试验中，取1 000个零件时，不属于区间（3，5]这个尺寸范围的零件大约有多少个？
解∵X～N（4，），∴μ＝4，σ＝．
∴不属于区间（3，5]的概率为
P（X≤3）+P（X＞5）＝1﹣P（3＜X≤5）
＝1﹣P（4﹣1＜X≤4+1）
＝1﹣P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）
＝1﹣0.9974＝0.0026≈0.003，
∴1 000×0.003＝3（个），
即不属于区间（3，5]这个尺寸范围的零件大约有3个．

【解题方法点拨】
正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高考中多次出现，其中数值计算是考查的一个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误．对正态分布N（μ，σ2）中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应该为σ2而不是σ，同时，记住正态密度曲线的六条性质．
11．频率分布直方图
【知识点的认识】
1．频率分布直方图：在直角坐标系中，横轴表示样本数据，纵轴表示频率与组距的比值，将频率分布表中的各组频率的大小用相应矩形面积的大小来表示，由此画成的统计图叫做频率分布直方图．

2．频率分布直方图的特征
①图中各个长方形的面积等于相应各组的频率的数值，所有小矩形面积和为1．
②从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势．
③从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息被抹掉．
3．频率分布直方图求数据
①众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．
②平均数：频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和．
③中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线横坐标．
【解题方法点拨】
绘制频率分布直方图的步骤：

12．相关系数
【知识点的知识】
1、概念：
相关表和相关图可反映两个变量之间的相互关系及其相关方向，但无法确切地表明两个变量之间相关的程度．于是，著名统计学家卡尔•皮尔逊设计了统计指标﹣﹣相关系数．相关系数是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标．相关系数是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基础，通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度；着重研究线性的单相关系数．
2、相关系数用r表示，计算公式为
其中：当r＞0时，表明两个变量正相关；当r＜0时，表明两个变量负相关；|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小．
3、残差：
相关指数R2用来刻画回归的效果，其计算公式是
在含有一个解释变量的线性模型中，R2恰好等于相关系数r的平方．显然，R2取值越大，意味着残差平方和越小，也就是模型的拟合效果越好．

【解题方法点拨】
建立回归模型的基本步骤：
（1）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个是预报变量；
（2）画出解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系；
（3）由经验确定回归方程的类型（如观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程：＝x+）；
（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）；
（5）得出结果分析残差图是否有异常，若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否适当．当回归方程不是形如：＝x+时，我们称之为非线性回归方程．
13．回归分析
【知识点的知识】
1、回归直线：
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫作回归直线． 记为：＝x+．求回归直线方程的一般步骤：
①作出散点图（由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关系），若存在线性相关关系；
②求回归系数；
③写出回归直线方程，并利用回归直线方程进行预测说明．

2、回归分析：
对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．
建立回归模型的基本步骤是：
①确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；
②画好确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（线性关系）．
③由经验确定回归方程的类型．
④按一定规则估计回归方程中的参数 （最小二乘法）；
⑤得出结论后在分析残差图是否异常，若存在异常，则检验数据是否有误，模型是否合适等．
14．独立性检验
【知识点的知识】
1、分类变量：
如果某种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．
2、原理：假设性检验（类似反证法原理）．
一般情况下：假设分类变量X和Y之间没有关系，通过计算K2值，然后查表对照相应的概率P，发现这种假设正确的概率P很小，从而推翻假设，最后得出X和Y之间有关系的可能性为（1﹣P），也就是“X和Y有关系”．（表中的k就是K2的观测值，即k＝K2）．
其中n＝a+b+c+d（考试给出）
3、2×2列联表：

4、范围：K2∈（0，+∞）；性质：K2越大，说明变量间越有关系．
5、解题步骤：
（1）认真读题，取出相关数据，作出2×2列联表；
（2）根据2×2列联表中的数据，计算K2的观测值k；
（3）通过观测值k与临界值k0比较，得出事件有关的可能性大小．